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05平行线的判定与性质（解答题中档题）-【期末】上海市2022年七年级数学下学期期末试题核心考点汇编
1．（2022春·上海·七年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E、F分别为AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．试说明EFCD的理由．（请注明理由）
2．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知∠B＝∠C，D在BA的延长线上，AE是∠DAC的平分线，试说明AE与BC平行的理由．
3．（2022春·上海·七年级期末）如图，点P在CD上，已知∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，请填写AE∥PF的理由．
解：因为∠BAP+∠APD＝180°　 　，
∠APC+∠APD＝180°　 　，
所以∠BAP＝∠APC　 　．
又∠1＝∠2　 　，
所以∠BAP﹣∠1＝∠APC﹣∠2　 　．
即∠EAP＝∠APF．
所以AE∥PF　 　．
4．（2022春·上海·七年级校联考期末）学着说点理，填空：
如图，于，于，，可得平分．
理由如下：
于，于，已知
，______
∴AD∥EG______
，______
，两直线平行，同位角相等
又已知
______ ______ 等量代换
平分______
5．（2022春·上海·七年级校联考期末）如图所示，、之间是一座山，一条高速公路要通过、两点，在地测得公路走向是北偏西如果、两地同时开工，那么在地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通？为什么？
6．（2022春·上海·七年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，现同时将点A，分别向上平移个单位，再向右平移个单位，分别得到点A，的对应点，，连接，．
(1)求点，的坐标及四边形的面积；
(2)在轴上是否存在一点，连接，，使？若存在这样一点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
(3)点是线段上的一个动点，连接，，当点在上移动时不与，重合给出下列结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．
7．（2022春·上海·七年级期末）如图，∠A＝∠3＝55°，ABDE，求∠1、∠2的度数．
解：∵ABDE （已知）
∴∠1＝
∠2＝
∵∠A＝∠3＝55°（已知）
∴ ＝ ＝ °．
8．（2022春·上海·七年级期末）已知△ABC中，∠A＝70°，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线．
(1)如图1，求∠P的度数；
(2)过点P作与边AB、AC分别交于点E、点F（如图2），判断线段BE、EF、CF之间的数量关系，并说明理由．
9．（2022春·上海·七年级期末）阅读并填空：如图，在△ABC中，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，且DP∥AC，PE∥AB．试说明∠DPE＝∠BAC的理由．
解：因为DP∥AC（已知），
所以∠　 　＝∠　 　（　 　）．
因为PE∥AB（已知），
所以∠　 　＝∠　 　（　 　）
所以∠DPE＝∠BAC（等量代换）．
10．（2022春·上海·七年级期末）如图，已知直线的平分线交于点F，的平分线交延长线于点G．
(1)说明的理由．
(2)若，求的大小．
11．（2022春·上海·七年级期末）如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，E是边AB上的一点，AE＝AC，F是边AC上的一点，联结DE、CE、FE，当EC平分∠DEF时，猜测EF、BC的位置关系，并说明理由．（完成以下说理过程）
解：EF、BC的位置关系是______．
说理如下：
因为AD是∠BAC的角平分线（已知）
所以∠1＝∠2．
在△AED和△ACD中，，
所以△AED≌△ACD（SAS）．
得__________（全等三角形的对应边相等）．
12．（2022春·上海·七年级期末）如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）求A、C点的坐标；
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP=S△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F是线段AC上一点，满足∠FOC=∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG=∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
13．（2022春·上海·七年级期末）如图,已知AB∥CD,∠E=90 ，那么∠B+∠D等于多少度 为什么
解：过点E作EF∥AB，
得∠B+∠BEF=180 (______)，
因为AB∥CD(______)，
EF∥AB(所作)，
所以EF∥CD(______).
得______(两直线平行,同旁内角互补)，
所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=______°(等式性质).
即∠B+∠BED+∠D=_____°.
因为∠BED=90 (已知)，
所以∠B+∠D=______°(等式性质).
14．（2022春·上海·七年级期末）如图,一个由4条线段构成的“鱼”形图案,其中∠1=50°,∠2=50°,∠3=130°,找出图中的平行线,并说明理由.
