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2023高考二轮复习——与球有关的切、接问题专题强化训练
1、已知OA为球O的半径，M为线段OA上的点，且AM＝2MO，过M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为8π，则OA＝(　　)
A．2 B．3
C．2 D．4
2、圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为(　　)
A. cm B．15 cm
C．10 cm D．20 cm
3、如图，将一块直径为2的半球形石材切割成一个体积最大的正方体，则切割掉的废弃石材的体积为(　　)
A．2π－2　　　 B．4π－2
C．2π－ D．4π－
4、已知直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB＝AC＝2，∠BAC＝，若球O的体积为π，则这个直三棱柱的体积等于(　　)
A．4 B．8
C．8 D．4
5、已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O ABC的体积为(　　)
A. B．
C. D．
6、已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　)
A. B．
C. D．
7、已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)
A．100π B．128π
C．144π D．192π
如图，正四棱锥P ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形，若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四棱锥四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为(　　)
A. B．
C. D．
9、某同学在学校组织的通用技术实践课上制作了一件工艺品，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后中间剩余部分(球心与正方体中心重合)，若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为(　　)
A．20π B．16π
C．12π D．8π
10、已知三棱锥P ABC的顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的等边三角形，球O的表面积为π，则三棱锥P ABC的体积的最大值为(　　)
A．2 B．
C. D．
11、(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论正确的是(　　)
A．该正方体外接球的直径为2
B．该正方体内切球的表面积为4π
C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为
D．该正方体外接球的体积为4
12、(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(　　)
A．球O的表面积为6π
B．球O的内接正方体的棱长为1
C．球O的外切正方体的棱长为
D．球O的内接正四面体的棱长为2
13、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
14、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为_______．
15、设球O内切于正三棱柱ABC-A1B1C1，则球O的体积与正三棱柱ABC-A1B1C1的体积的比值为________．
16、在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．
17、在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC＝，SB＝2，SC＝4，SA＝2，则该四面体的外接球的表面积是_______．
18、已知点M，N，P，Q在同一个球面上，MN＝3，NP＝4，MP＝5，若四面体MNPQ体积的最大值为10，则这个球的表面积是_______．
19、在三棱锥P ACB中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝1，AC＝.三棱锥P ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为________；若点M是△ABC的重心，则过点M的平面截球O所得截面的面积的最小值为________．
20、在半径为15的球O内有一个底面边长为12的内接正三棱锥A－BCD，则此正三棱锥的体积为________.2023高考二轮复习——与球有关的切、接问题专题强化训练
（答案）
1、已知OA为球O的半径，M为线段OA上的点，且AM＝2MO，过M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为8π，则OA＝(　B　)
A．2 B．3
C．2 D．4
解：如图，设球O的半径为R，截面圆M的半径为r，由题意知，OA＝OB＝R，OM＝R.因为截面圆M的面积为8π，
所以πr2＝8π，得BM2＝r2＝8.在Rt△OBM中，OB2－OM2＝BM2，所以R2－R2＝8，得OA＝R＝3.故选B.
2、圆柱形玻璃杯中盛有高度为10 cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为(　B　)
A. cm B．15 cm
C．10 cm D．20 cm
解：设玻璃球的半径为r cm，则πr2·10＋πr3＝πr2·2r，解得r＝15.故选B.
3、如图，将一块直径为2的半球形石材切割成一个体积最大的正方体，则切割掉的废弃石材的体积为(　A　)
A．2π－2　　　 B．4π－2
C．2π－ D．4π－
解：设球O的半径为R，正方体的棱长为a，则R＝，当满足R2＝2＋a2时，正方体体积最大，此时a＝R＝，切割掉的废弃石材的体积V＝V半球－V正方体＝×πR3－a3＝2π－2，故选A.
