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2023年中考数学第一轮复习
模块七 图形的变换
专题2 图形变换（平移、旋转、对称）
图形的对称 图形 判断方法
轴对称图形 ①有对称轴——直线 ②图形沿对称轴折叠 ③直线两旁的部分重合
中心对称图形 ①有对称中心——点 ②图形绕对称中心旋转180° ③旋转前后的图形完全重合
成轴对称 ①成轴对称的两个图形全等 ②对称点的连线被对称轴垂直平分 ③点P(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，点P(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)
成中心对称 ①成中心对称的两个图形全等 ②对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分 ③点P(x，y)，关于原点的对称点为(－x，－y)
图形的折叠 翻折：将一个图形(某部分)沿一条直线(折痕)对折，对折前后两部分完全重合.
性质：①折痕两边的折叠部分全等； ②折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分.
图形的平移 平移：平移是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离.
平移的性质：①对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等；②对应点所连的线段平行且相等；每个点移动的距离相等；③平移后的图形与原图形全等.
图形的旋转 旋转：旋转是指在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度.
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角相等，都等于旋转角；③旋转后的图形与原图形全等.
题型一、轴对称图形与中心对称图形
1．（2022·湖南永州）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（　　　）
① 　　　　　②　　　　　　　　　　 ③　　　　　　　　　　④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．（2022·内蒙古赤峰）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
3．（2022·湖南郴州）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川遂宁）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线B．笛卡尔心形线
C．阿基米德螺旋线D．赵爽弦图
题型二、图形的对称
1．（2022·四川泸州）点关于原点的对称点的坐标为________．
2．（2022·贵州遵义）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
3．（2022·山东青岛）如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广西贵港）若点与点关于y轴对称，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2022·江苏常州）在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型三、图形的折叠
1．（2022·贵州毕节）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
2．（2022·山东潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为___________．
3．（2022·贵州铜仁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．
4．（2022·浙江绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．
(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
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5．（2022·新疆）如图，在巾，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．
(1)当时，___________；
(2)探究与之问的数量关系，并给出证明；
(3)设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
题型四、图形的平移
1．（2022·广西）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（3，-3） B．（3，3） C．（－1，1） D．（－1，3）
2．（2022·内蒙古赤峰）如图，点，将线段先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·海南）如图，点，将线段平移得到线段，若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江湖州）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′．若B′C=2cm，则BC′的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
6．（2022·浙江嘉兴）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm
题型五、图形的旋转
1．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（　　）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
2．（2022·黑龙江绥化）如图，线段在平面直角坐标系内，A点坐标为，线段绕原点O逆时针旋转90°，得到线段，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东聊城）如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是（ ）
A．(-2，3) B．(-3，2) C．(-2，4) D．(-3，3)
4．（2022·湖南）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广西）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·内蒙古包头）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（ ）
A． B． C．3 D．2
8．（2022·江苏苏州）如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
9.（2022·广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________．
10．（2022·湖南）如图所示的方格纸格长为一个单位长度）中，的顶点坐标分别为，，．
(1)将沿轴向左平移5个单位，画出平移后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；
(2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；
(3)在（2）的条件下，求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留．
11．（2022·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点顺时针旋转90°后得到，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
12．（2022·四川广元）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．
(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 　 　；
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．
2023年中考数学第一轮复习
模块七 图形的变换
专题2 图形变换（平移、旋转、对称）
图形的对称 图形 判断方法
轴对称图形 ①有对称轴——直线 ②图形沿对称轴折叠 ③直线两旁的部分重合
中心对称图形 ①有对称中心——点 ②图形绕对称中心旋转180° ③旋转前后的图形完全重合
成轴对称 ①成轴对称的两个图形全等 ②对称点的连线被对称轴垂直平分 ③点P(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，点P(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)
成中心对称 ①成中心对称的两个图形全等 ②对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分 ③点P(x，y)，关于原点的对称点为(－x，－y)
图形的折叠 翻折：将一个图形(某部分)沿一条直线(折痕)对折，对折前后两部分完全重合.
性质：①折痕两边的折叠部分全等； ②折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分.
图形的平移 平移：平移是指在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离.
平移的性质：①对应线段平行(或在同一条直线上)且相等，对应角相等；②对应点所连的线段平行且相等；每个点移动的距离相等；③平移后的图形与原图形全等.
