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倒 格 子
设一晶格的基矢为 a1 、 a2、a3，有如下的关系：
b1= 2 (a2 a3)\ 说明b1垂直于a2和a3所确定的面；
b2= 2 (a3 a1)\ 说明b2垂直于a3和a1所确定的面
b3= 2 (a1 a2\ 说明b3垂直于a1和a2所确定的面
式中： = a1 ·( a2 a3)为晶格原胞的体积。
1. 倒格子的数学定义
倒 格 子
倒格子：以b1、b2、b3为基矢的格子是以a1、a2、a3为基矢的格子的倒格子。
（1） 正格子基矢和倒格子基矢的关系
2. 正格子与倒格子的几何关系
=2 (i=j)
ai·bj=2 i j
=0 (i j)
证明如下： a1·b1=2 a1 ·( a2 a3 ) / a1 ·( a2 a3 ) = 2
因为倒格子基矢与不同下脚标的正格子基矢垂直，有：
a2·b1=0 a3·b1=0
（2）除（2 ）3因子外，正格子原胞体积 和倒格子原胞体积 *互为倒数。
*=b1 ·( b2 b3) = (2 ）3/
表示正格点
表示倒格点
ABC为一族晶面（h1h2h3）中的最靠近原点的晶面，与 k h垂直




a1
a2
a3
B
C
A
k h
a1/h1
a3/h3
a2/h2
（3）正格子中一族晶面（h1h2h3）和倒格矢
k h=h1b1+h2b2+h3b3 正交，
即晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标.

由（3）、（4）可知，一个倒格矢代表正格子中的一族平行晶面 。
晶面族（h1h2h3）中离原点的距离为 d h1h2h3的晶面的方程式可写成： R l· kh/|kh|= d h1h2h3
( =0,±1,±2,……)
得出正格矢和倒格矢的关系： R l · kh= 2
结论：如果两矢量的关系：R l · kh= 2 ，则其中一个为正格子，另一个必为倒格子；即正格矢和倒格矢恒满足正格矢和倒格矢的关系。
（4）倒格矢的长度正比于晶面族（h1h2h3）的面间距的倒数。dh1h2h3=a1/h1·kh/|kh|=a1(h1b1+h2b2+h3b3)/h1|kh|=2 /|kh|
结论：
倒格矢Kh垂直某一晶面（ h1h2h3 ），也即该晶面的法线方向与此倒格矢方向一致。
倒格矢Kh的大小与和其垂直的晶面间距成正比。
一个倒格矢对应一族晶面，但一族晶面可以对应无数个倒格矢，这些倒格矢的方向一致，大小为最小倒格矢的整数倍。
满足X射线衍射的一族晶面产生一个斑点，该斑点代表一个倒格点，即该倒格点对应一族晶面指数。
利用倒易点阵（倒格子）与正格子间的关系导出晶面间距和晶面夹角。
晶面间距dh1h2h3 ：dh1h2h3=2 / |kh1h2h3|
两边开平方， 将kh1h2h3 =h1b1+h2b2+h3b3及正倒格子的基矢关系代入，经过数学运算，得到面间距公式。
晶面夹角 ： k1· k2 = k1 k2 COS
100
200
300
001
002
003
101
201
301
103
202
203
(100)
(001)
(102)
O
倒格子与正格子间的相互转化
102
0
b1
b2
一维格子
倒格子原胞：
作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，这些平面完全封闭形成的最小的多面体（体积最小）------第一布里渊区。
b1
b2
0
二维格子
3 . 倒格子原胞和布里渊区




a
b




构成第一布里渊区（简约布里渊区）的垂直平分线的方程式如下：
x=± /a 及 y=± /a
第二布里渊区的各个部分分别平移一个倒格矢，可以同第一区重合。第三布里渊区的各个部分分别平移适当的倒格矢也能同第一区重合。
(2 /a) i
-(2 /a) i
(2 /a) j
-(2 /a) j
4 . X射线衍射与倒格子、布里渊区的关系
（1） X射线衍射与倒格子的关系
根据公式： k－k0 =n Kh ,
建立反射球或衍射球
入射线的波矢k0
反射线的波矢k
倒格矢Kh
O
C
A
晶面
反射球
R l· kh/|kh|= d h1h2h3
Rl .( k－k0 ）= 2
dh1h2h3=2 / |kh1h2h3|
（h1h2h3）
（h1 h2 h3 ）
建立反射球的意义
通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和衍射照片上的斑点直接联系起来。
利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向 （若反射球上的A点是一个倒格点，则CA就是以OA为倒格矢的一族晶面h1h2h3的衍射方向S）。

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