4、已知直三棱柱ABC A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB＝AC＝2，∠BAC＝，若球O的体积为π，则这个直三棱柱的体积等于(　B　)
A．4 B．8
C．8 D．4
解：设球O的半径为R，∵球O的体积为π，∴＝π，解得R＝2.∵AB＝AC＝2，∠BAC＝，∴BC＝2，S△ABC＝×22×sin ＝.记△ABC外接圆的半径为r，则2r＝＝4，可得r＝2.设球心到底面的距离为h，则h＝＝4，∴这个直三棱柱的体积V＝2h·S△ABC＝2×4×＝8，故选B.
5、已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O ABC的体积为(　A　)
A. B．
C. D．
解：∵AC⊥BC，AC＝BC＝1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝，
则△ABC外接圆的半径为，又球的半径为1，
设O到平面ABC的距离为d，
则d＝＝，
所以VO ABC＝S△ABC·d＝××1×1×＝.
6、已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　C　)
A. B．
C. D．
解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则r＝a，所以该四棱锥的高h＝，所以体积
V＝a2＝
≤＝，
当且仅当＝1－，即a2＝时，等号成立，
所以该四棱锥的高h＝＝＝.
7、已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　A　)
A．100π B．128π
C．144π D．192π
解：由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径是3，
下底面所在平面截球所得圆的半径是4，
则轴截面中由几何知识可得＋＝1，解得R2＝25，
因此球的表面积是S＝4πR2＝4π·25＝100π，故选A.
如图，正四棱锥P ABCD的每个顶点都在球M的球面上，侧面PAB是等边三角形，若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四棱锥四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为(　D　)
A. B．
C. D．
解：
如图，连接PO，BD(易知BD过点O)，取CD的中点E，连接PE，OE，过O作OH⊥PE于H，可知PO⊥底面ABCD.
设AB＝4，则BD＝＝4，
BO＝BD＝2，PO＝＝2＝BO.
设球M的半径为R，半球O的半径为r，则R＝2，r＝OH.
在等边三角形PCD中，求得PE＝＝2.
由Rt△PHO∽Rt△POE，可得＝＝＝＝，
故＝＝×3＝.故选D.
9、某同学在学校组织的通用技术实践课上制作了一件工艺品，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后中间剩余部分(球心与正方体中心重合)，若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为(　A　)
A．20π B．16π
C．12π D．8π
解：如图，因为截面圆的周长为2π，
所以截面圆的半径r＝1，根据正方体的棱长为4，可知球心到截面的距离d＝2，所以球的半径R＝＝，所以球的表面积S＝4πR2＝20π，故选A.
10、已知三棱锥P ABC的顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的等边三角形，球O的表面积为π，则三棱锥P ABC的体积的最大值为(　B　)
A．2 B．
C. D．
解：设球O的半径为R，则4πR2＝，得R＝.设等边三角形ABC的外接圆半径为r，外心为O′，则由正弦定理2r＝，得r＝，连接OO′，则|OO′|＝＝，所以三棱锥P ABC的高的最大值为|OO′|＋R＝＋＝2，
所以三棱锥P ABC的体积的最大值为××22×2＝.故选B.
11、(多选)已知正方体ABCD A1B1C1D1的各棱长均为2，下列结论正确的是(　ABC　)
A．该正方体外接球的直径为2
B．该正方体内切球的表面积为4π
C．若球O与正方体的各棱相切，则该球的半径为
D．该正方体外接球的体积为4
解：若正方体的棱长为2，则：①若球为正方体的外接球，则外接球直径等于正方体体对角线，即2R＝＝2.故A正确，
外接球体积为πR3＝4π，故D错误；
②若球为正方体的内切球，则内切球半径为棱长的一半，故R＝1，球的表面积为4πR2＝4π，故B正确；
③若球与正方体的各棱相切，则球的直径等于正方体面对角线长，即2R＝＝2，球的半径为R＝，故C正确．
12、(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(　AD　)
A．球O的表面积为6π
B．球O的内接正方体的棱长为1
C．球O的外切正方体的棱长为
D．球O的内接正四面体的棱长为2
解：设球O的半径为r，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为R.易得R＝××2＝.因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的，所以r2－r2＝R2，即r2－r2＝，得r2＝，所以球O的表面积S＝4πr2＝4π×＝6π，选项A正确；球O的内接正方体的棱长a满足a＝2r，显然选项B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b＝2r，显然选项C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c2＝R2＋2＝＋＝＝4，即c＝2，选项D正确．
13、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为____π____．
解：易知半径最大的球即为该圆锥的内切球．圆锥及其内切球O如图所示，设内切球的半径为R，则sin ∠BPE＝＝＝，所以OP＝3R，所以PE＝4R＝＝＝2，所以R＝，所以内切球的体积V＝πR3＝π，即该圆锥内半径最大的球的体积为π.
