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高斯定理
高斯定理
真空中的高斯定理：
在真空中静电场内，通过任一闭合曲面的电场强度通量等于该曲面所包围的所有电荷的代数和的1/ o倍。
表示高斯面内电荷的代数和。
（不连续）
（连续）
+
1、点电荷在球形高斯面的圆心处
dS
E
验证高斯定理：
点电荷在任意形状的高斯面内
通过球面S的电场线也必通过任意曲面S‘ ，即它们的电通量相等，为q/ o
+
电荷q 在闭合曲面以外
穿进曲面的电场线条数等于穿出曲面的电场线条数。
+
若空间电荷连续分布，则积分值为：
对于点电荷系，有：
关于高斯定理的说明：
高斯定理是反映静电场性质（有源性）的一条基本定理；
高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比库仑定律更为广泛；
高斯定理反映闭合曲面内电荷代数和与电通量关系，不是与电场强度关系
若高斯面内的电荷的电量为零，则通过高斯面的电通量为零，但高斯面上各点的电场强度并不一定为零；
通过任意闭合曲面的电通量只决定于它所包围的电荷的代数和，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处的场强大小和方向；
高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。
高斯定理的一个重要应用就是计算电场强度。
高斯定理计算场强的条件：
带电体的电场强度分布要具有高度的对称性。
⑴ 高斯面上的电场强度大小处处相等；
⑵ 面积元dS的法线方向与该处的电场强度的方向一致。
高斯面上电场
强度处处相等
dS法线方向与
电场强度相同
求解的关键是选取适当的高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布：
球面
球体
多层同心球壳
点电荷等
面对称分布：
（无限大）
带电平面
平板等。
轴对称分布：
（无限长）
带电的直线
圆柱面
圆柱体等
均匀带电
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；
2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
①待求场强的场点应在此高斯面上，
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直，n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外面；
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高斯定理求出场强。
例. 求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径为R，带电量为q，电荷密度为 ）
解：
（1）球外某点的场强

R
r
( r ≥ R )
（2）求球体内一点的场强
（r < R）
r
E

R
r
r
o
R

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