图形的旋转 旋转：旋转是指在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度.
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角相等，都等于旋转角；③旋转后的图形与原图形全等.
题型一、轴对称图形与中心对称图形
1．（2022·湖南永州）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（　　　）
① 　　　　　②　　　　　　　　　　 ③　　　　　　　　　　④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可；
【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
∴是中心对称图形的是：①②③；故选：A．
【点睛】本题主要考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
2．（2022·内蒙古赤峰）下列图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【详解】A不是轴对称图形；
B、C、D都是轴对称图形；故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2022·湖南郴州）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误；
B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确；
C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项错误；
D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，中心对称图形是要寻找对称中心旋转180度后与原图重合．
4．（2022·四川遂宁）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
科克曲线笛卡尔心形线
阿基米德螺旋线赵爽弦图
A．科克曲线 B．笛卡尔心形线 C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
题型二、图形的对称
1．（2022·四川泸州）点关于原点的对称点的坐标为________．
【答案】
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】点关于原点对称的点的坐标是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
2．（2022·贵州遵义）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得的值即可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，故选C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，代数式求值，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
3．（2022·山东青岛）如图，将先向右平移3个单位，再绕原点O旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先画出平移后的图形，再利用旋转的性质画出旋转后的图形即可求解．
【详解】解：先画出△ABC平移后的△DEF，再利用旋转得到△A'B'C'，
由图像可知A'（-1，-3），故选：C．
【点睛】本题考查了图形的平移和旋转，解题关键是掌握绕原点旋转的图形的坐标特点，即对应点的横纵坐标都互为相反数．
4．（2022·广西贵港）若点与点关于y轴对称，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
【详解】∵点与点关于y轴对称，
∴a=-2，b=-1，
∴a-b=-1，故选A．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，代数式求值，解题的关键在于明确关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数．
5．（2022·江苏常州）在平面直角坐标系中，点A与点关于轴对称，点A与点关于轴对称．已知点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用关于x，y轴对称点的性质分别得出A，点坐标，即可得出答案．
【详解】解：∵点的坐标为（1，2），点A与点关于轴对称，
∴点A的坐标为（1，-2），
∵点A与点关于轴对称，
∴点的坐标是（-1，﹣2）．故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于x，y轴对称点的坐标，正确掌握关于坐标轴对称点的性质是解题关键．
题型三、图形的折叠
1．（2022·贵州毕节）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据计算即可．
【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，
∵将沿折叠得到∴与关于AE对称
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=
∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=∴
∵∴∴
∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=∴故选 D
【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．
2．（2022·山东潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为___________．
【答案】：1
【分析】判定△AB′D′是等腰直角三角形，即可得出AB′=AD，再根据AB′= AB，再计算即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=∠DAB=90°，
由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，
∴△AB′D′是等腰直角三角形，∴AD=AD′= B′D′，
由勾股定理得AB′=AD，
又由操作二可知：AB′=AB，
∴AD=AB，∴=，
∴A4纸的长AB与宽AD的比值为：1．故答案为：：1．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换的运用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2022·贵州铜仁）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．
【答案】
【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：作点P关于CE的对称点P′，
由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线，
∴点P′在CD上，
过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，
∵MN+NP=MN+NP′≤MF，
∴MN+NP的最小值为MF的长，
连接DG，DM，
由折叠的性质知CE为线段 DM的垂直平分线，
∵AD=CD=2，DE=1，
∴CE==，
∵CE×DO=CD×DE，
∴DO=，
∴EO=，
∵MF⊥CD，∠EDC=90°，
∴DE∥MF，
∴∠EDO=∠GMO，
∵CE为线段DM的垂直平分线，
∴DO=OM，∠DOE=∠MOG=90°，
∴△DOE≌△MOG，
∴DE=GM，
∴四边形DEMG为平行四边形，
∵∠MOG=90°，
∴四边形DEMG为菱形，
∴EG=2OE=，GM= DE=1，
∴CG=，
∵DE∥MF，即DE∥GF，
∴△CFG∽△CDE，
∴，即，
∴FG=，
∴MF=1+=，
∴MN+NP的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．
4．（2022·浙江绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
【答案】(1)25°
(2)①当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；②当点P在线段CE上时，2α＋β＝50°