14、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为___a_____．
解：由题意知，当球与四棱锥各面均相切，即内切于四棱锥时球的半径最大．作出其侧视图，如图所示．易知球的半径r＝a.
15、设球O内切于正三棱柱ABC-A1B1C1，则球O的体积与正三棱柱ABC-A1B1C1的体积的比值为________．
解：设球O半径为R，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，则R＝×＝a，即a＝2R，又正三棱柱ABC-A1B1C1的高为2R，所以球O的体积与正三棱柱ABC-A1B1C1的体积的比值为＝＝.
16、在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是____π____．
解：由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.
则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不合题意．
当球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．
由2R＝3，即R＝.
故球的最大体积V＝πR3＝π.
17、在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC＝，SB＝2，SC＝4，SA＝2，则该四面体的外接球的表面积是___20π____．
解：如图，因为SA⊥平面ABC，SB＝2，SC＝4，SA＝2，
所以AB＝2，AC＝2，
因为∠BAC＝，由余弦定理可解得BC＝2，
设O1为三角形ABC的外心，
则由正弦定理得三角形ABC外接圆半径为2，
即O1A＝2，
过O1作三角形ABC的垂线l，球心O在l上，则OO1＝AM＝1,
可求外接球半径OA＝，
故该四面体的外接球的表面积是20π.
18、已知点M，N，P，Q在同一个球面上，MN＝3，NP＝4，MP＝5，若四面体MNPQ体积的最大值为10，则这个球的表面积是________．
解：由MN＝3，NP＝4，MP＝5，
可知∠PNM＝90°，
若PM的中点为O′，则△MNP的外接圆圆心为O′，
则球心O在过PM中点O′且与平面MNP垂直的直线上，
因为△MNP的面积为定值，所以高最大时四面体MNPQ的体积最大，
根据球的几何性质可得，当O′Q过球心时体积最大，
因为四面体Q-MNP的最大体积为10，
所以×S△MNP×O′Q＝××3×4×O′Q＝10，
可得O′Q＝5，
在△OO′P中，OP2＝OO′2＋O′P2，
所以R2＝(5－R)2＋，
得R＝，
所以球的表面积为4π×＝.
19、在三棱锥P ACB中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝1，AC＝.三棱锥P ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为________；若点M是△ABC的重心，则过点M的平面截球O所得截面的面积的最小值为________．
解：如图，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，
所以三棱锥P ABC的外接球的球心O为PC的中点，
所以球O的半径R＝PC＝＝＝.
取AC的中点D，连接OD，BD，则M在BD上．连接OM，由题意，知当OM与过M的截面垂直时，所得截面的面积最小．
因为DM＝BD＝×＝×＝，所以OM＝＝＝，则此时截面圆的半径r＝＝，所以所得截面的面积的最小值为π×2＝.
20、在半径为15的球O内有一个底面边长为12的内接正三棱锥A－BCD，则此正三棱锥的体积为__864或216______.
解：①如图所示，
显然OA＝OB＝OC＝OD＝15.
设H为△BCD的中心，
则A，O，H三点在同一条直线上.
∵HB＝HC＝HD＝××12＝12，
∴OH＝＝9，
∴正三棱锥A－BCD的高h＝9＋15＝24.
又S△BCD＝×(12)2＝108，
∴VA－BCD＝×108×24＝864.
②如图所示，同理，可得正三棱锥A－BCD的高h′＝15－9＝6，S△BCD＝108，
∴VA－BCD＝×108×6＝216.
综上，正三棱锥A－BCD的体积为864或216.

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