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能带中的能级数目
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能带中的能级数目
一 . 克朗尼格- 朋奈模型
能带理论是单电子近似理论。
布洛赫定理指出，一个在周期场中运动的电子，
其波函数一定是布洛赫函数。
下面我们通过一个最简单的一维周期场-------
克朗尼格- 朋奈（Kroning-Penney）模型来说明
晶体中电子的能量特点。
周期性边界条件的
引入,说明了电子的状态是分立的。
它把每个电子的
运动看成是独立地在一个等效势场中的运动。
现在再来说明电子的能量有什么特点？
回顾：
3
克朗尼格- 朋奈模型是把图1的周期场简化为
图 4 所示的周期性方势阱。假设电子是在这样的
周期势场中运动。
在 0 < x < a 一个周期的区域中，电子的势能为
0
c
a
U0
U(x)
x
b
图 4 克朗尼格 - 朋奈模型
4
按照布洛赫定理，波函数应有以下形式
式中
即可得到 满足的方程
将波函数 代入定态薛定谔方程
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利用波函数应满足的有限、单值、连续等物理
（自然）条件，进行一些必要的推导和简化，
最后可以得出下式
注*：有兴趣的读者可参阅〈固体物理基础〉
蔡伯熏编（1990）P 268。
式中
而 是电子波的角波数*。
（4）式就是电子的能量 E 应满足的方程,也是电子
能量 E与角波数 k 之间的关系式。
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布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子
波函数为：一个自由电子波函数 与一个具有
晶体结构周期性的函数 的乘积。
只有在 等于常数时，在周期场中运动的
电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。
这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的
倾向，又有受到周期地排列的离子的束缚的特点。
因此，布洛赫函数是比自由电子波函数
更接近实际情况的波函数。
它是按照晶格的周期 a 调幅的行波。
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实际的晶体体积总是有限的。因此必须
考虑边界条件。
设一维晶体的原子数为N,它的线度为 L=Na,则布洛赫波函数 应满足如下条件
此式称为周期性边界条件。
周期性边界条件
采用周期性边界条件以后，具有 N 个晶格点的
晶体就相当于首尾衔接起来的圆环：
在固体问题中，为了既考虑
到晶体势场的周期性，又考虑到晶体是有限
的，我们经常合理地采用周期性边界条件：
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由周期性边界条件可以推出:布洛赫波函数 的
波数 k 只能取一些特定的分立值。
a
a
周期性边界条件对波函数中的波数是有影响的。
图 2 周期性边界条件示意图
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左边为
右边为
所以
由周期性边界条件
即周期性边界条件使 k 只能取分立值：
证明如下:
按照布洛赫定理：
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k 是代表电子状态的角波数,
n 是代表电子状态的量子数。
对于三维情形,
电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表。
它对应一组状态角波数（kx、 ky、 kz）。
一个 对应电子的一个状态。
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我们以 为三个直角坐标轴，建立一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、
空间，或动量空间*。
kx、 ky、 kz
由于德布洛意关系 ，即 ，
所以 空间也称为动量空间。
注：
在 空间中，电子的每个状态可以用
一个状态点来表示，这个点的坐标是
空间
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ky
kx
0
-1
1
2
-2
3
-3
1
-1
2
-2
-3
3
上式告诉我们，沿 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是 。
图 3 表示二维 空间每个点所占的面积是 。
因此， 空间中每个状态点所占的体积为 。
图 3 二维 空间
示意图

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