【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根据AE平分∠BAC，P与E重合，可得∠ACD，从而α＝∠ACB ∠ACD；
（2）分两种情况：①当点P在线段BE上时，可得∠ADC＝∠ACD＝90° α，根据∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，即可得2α β＝50°；②当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F，由∠ADC＝∠ACD＝90° α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90° α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°．
(1)
解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝50°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAC＝25°，
∵P与E重合，
∴D在AB边上，AE⊥CD，
∴∠ACD＝65°，
∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；
(2)
①如图1，当点P在线段BE上时，
∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，
∴90°－α＋β＝40°＋α，
∴2α－β＝50°；
②如图2，当点P在线段CE上时，
延长AD交BC于点F，
∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，
∴90°－α＝40°＋α＋β，
∴2α＋β＝50°．
【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质．
5．（2022·新疆）如图，在巾，，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将沿AD折叠得到，连接BE．
(1)当时，___________；(2)探究与之问的数量关系，并给出证明；
(3)设，的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）首先由折叠的性质可得，再由等腰三角形的性质可求解；
（2）首先由折叠的性质可得，，再由等腰三角形的性质可得，，最后根据角度关系即可求解；
（3）首先由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，最后根据面积和差关系可求解．
(1)，，，
，
将沿折叠得到，
，
，
，
故答案为：60；
(2)
，理由如下：
将沿折叠得到，
，，
，，
，
，
，
；
(3)
如图，连接，
，点是的中点，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质并能够灵活运用．
题型四、图形的平移
1．（2022·广西）如图，在△ABC中，点A（3，1），B（1，2），将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（3，-3） B．（3，3） C．（－1，1） D．（－1，3）
【答案】D
【分析】根据图形的平移性质求解．
【详解】解：根据图形平移的性质，B′（1-2，2+1），即B′（-1，3）；故选：D．
【点睛】本题主要考查图形平移的点坐标求解，掌握图形平移的性质是解题的关键．
2．（2022·内蒙古赤峰）如图，点，将线段先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点向上平移a个单位，点向左平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+a） P（x+a，y+b），进行计算即可．
【详解】解：∵点A坐标为（2，1），
∴线段OA向h 平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（2-3，1+2），
即（-1，3），故选C．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
3．（2022·海南）如图，点，将线段平移得到线段，若，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先过点C做出轴垂线段CE，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．
【详解】
如图过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴
在和中，
，
∴，
∴ ，
则 ,
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，
故答案选D
【点睛】本题考查了图像的平移、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定与性质找出图像左右、上下平移的距离是解题的关键．
4．（2022·浙江湖州）如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到对应的△A′B′C′．若B′C=2cm，则BC′的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【分析】据平移的性质可得BB′=CC′=1，列式计算即可得解．
【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移1cm得到△A′B′C′，∴BB′=CC′=1cm，
∵B′C=2cm，∴BC′= BB′+ B′C+CC′=1+2+1=4（cm）．故选：C．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟记性质得到相等的线段是解题的关键．
6．（2022·浙江嘉兴）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．(－1)cm D．(2－1)cm
【答案】D
【分析】先求出BD，再根据平移性质求得=1cm，然后由求解即可．
【详解】解：由题意，BD=cm，
由平移性质得=1cm，
∴点D，之间的距离为==（）cm，故选：D．
【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．
题型五、图形的旋转
1．（2022·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，点C的坐标为（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是（　　）
A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位
D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位
【答案】D
【分析】观察图形可以看出，Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE，应先旋转然后平移即可．
【详解】解：根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．故选：D．
【点睛】本题考查的是坐标与图形变化，旋转和平移的知识，掌握旋转和平移的概念和性质是解题的关键．
2．（2022·黑龙江绥化）如图，线段在平面直角坐标系内，A点坐标为，线段绕原点O逆时针旋转90°，得到线段，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，逆时针旋转90°作出，过A作轴，垂足为B，过作轴，垂足为，证明，根据A点坐标为，写出，，则，，即可写出点A的坐标．
【详解】解：如图，逆时针旋转90°作出，过A作轴，垂足为B，过作轴，垂足为，
∴，，
∵，，
∴，∴，∴，，
∵A点坐标为，∴，，
∴，，∴，故选：A．
【点睛】本题考查旋转的性质，证明是解答本题的关键．
3．（2022·山东聊城）如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是（ ）
A．(-2，3) B．(-3，2) C．(-2，4) D．(-3，3)
【答案】A
【分析】根据旋转的性质解答即可．
【详解】解：∵线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，
∴的对应点为，∴，∴旋转角为90°，
∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的点的坐标为（-2，3），故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，练掌握对应点与旋转中心的连线是旋转角和旋转角相等是解答本题的关键．