参考答案：
1．见解析
【分析】先根据∠ACB＝90°得出∠ACD+∠BCD＝90°，再根据CD⊥AB可知∠B+∠BCD＝90°，进而可得出∠B＝∠ACD，由∠AFE＝∠B，可知∠AFE＝∠ACD，进而可得出结论．
【详解】解：∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝90°（垂直定义），
∴∠B+∠BCD＝180°-90°=90°（三角形的内角和），
∴∠B＝∠ACD（同角的余角相等），
∵∠AFE＝∠B（已知），
∴∠AFE＝∠ACD（等量代换），
∴EFCD（同位角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质及平行线的判定定理，解题的关键是根据题意得出∠AFE＝∠ACD．
2．见解析
【分析】根据AE是∠DAC的角平分线和∠B＝∠C，求出∠DAE＝∠B，然后根据同位角相等，两直线平行即可得到AE与BC互相平行．
【详解】解：AE与BC平行，理由是：
∵AE是∠DAC的平分线，
∴∠DAC＝2∠DAE，
∵∠DAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C，
∴∠DAC＝2∠B，
∴∠DAE＝∠B，
∴．
【点睛】本题主要利用角平分线的定义，等边对等角的性质，平行线的判定定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
3．（已知）、（邻补角的意义）、（同角的补角相等）、（已知）、（等式性质）、（内错角相等，两直线平行）．
【分析】先证明∠BAP=∠APC，再由∠1=∠2，再利用等式的性质可得∠EAP=∠APF，再根据内错角相等，两直线平行即可证明AE∥PF
【详解】解：因为∠BAP+∠APD＝180°，（已知）
∠APC+∠APD＝180°，（邻补角的性质）
所以∠BAP＝∠APC，（同角的补角相等）
又∠1＝∠2，（已知）
所以∠BAP﹣∠1＝∠APC﹣∠2，（等式的性质）
即∠EAP＝∠APF，
所以AE∥PF，（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线判定的三条常见定理，即：一个①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
4．垂直定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；角平分线定义
【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义，完成证明过程即可．
【详解】解：于，于，已知
，垂直定义
，同位角相等，两直线平行
，两直线平行，内错角相等
，两直线平行，同位角相等
又已知
等量代换
平分角平分线定义．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
5．在地按北偏东施工
【分析】根据题意可得有平行线的性质，同旁内角互补即可得出解答．
【详解】解：在地按北偏东施工，就能使公路在山腹中准确接通．
指北方向相互平行，、两地公路走向形成一条直线，
这样就构成了一对同旁内角，
，两直线平行，同旁内角互补，
可得在地按北偏东施工．
【点睛】本题考查了平行线的性质和方向角，熟练地掌握同旁内角互补的知识点是解决此题的关键．
6．(1)，，8
(2)存在，或
(3)结论①正确，1
【分析】(1)根据平移规律，直接得出点C，D的坐标，根据：四边形ABDC的面积=AB×OC求解即可；
(2)存在．设点P到AB的距离为h，则，根据，列方程求h的值，即可确定P点坐标；
(3)结论①正确，过P点作交OC于E点，根据平行线的性质得∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，故比值为1
（1）解：依题意，得，，；
（2）解：存在．设点到的距离为，，由得，解得，或；
（3）解：结论正确，如图：过点作交OC于点，，，，， ，．
【点睛】本题考查了平移的性质，坐标与图形，平行线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
7．∠3，∠A，∠1，∠2，55
【分析】根据平行线的性质推出∠1＝∠3，∠2＝∠A把已知代入即可求出答案．
【详解】解：∵ABDE，
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∠2＝∠A （两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠3＝55° （已知）
∴∠1＝∠2＝55°，
故答案为：∠3，∠A，∠1，∠2，55．
【点睛】本题考查了平行线的性质，能熟练地运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．
8．(1)35°
(2)；理由见解析
【分析】（1）由角平分线、三角形的外角的性质，可知，，，根据三角形内角和定理可得，计算求解即可；
（2）由题意，易证△PEB与△PFC是等腰三角形，进而可得到线段BE、EF、CF之间的数量关系．
（1）
解：∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴的度数为
（2）
解：BE＝EF+CF．
理由如下：∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCD，
∵，
∴∠EPB＝∠PBD，∠EPC＝∠PCD，
∴∠ABP＝∠EPB，∠ACP＝∠EPC，
∴BE＝PE，CF＝PF，
∵PE＝EF+PF，
∴BE＝EF+CF．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
9．BDP，BAC，两直线平行，同位角相等；DPE，BDP，两直线平行，内错角相等．
