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半导体能带
1.根据电磁场边界条件证明：
证明：根据高斯定律，在金属外表面，二氧化硅中：
在二氧化硅和半导体界面：令二氧化硅为介质1，半导体为介质2。则：
2.导出反型和强反型条件
解：反型条件：
设半导体体内本征费米能级为 ，则在空间电荷区内，
半导体能带
在半导体表面处，
为半导体体内的费米势。则
当 时，半导体表面呈现本征状态，此后，再增加 ，半导体表面就会发生反型，于是由（2）式得到
令
或者
以及
（2）
（1）
（3）
一般规定，当表面势等于体内费米势时，半导体表面开始发生反型。（3）式即为反型条件。
强反型条件：规定当表面少子浓度等于体内平衡多子浓度时，半导体表面形成强反型层，这称为强反型层条件。由（1）和（2）式有
式 中表示出现强反型时的表面势。（3）式叫做强反型条件。
3.证明MOSFET沟道电导为
证明：对于长为L 、截面积为Z 的电阻，如果载流子均匀分布，其电导为
（3）
由于载流子不均匀，应把 写成 ，
于是
其中
为反型层中单位面积下的总的电子电荷，负号表示负电荷。（2）代入（1）即得
（1）
（2）
4.导出MOS理想结构的阈值电压 的表达式并说明式中个项的物理意义。
解：由
当出现强反型时，
可见，当 ＞ 时，才会出现负的感应沟道电荷 ，也就是说，只有 ＞ 时，半导体表面才会形成强反型层。式中 称为阈值电压：
〔（6-44）〕
，于是有
或者
上式即为所求。从物理上说，它的第一项表示在形成强反型时，要用一部分电压去支撑空间电荷 ；第二项表示要用一部分电压为半导体表面提供达到强反型时所需要的表面势 。 是形成强反型时所需要的最小栅电压。
5.假设单位面积上有正电荷 位于二氧化硅层内，导出使能带平直所需的平带电压。如果氧化层中正电荷连续分布，电荷体密度为 ，导出平带电压的表达式。
〔（6-55）〕
解：假设单位面积上正电荷 位于二氧化硅层内X处的一薄层中，。这些正电荷在金属表面上感应出负电荷 ，在半导体表面感应出负电荷QS， 。由于 的出现，在没有外加偏压VG的情况下，半导体表面内也将出现空间电荷区，能带发生弯曲，半导体表面带有正的表面势 。为克服该表面势，或者说使能带平直，则需在金属电极上加一负电压 ，使得金属上负的面电荷 增加到与绝缘层中的正电荷数 值相等。这样使氧化层中的正电荷发出的电力全部终止到金属电极上而对半导体表面不发生影响，这时半导体表面恢复到平带情况（不考虑功函数差的影响）。金属电极上所加的电压 即为克服 影响所需要的平带电压，显然
即
其中 ，为单位面积的总氧化层电容。
如果氧化层中正电荷连续分布，则在位于x到x+dx的薄层中，面电荷密度为 。设它们对平带电压的贡献为dVG2，利用（1）式，有
〔（6-58）〕
将上式对整个氧化层厚度积分，便得到与这些正电荷有关的总的平带电压
〔（6-60）〕
其中
称为有效面电荷。
利用式（6-60），若电荷片 位于 则
6.导出萨支唐（ ）方程。
解：加上源漏之间的沟道电压 之后，在 处建立起
电位，因而感应沟道电荷为
由于沟道内载流子分布均匀，不存在浓度梯度，因此沟道电流只含电场作用的漂移项，漂移电流为电子电流。
和（1）式代入上式，得到
（1） 〔（6-67）〕
对上式从 到 以及 到 积分，得
（2）式就是萨支唐（ ）方程。也称为漏电流方程。
（2） 〔（6-70）〕
画出等效电路图，导出MOSFET的最高工作频率 。
解： 为输出电流和输入电流之比为1时的频率，即当器件输出短路时，器件不能够放大输入信号时的频率。根据等效电路图，
线性区跨导
总栅电容为
于是
〔（6-79）〕
〔（6-82）〕

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