4．（2022·湖南）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转得，连接，
，，，
是等边三角形，
，
∵，，
，
，
与的面积之和为
．故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键．
5．（2022·内蒙古呼和浩特）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，则∠B=∠BDC，利用三角形内角和可求得∠B，进而可求得∠E，则可求得答案．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴，
∴，
∴，
，故选：C．
【点睛】本题考查了旋转变换、三角形内角和、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
6．（2022·广西）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先证，再求出AB的长，最后根据弧长公式求得．
【详解】解：，
，
是绕点A逆时针旋转得到，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
的长=，故选：B．
【点睛】本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运算三角函数定义求线段的长度是解本题的关键．
7．（2022·内蒙古包头）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】如图，过作于 求解 结合旋转：证明 可得为等边三角形，求解 再应用锐角三角函数可得答案．
【详解】解：如图，过作于
由，
结合旋转：
为等边三角形，
∴A到的距离为3．故选C
【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
8．（2022·江苏苏州）如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，可得，，从而，即可解得．
【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：
∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°，∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，
∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，
∴AE＝OE OA＝CD OA＝1，∴，
在Rt△BCD中，，
在Rt△AOB中，，
∵OB＋BD＝OD＝m，∴，
化简变形得：3m4 22m2 25＝0，解得：或（舍去），
∴，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度．
9.（2022·广西贺州）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为__________．
【答案】
【分析】过B作于，过作轴于，构建，即可得出答案．
【详解】过B作于，过作轴于，
∴，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质以及如何构造全等三角形求得线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键．
10．（2022·湖南）如图所示的方格纸格长为一个单位长度）中，的顶点坐标分别为，，．
(1)将沿轴向左平移5个单位，画出平移后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；
(2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的△（不写作法，但要标出顶点字母）；
(3)在（2）的条件下，求点绕点旋转到点所经过的路径长（结果保留．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出， ，的对应点，，即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出， ，的对应点，，即可；
（3）利用弧长公式求解即可．
(1)解：如图，即为所求；
(2)
解：如图，(即△A2OB2）即为所求；
(3)
解：在中，，
．
【点睛】本题考查作图旋转变换，平移变换，勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质．
11．（2022·黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
(2)画出绕点顺时针旋转90°后得到，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)点旋转到点所经过的路径长为
【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；
（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转可得点旋转到点为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．
(1)
解：如图所示△A1B1C1即为所求，
；
(2)
如图所示△A2B2C2即为所求，；
(3)
∵
∴点旋转到点所经过的路径长为．
【点睛】题目主要考查坐标与图形，图形的平移，旋转，勾股定理及弧长公式等，数量掌握运用这些知识点是解题关键．
12．（2022·四川广元）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．
(1)如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 　 　；
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)135°
(2)（2）①补全图形见解析；∠ADB=45°；②2BE-AD=CE．理由见解析
【分析】（1）由题意得点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，利用圆内接四边形的性质即可求解；
（2）①根据题意补全图形即可；同（1），利用圆周角定理即可求解；
②过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，证明BE=DE，△CEH是等腰直角三角形，推出EH=2BE-AD，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论．
(1)
解：由题意得：CA=CD=CB，
∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，
在优弧上取点G，连接AG，BG，
∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，
∴∠BGA=45°，
∵四边形ADBG是圆内接四边形，
∴∠ADB=180°-45°=135°，
故答案为：135°；
(2)
①补全图形，如图：
由题意得：CA=CD=CB，
∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，
∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，
∴∠ADB=45°；
②2BE-AD=CE．理由如下：
过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，如图：
∵CD=CB，CE是∠BCD的平分线，
∴CE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，∠EFD=90°，
由①知∠ADB=45°，
∴∠DEF=45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA，则∠CAE=∠CDH，
∴△AEC≌△DHC，
∴AE=DH，
∴EH=2ED-AD=2BE-AD，
∵△CEH是等腰直角三角形，
∴2BE-AD=CE．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和等腰直角三角形解决问题．

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