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直线的位置关系-教师版
【知识梳理】
1、直线与直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交．
判别方法：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
： ： ： ：
平 行 且
重 合 且
相 交
垂 直
注：当直线平行于坐标轴时可结合图形考虑其位置关系．
2、相交直线的夹角
设直角坐标系平面上两条直线方程为：： ：
其夹角为，因为，所以有
向量表示：
因为，余弦函数在上单调递减，所以此时是唯一确定的
特别地，我们得到两条直线互相垂直的充要条件：.
斜率表示：
同样地，由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论．
（1）若两直线的斜率都存在，当时，有公式
（2）如果直线和中有一条斜率不存在，“夹角”可借助于图形，通过直线的倾斜角求出．
3、点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式
1、 到 的距离：
2、 ：
【典型例题】
一、直线之间的位置关系
【例1】若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？
【答案】三条直线不能构成三角形三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行．
若三条直线交于同一点时，解方程组， 得，
即与的交点是（），把点（）代入直线 的方程得．
（2）若其中至少有两条直线平行时，由//得：； 由得:，
综上：当或或时三条直线不能构成三角形．
【例2】是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线 （ ）
（A）与重合 （B）过Q点且与 平行
（C）与相交于P点 （D）过Q点且与相交
【答案】B；
【例3】无论m、n取何实数，直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0都过一定点P，则P点坐标为（ ）
A．（－1，3） B．（－，） C．（－，） D．（－）
【答案】D；
【例4】已知直线的方程为
（1）求证：不论取何值，直线过定点；
（2）记定点为P，若直线垂直OP，求实数a的值．
【答案】(1)，当时，直线过直线与的交点，即过(1，2)．
易得直线的方向向量为．由题设即，得a＝5．
二、直线的夹角
【例5】根据下列题意，回答：
（1）直线和的夹角为 ；
（2）直线和直线的夹角为，则 ；
（3）直线和直线平行，则 ．
【答案】（1）或； （2）0； （3）或；
【例6】已知直线过点，且与直线夹角为，求直线的方程．
【答案】或
【解析】设的方程为（其中为的一法向量），
则即
化简为 解方程，得
当时，则，此时方程为
当时，方程为，即
综上， 的方程是或．
【例7】在中，、，的平分线方程为：，求所在的直线方程；
【答案】；
【例8】已知两直线，，其中为实数，当两条直线的夹角在内变动时，求实数的取值范围．
【答案】；
三、点到直线的距离
【例9】（1）过点与坐标原点距离为2的直线方程是_________________；
（2）若点到直线的距离都等于3，直线的方程是_________________；
（3）已知是分别经过两点的两条平行直线，当之间的距离最大时，直线的方程是_________________．
【答案】（1）与；
（2）和，，；
（3）；
【例10】过点引直线，使、到它的距离相等，求的方程．
【答案】或；
【例11】已知与．直线过点与点，则坐标原点到直线的距离为 ．
【答案】1；
【例12】已知点，求：
（1）过点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少
（3）是否存在过点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）x=2或3x－4y－10=0．（2）（3）不存在
【解析】（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为，
可见，过P（2，－1）垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x=2．
若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x－2），即kx－y－2k－1=0．
由已知，得=2，解之得k=．此时l的方程为3x－4y－10=0．综上，
可得直线l的方程为x=2或3x－4y－10=0．
（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，
由l⊥OP，得kl·kOP =－1，
所以kl =－=2，由直线方程的点斜式得y+1=2（x－2），即2x－y－5=0，
即直线2x－y－5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为=．
（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．
【例13】过直线和直线的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线和之间的线段长为，求该直线的方程．
【答案】或．
【解析】由交点．
设所求直线与、分别交于、两点，
由已知 ||=，又l1、l2间距离，
在中，．设到的角为α，则．
设直线的斜率为，由夹角公式得
所求直线的方程为或．
【例14】平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.已知常数，给出下列命题：
①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个；
②若，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；
③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个.
上述命题中，正确的命题是___________.
【答案】①③；
四、直线综合题
【例15】求点关于直线的对称点的坐标.
【答案】；
【例16】已知直线的方程为，点与点B关于直线对称，则点B的坐标为．
【答案】；
【例17】已知直线和两点.
（1）在上求一点，使最小；（2）在上求一点，使最大．
【答案】（1）；（2）
【例18】已知点，，如果点在轴上，且使最大，则点的坐标为______．
【答案】；
【例19】已知定点，在直线和上分别求点，使的周长最短，并求出最短周长．
【答案】，，此时周长最短为；
【例20】在平面直角坐标系中，动点到两条直线与的距离之和等于4，则到原点距离的最小值为_________．
【答案】；
【例21】如图，是直线上位于第一象限的点，为一定点，直线交轴的正半轴于点，求面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】；；
【例22】已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：
①； ② 当时，有最小值，无最大值； ③；
④ 当且时，的取值范围是．
正确的命题是______________.