【分析】先根据DP∥AC得出∠BDP=∠BAC，再由PE∥AB得出∠DPE=∠BDP，利用等量代换即可得出结论．
【详解】解：因为DP∥AC（已知），
所以∠BDP＝∠BAC（两直线平行，同位角相等）．
因为PE∥AB（已知），
所以∠DPE＝∠BDP（两直线平行，内错角相等），
所以∠DPE＝∠BAC（等量代换）．
故答案为：BDP，BAC，两直线平行，同位角相等；DPE，BDP，两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
10．(1)见解析
(2)42°
【分析】（1）依据平分，，可得，即可得到结论；
（2）由可知 ，由平分可知度数，又可得，再由三角形内角和求解即可．
（1）
平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，
∴
【点睛】本题主要考查了角平分线的意义、平行线的性质、等角对等边、三角形内角和定理等，综合运用以上知识点是解题的关键．
11．EF∥BC，DE＝DC．
【分析】先利用△AED≌△ACD得到∠3＝∠4，利用角的平分线，转化为一对相等的内错角，继而判定直线的平行．
【详解】解：EF、BC的位置关系是EF∥BC．
理由如下：
如图，
∵AD是∠BAC的角平分线（已知）
∴∠1＝∠2．
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（SAS）．
∴DE＝DC（全等三角形的对应边相等），
∴∠3＝∠4．
∵EC平分∠DEF（已知），
∴∠3＝∠5．
∴∠4＝∠5．
所以EF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：EF∥BC，∠1＝∠2，AD=AD，DE＝DC．
【点睛】本题考查了三角形的全等和性质，角的平分线即从角的顶点出发的射线把这个角分成相等的两个角，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握灯光要三角形的性质，平行线的判定是解题的关键．
12．（1）A（0，4），C（2，0）；（2）存在，t=1；（3）值不变，其值为2．
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a，b的值，再利用中点坐标公式即可得出答案；
（2）先得出CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再根据S△ODP=S△ODQ，列出关于t的方程，求得t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，先判定OG∥AC，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入进行计算即可．
【详解】解：（1）∵+|b-2|=0，
∴a-2b=0，b-2=0，
解得a=4，b=2，
∴A（0，4），C（2，0）；
（2）存在，
理由：如图1中，D（1，2），
由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP=t，OP=2-t，OQ=2t，
∴S△DOP= OP yD=（2-t）×2=2-t，S△DOQ= OQ xD=×2t×1=t，
∵S△ODP=S△ODQ，
∴2-t=t，
∴t=1；
（3）结论：的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3=90°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO=180°，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴=2．
【点睛】本题考查了坐标与图形、非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
13．两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠D+∠DEF=180°；360；360；270
【分析】过点E作EF∥AB，根据平行公理的推论和平行线性质进行分析说明.
【详解】解：过点E作EF∥AB，
得∠B+∠BEF=180°(两直线平行，同旁内角互补_)，
因为AB∥CD(_已知__)，
EF∥AB(所作)，
所以EF∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).
得_∠D+∠DEF=180°_(两直线平行,同旁内角互补)，
所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D= 360°(等式性质).
即∠B+∠BED+∠D=360°.
因为∠BED=90°(已知)，
所以∠B+∠D=270°(等式性质).
故答案为两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠D+∠DEF=180°；360；360；270
【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质.作好辅助线，熟悉平行线的判定和性质是关键.
14．证明见解析.
【详解】试题分析：根据已知可得∠1=∠2，∠2+∠3=180°，由同位角相等，两直线平行即可得OB∥AC，由同旁内角互补，两直线平行可得OA∥BC．
试题解析：
OA∥BC，OB∥AC,理由如下：
∵∠1=50°，∠2=50°，
∴∠1=∠2，
∴OB∥AC，
∵∠2=50°，∠3=130°，
∴∠2+∠3=180°，
∴OA∥BC．
考点：平行线的判定.
试卷第1页，共3页
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