资源简介

(共15张PPT)
振动习题课件
15-1 如图所示，绝热容器上端有一截面积
为S 的玻璃管，管内放有 一质量为m 的光滑小球
作为活塞。容器内储有体积为V、压强为p 的某种
气体，设大气压强为p0 。开始时将小球稍向下移，
后放手，则小球将上下振动。如 果 测出小球作简
谐振动时的周期 T，就可以测定气体的比热容比热
容比γ。试证明 ：
(假定小球在振动过程中，
容器内气体进行的过程可看
作准静态绝热过程)
π
4
γ
V
m
p
2
=
2
S
4
T
2
返回
结束
解：在静平衡时：
当小球下降 x (任意位置)时：
0
p
p
1
mg
x
o
x
静平衡位置
任意位置
由上两式可得到：
设过程是绝热的，所以：
V
x
1
=
V
S
g
m
0
+
=
S
p
S
p
1
(
)
=
V
γ
p
γ
x
V
S
p
=
V
γ
p
V
γ
1
1
p
d
x
d
t
2
2
m
=
S
p
S
1
p
0
+
d
x
d
t
2
2
m
=
S
p
S
mg
1
p
返回
结束
=
p
V
γ
x
1
S
1
(
)
=
p
V
γ
p
γ
x
V
S
+
1
γ
V
x
S

=
p
+
1
γ
V
x
S
V
x
S
<
<
∵
+
+
=
1
V
γ
x
1
S
1
γ
V
x
S
...
∴
1
(
)
=
p
V
γ
γ
x
V
S
p
1
=
p
V
γ
x
1
S
p
返回
结束
1
p
=
p
+
1
γ
V
x
S
=
d
x
d
t
2
2
m
前面已得到：
+
=
d
x
d
t
2
2
m
p
S
γ
V
x
2
0
=
ω
2
m
p
S
γ
V
2
=
ω
m
p
S
γ
V
2
=
T
ω
m
p
S
γ
V
2
π
2
π
4
γ
V
m
p
2
=
2
S
4
T
2
=
S
p
S
1
p
S
p
+
1
γ
V
x
S
S
p
d
x
d
t
2
2
m
=
S
p
S
1
p
返回
结束
15-2 1660年玻意耳把一段封闭的气
柱看成一个弹簧，称为“空气弹簧”如图所
示，有一截面积为S 的空心管柱，配有质量
为m的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。
在话塞处于平街状态时，柱内气体的压强为
p，气柱高为h,若使活塞有一微小位移，活
塞将作上下振动，求系
统的固有角频率。
可利用这空气弹簧
作为消振器。
p
h
m
返回
结束
g
m
0
+
=
S
p
S
p
x
0
+
d
d
t
2
2
m
=
S
p
S
mg
1
p
V
p
V
1
p
=
1
解：在静平衡时：
当活塞下降 x (任意位置)时：
设过程是等温的
V
1
h
x
(
)
=
S
V
h
=
S
d
x
d
t
2
2
m
=
S
p
S
1
p
由上两式得到：
静平衡位置
任意位置
x
x
o
0
p
p
1
mg
p
1
p
=
h
x
(
)
S
h
S
返回
结束
p
1
p
=
h
x
(
)
S
h
S
p
=
x
(
)
h
1
1
p
x
(
)
h
1

+
(
)
h
x
<
<
∵
d
x
d
t
2
2
m
=
S
p
S
1
p
d
x
d
t
2
2
m
=
S
S
p
p
x
(
)
h
1
+
d
x
d
t
2
2
m
=
S
p
x
h
+
0
m
=
S
p
h
ω
=
m
h
g
m
0
+
S
p
p
1
=
h
x
(
)
h
p
返回
结束
15-3 设想沿地球直径凿一隧道，并设
地球为密度ρ=5.5×l03kg/m3的均匀球体。
试证:
(1)当无阻力时，一物体落入此隧道后将作
简谐振动；
(2)物体由地球表面落至地心的时间为
(提示，物体在地球内部所受引力的计算，
与电荷在均匀带电球体内受力的计算类似)
π
ρ
3
G
t
=
4
1
式中G是引力常量。
返回
结束
F
G
m
r
=
M
2
G
r
=
M
2
.
ò
=
K
ò
S
d
S
K
π
2
r
4
=
G
r
M
2
π
2
r
4
=
G
M
π
4
.
ò
=
K
ò
S
d
S
K
π
2
r
4
ρ
=
G
π
4
π
3
r
4
3
.
π
ρ
=
G
4
r
3
K
m
K
=
F
解：由万有引力定律：
和静电场类似，引入万有引力场场强 K
和静电场类似，引入引力场的高斯定理
在地球内部作一半径为 r 的高斯面
得到该处的场强：
返回
结束
ρ
=
G
π
4
r
3
K
=
F
m
K
=
m
ρ
G
π
4
r
3
d
x
d
t
2
2
m
=
+
0
ρ
G
π
4
r
3
d
r
d
t
2
2
=
=
ω
ρ
G
π
4
3
=
T
ω
π
2
=
t
T
4
=
π
ρ
G
3
=
π
ρ
G
3
4
1
=1267s
3×3.14
6.67×10-11×5.5×103
=
4
1
ρ
G
π
4
3
=
π
2
返回
结束
15-4 一半径为R的光滑圆环以恒定
的角速度ω绕其竖直的直径旋转，圆环上套
有一小珠。试求在Rω2>g的情形下，
(1)小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆
心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示);
(2)小珠在平衡位置
附近作小振动的角频
率。
返回
结束
mg
=
Ncosq0
g
=
cosq0
R
ω2
1
cos
g
=
q0
R
ω2
Nsinq0
=
ω
mR
sinq0
2
+
=
q
q0
Δ
q
解：(1)在平衡位置时
(2)当小球偏离平衡位置时
ω
mR
sinq
2
F
I
=
小球除了受正压力N，重力作用mg 外，
q
N
mg
F
I
还受到一惯性力作用
返回
结束
Δ
q
=
d
dt
2
2
sin(q0 +
Δ
q
)
(
)
Δ
q
cos(q0 +
)
ω
2
g
R
Δ
q
sin(q0 +
)
dv
=
ω
mR
sinq
cosq
2
mg
sinq
m
dt
=
d
dt
q
2
2
sinq
cosq
ω
2
g
R
sinq
d
=
mR
dt
q
2
Δ
q
因为
很小
+
Δ
q
sin(q0 +
)
cosq0
sinq0
Δ
q

Δ
q
cos(q0 +
)
sinq0
cosq0
Δ
q

将这两式代入上式可得：
返回
结束
=
d
dt
2
2
Δ
q
(
)
(
)
+
cosq0
sinq0
Δ
q
sinq0
cosq0
Δ
q
(
)
ω
2
g
R
+
cosq0
sinq0
Δ
q
(
)
g
=
cosq0
sinq0
ω
2
R
sinq0
(
)
g
+
cosq0
sin q0
ω
2
(
2
cos q0
ω
2
2
R
)
Δ
q
=
2
(
)
cos
ω
0
q0
ω
2
1
2
g
+
cosq0
R
R
1
2
2
ω
4
g
2
(
)
ω
2
+
R
2
ω
2
g
2
=
R
2
ω
4
g
2
R
2
ω
2
=
返回
结束

展开更多......

收起↑