【答案】③④
【例23】在平面直角坐标系内，设为不同的两点，直线的方程为，．有四个命题：
①存在实数，使点在直线上；
②若，则过两点的直线与直线平行；
③若，则直线经过线段的中点；
④若，则点在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B；
【例24】已知直线：和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，.
（1）已知直线：，求原点到直线的有向距离.
（2）求点到直线：的有向距离.
（3）已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）不存在；
【例25】在平面直角坐标系中，定义点之间的“直角距离”为．若到点的“直角距离”相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 ．
【答案】；
【巩固26】在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”给出如下定义：若，则点与点的“非常距离”为，若，则点与点的“非常距离”为．已知是直线上的一个动点，点的坐标是（0，1），则点与点的“非常距离”的最小值是_________．
【答案】；
【自主巩固】
【巩固1】已知直线：与：，实数 ，使直线与平行．
【答案】；
【巩固2】已知，若直线与直线互相垂直，则的最大值等于_________．
【答案】；
【巩固3】已知点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】3；
【巩固4】已知点，，如果点在轴上，且使最大，则点的坐标为 ．
【答案】；
【巩固5】直线上有一点P，它与两定点，的距离之和最小，则P点坐标是 ；若该点P与两定点，的距离之差最大，则P点坐标是 ．
【答案】；；
【巩固6】直线上一点的横坐标是，若该直线绕点逆时针旋转得直线，则直线的方程是 ．
【答案】；
【巩固7】已知直线经过点，且原点到它的距离为，则直线的方程为 ．
【答案】；
【巩固8】下面结论中，正确命题的个数为_____________．
①当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2．
②如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．
③已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0．
④P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为．
⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．
⑥若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．
【答案】3；
【巩固9】在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
【答案】B；
【巩固10】已知，两点的坐标满足，，记原点到直线的距离为，则与1的大小关系是（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
【答案】B；
【巩固11】设两条直线的方程分别为和，已知、是关于的方程的两个实数根，且，则这两条直线之间的距离的最大值、最小值分别为( )
A． ； B． ； C． ； D． ．
【答案】D；
【巩固12】在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．则原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是__________.
【答案】；
【巩固13】（1）已知三点，，．过点的直线与线段BC相交，试求直线的斜率和倾斜角的取值范围；
（2）已知中BC边上的高AD所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若顶点，求顶点的坐标．
【答案】（1）或不存在，倾斜角；
（2），．
【巩固14】已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，求所在直线的方程．
【答案】；
【解析】设点，则中点．因为中点在中线所在直线上，所以，即．又点在的平分线所在的直线上，所以．由此，即．故直线的方程为．
设所在直线方程为，即．
因为的平分线所在的直线为，所以，
解得（舍去），所以直线所在方程为．
【巩固15】已知函数的定义域为，且．设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为、．
（1）求的值．
（2）问是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由．
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值．
【答案】（1），．
（2）设点的坐标为，则有，，由点到直线的距离公式可知，，，
有，即为定值，这个值为1．
（3）由题意可设，可知．
与直线垂直，，即．解得．
又，．
，．
．
当且仅当时，等号成立．
此时四边形的面积有最小值．直线的位置关系
【知识梳理】
1、直线与直线的位置关系
平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交．
判别方法：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定
： ： ： ：
平 行 且
重 合 且
相 交
垂 直
注：当直线平行于坐标轴时可结合图形考虑其位置关系．
2、相交直线的夹角
设直角坐标系平面上两条直线方程为：： ：
其夹角为，因为，所以有
向量表示：
因为，余弦函数在上单调递减，所以此时是唯一确定的
特别地，我们得到两条直线互相垂直的充要条件：.
