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半导体中电子的状态和能带
粒子的能量E和动量p与平面波的频率和波长 之间的关系为：
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式中： 称为波数， 为普朗克常数。
德布罗意平面波：
半导体中电子的状态和能带
De Broglie关系
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波函数的统计解释
假设波函数 用以表示粒子的状态，并以dW（x,y,z,t）表示时刻t、在点（x,y,z) 附近的体积元 内找到粒子的概率，则：
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薛定谔方程
薛定谔方程
拉普拉斯算符
薛定谔方程描述在势场 中粒子状态随时间的变化，也称微观粒子波动方程。只要知道势场的具体形式就可求解该方程得到粒子波函数的具体形式，从而得出粒子的运动状态和能量状态。
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考虑势场 与时间t无关的情况，薛定谔方程的特解可以写成分离
变量的形式：
分离变量法可解得：
定态薛定谔方程
定态薛定谔方程
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自由电子的波函数和能量
假设一个质量为 的电子在具有恒定势（设势场为0）的自由空间中
运动，在一维的情形下，电子运动遵循的薛定谔方程为：
这就是自由电子的波函数，表示一平行于x轴传播的平面波。
此偏微分方程的解为：
式中，称k为波矢 由关系式 给出,
设
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所以，含时间的波函数表示为：
此式与德布罗意平面波式在一维情况下有完全相同的形式。
对比德布罗意关系，电子的动量和能量与波函数中的k、ω的关系为：
自由电子的波函数和能量
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自由电子波函数和能量
自由电子能量与波矢的关系图
3s(2N个状态)
3p(6N个状态)
4N个状态
4N个状态
S态和p态, 共包含4N个状态, 可容纳8N个电子

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