斜率表示：
同样地，由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论．
（1）若两直线的斜率都存在，当时，有公式
（2）如果直线和中有一条斜率不存在，“夹角”可借助于图形，通过直线的倾斜角求出．
3、点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式
1、 到 的距离：
2、 ：
【典型例题】
一、直线之间的位置关系
【例1】若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？
【例2】是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线 （ ）
（A）与重合 （B）过Q点且与 平行
（C）与相交于P点 （D）过Q点且与相交
【例3】无论m、n取何实数，直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0都过一定点P，则P点坐标为（ ）
A．（－1，3） B．（－，） C．（－，） D．（－）
【例4】已知直线的方程为
（1）求证：不论取何值，直线过定点；
（2）记定点为P，若直线垂直OP，求实数a的值．
二、直线的夹角
【例5】根据下列题意，回答：
（1）直线和的夹角为 ；
（2）直线和直线的夹角为，则 ；
（3）直线和直线平行，则 ．
【例6】已知直线过点，且与直线夹角为，求直线的方程．
【例7】在中，、，的平分线方程为：，求所在的直线方程；
【例8】已知两直线，，其中为实数，当两条直线的夹角在内变动时，求实数的取值范围．
三、点到直线的距离
【例9】（1）过点与坐标原点距离为2的直线方程是_________________；
（2）若点到直线的距离都等于3，直线的方程是_________________；
（3）已知是分别经过两点的两条平行直线，当之间的距离最大时，直线的方程是_________________．
【例10】过点引直线，使、到它的距离相等，求的方程．
【例11】已知与．直线过点与点，则坐标原点到直线的距离为 ．
【例12】已知点，求：
（1）过点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）过点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少
（3）是否存在过点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程，若不存在，请说明理由．
【例13】过直线和直线的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线和之间的线段长为，求该直线的方程．
【例14】平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.已知常数，给出下列命题：
①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个；
②若，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；
③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个.
上述命题中，正确的命题是___________.
四、直线综合题
【例15】求点关于直线的对称点的坐标.
【例16】已知直线的方程为，点与点B关于直线对称，则点B的坐标为．
【例17】已知直线和两点.
（1）在上求一点，使最小；（2）在上求一点，使最大．
【例18】已知点，，如果点在轴上，且使最大，则点的坐标为______．
【例19】已知定点，在直线和上分别求点，使的周长最短，并求出最短周长．
【例20】在平面直角坐标系中，动点到两条直线与的距离之和等于4，则到原点距离的最小值为_________．
【例21】如图，是直线上位于第一象限的点，为一定点，直线交轴的正半轴于点，求面积的最小值及此时直线的方程.
【例22】已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：
①； ② 当时，有最小值，无最大值； ③；
④ 当且时，的取值范围是．
正确的命题是______________.
【例23】在平面直角坐标系内，设为不同的两点，直线的方程为，．有四个命题：
①存在实数，使点在直线上；
②若，则过两点的直线与直线平行；
③若，则直线经过线段的中点；
④若，则点在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【例24】已知直线：和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，.
（1）已知直线：，求原点到直线的有向距离.
（2）求点到直线：的有向距离.
（3）已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线；如果不存在，请说明理由.
【例25】在平面直角坐标系中，定义点之间的“直角距离”为．若到点的“直角距离”相等，其中实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长度之和为 ．
【巩固26】在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”给出如下定义：若，则点与点的“非常距离”为，若，则点与点的“非常距离”为．已知是直线上的一个动点，点的坐标是（0，1），则点与点的“非常距离”的最小值是_________．
【自主巩固】
【巩固1】已知直线：与：，实数 ，使直线与平行．
【巩固2】已知，若直线与直线互相垂直，则的最大值等于_________．
【巩固3】已知点在直线上，则的最小值为 ．
【巩固4】已知点，，如果点在轴上，且使最大，则点的坐标为 ．
【巩固5】直线上有一点P，它与两定点，的距离之和最小，则P点坐标是 ；若该点P与两定点，的距离之差最大，则P点坐标是 ．
【巩固6】直线上一点的横坐标是，若该直线绕点逆时针旋转得直线，则直线的方程是 ．
【巩固7】已知直线经过点，且原点到它的距离为，则直线的方程为 ．
【巩固8】下面结论中，正确命题的个数为_____________．
①当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2．
②如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．
③已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0．
④P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为．
⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．
⑥若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．
【巩固9】在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有（ ）
A、1条 B、2条 C、3条 D、4条
【巩固10】已知，两点的坐标满足，，记原点到直线的距离为，则与1的大小关系是（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
【巩固11】设两条直线的方程分别为和，已知、是关于的方程的两个实数根，且，则这两条直线之间的距离的最大值、最小值分别为( )
A． ； B． ； C． ； D． ．
【巩固12】在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”．则原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是__________.
【巩固13】（1）已知三点，，．过点的直线与线段BC相交，试求直线的斜率和倾斜角的取值范围；
（2）已知中BC边上的高AD所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若顶点，求顶点的坐标．
【巩固14】已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，求所在直线的方程．
【巩固15】已知函数的定义域为，且．设点是函数图像上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为、．
（1）求的值．
（2）问是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由．
（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值．

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