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2023年中考数学第一轮复习
模块六 圆
专题1 与圆有关的概念及性质
圆 圆的有关概念及性质 （1）圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是轴对称图形也是中心对称图形. （2）圆具有对称性和旋转不变性. （3）不共线的三点确定一个圆. （4）圆上各点到圆心的距离都等于半径. （5）圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧. （6）连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
弧、弦、圆心角的关系 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论 在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等
垂径定理 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论 推论1： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. ② 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. ③ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
与圆有关的角及其性质 圆心角 顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.
圆周角 顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角定理 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论 ① 同弧或等弧所对的圆周角相等. ② 半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90°的圆周角所对的弦是圆的直径. ③ 圆内接四边形的对角互补.
题型一、垂径定理
1．（2022·四川自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．
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2．（2022·湖北鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
3．（2022·湖北宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．
(1)直接判断与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．
题型二、圆周角定理及其推论
1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　）
A．55° B．65° C．75° D．130°
2．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东聊城）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
4．（2022·辽宁锦州）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
5．（2022·广西贵港）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·辽宁营口）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．4
7．（2022·广西梧州）如图，是的外接圆，且，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
8．（2022·江苏苏州）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
9．（2022·辽宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．
10．（2022·内蒙古通辽）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
11．（2022·广东）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
12．（2022·江苏无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证；
(2)当时，求CE的长．
13．（2022·四川成都）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．
(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
题型三、与圆有关的性质综合
1．（2022·内蒙古包头）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
3．（2022·四川凉山）如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为_______．
4．（2022·湖北十堰）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022·四川德阳）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·山东临沂）如图，AB是的切线，B为切点，直线AO交于C，D两点，连接BC，BD，过圆心О作BC的平行线，分别交AB的延长线、及BD于点E，F，G．
(1)求证：；
(2)若F是OE的中点，的半径为3，求阴影部分的面积．
7．（2022·福建）如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC＝AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
8．（2022·湖北武汉）如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若．求和的长．
2023年中考数学第一轮复习
模块六 圆
专题1 与圆有关的概念及性质
圆 圆的有关概念及性质 （1）圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是轴对称图形也是中心对称图形. （2）圆具有对称性和旋转不变性. （3）不共线的三点确定一个圆. （4）圆上各点到圆心的距离都等于半径. （5）圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧. （6）连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.
弧、弦、圆心角的关系 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论 在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等
垂径定理 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论 推论1： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. ② 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. ③ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
与圆有关的角及其性质 圆心角 顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.
圆周角 顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角定理 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论 ① 同弧或等弧所对的圆周角相等. ② 半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90°的圆周角所对的弦是圆的直径. ③ 圆内接四边形的对角互补.
题型一、垂径定理
1．（2022·四川自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．
【答案】26
【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．
【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，∴BC=10厘米，令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2，∴（r-2）2+102=r2，解得r=26．故答案为：26．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．
2．（2022·湖北鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【答案】C
【分析】连接OA，OE，设OE与AB交于点P，根据，，得四边形ABDC是矩形，根据CD与切于点E，OE为的半径得，，即，，根据边之间的关系得，，在，由勾股定理得，，进行计算可得，即可得这种铁球的直径．
【详解】解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵，，，
∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与切于点E，OE为的半径，
∴，，
∴，，
∵AB=CD=16cm，
∴，
∵，
在，由勾股定理得，
解得，，
则这种铁球的直径＝，故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
3．（2022·湖北宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为，半径，垂足为．拱高（弧的中点到弦的距离）．连接．
(1)直接判断与的数量关系；
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到）．
【答案】(1)
(2)这座石拱桥主桥拱半径约为
【分析】（1）根据垂径定理即可得出结论；
（2）设主桥拱半径为，在中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．
(1)
解：∵半径，
∴．
故答案为：．
(2)
设主桥拱半径为，由题意可知，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为．
【点睛】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键．
题型二、圆周角定理及其推论
1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（　　）
A．55° B．65° C．75° D．130°
【答案】B
【分析】利用圆周角直接可得答案．
【详解】解： ∠BOC＝130°，点A在上， 故选B
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．
2．（2022·山东滨州·中考真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形的外角的性质可得，求得，再根据同弧所对的圆周角相等，即可得到答案．
【详解】，，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理及三角形的外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2022·山东聊城）如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．
4．（2022·辽宁锦州）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得．
【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，故选A．
【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．
5．（2022·广西贵港）如图，⊙是的外接圆，是⊙的直径，点P在⊙上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出∠A的度数，从而得到的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴
∴，故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
6．（2022·辽宁营口）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】A
【分析】连接，根据可得为的直径，又根据得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函数即可求出．
【详解】解：连接，
，
，
为的直径，
，
，
在中,
，
．.故选：A．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解三角形，解题的关键是掌握公式、定理。
7．（2022·广西梧州）如图，是的外接圆，且，在弧AB上取点D（不与点A，B重合），连接，则的度数是（ ）
A．60° B．62° C．72° D．73°
【答案】C
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质可求∠ACB的度数，然后根据圆周定理求出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，从而可求出的度数．
【详解】解：连接CD，
则∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∠BAC=36°，
∴∠ACB=，
∴∠BAD+∠ABD=∠BCD+∠ACD=∠ACB=72°．故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，∠ABD=∠ACD是解题的关键．
8．（2022·江苏苏州）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
【答案】62
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是90°，可得，由，可得，进而可得．
【详解】解：连接，
∵AB是的直径，
∴，
，
，
故答案为：62
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
9．（2022·辽宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．
【答案】40°##40度
【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，
∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
10．（2022·内蒙古通辽）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
【答案】
【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长．
【详解】解：为的直径，
∴
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接
∴当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值，
∵
∴
在中，
∴∠
∴
∴两点距离最小时，点P的运动路径长为
【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解答本题的关键．
11．（2022·广东）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)试判断的形状，并给出证明；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；证明见解析；
(2)；
【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明；
（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；
(1)
证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
(2)
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键．
12．（2022·江苏无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证；
(2)当时，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得，再由对顶角相等得，故可证明绪论；
（2）根据可得由可得出连接AE，可证明，得出 代入相关数据可求出，从而可求出绪论．
(1)
∵所对的圆周角是，
∴，
又，
∴；
(2)
∵△是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴，
∴
∴
连接如图，
∵
∴
∴∠
又∠，
∴△
∴，
∴
∴，
∴（负值舍去）
∴，
解得，
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
13．（2022·四川成都）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．
(1)求证：；(2)若，，求及的长．
【答案】(1)见解析
(2)BF=5，
【分析】（1）根据中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；
（2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到．
(1)解：∵中，，
∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，
∵，
∴∠B=∠BCF，
∴∠A=∠ACF；
(2)∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF
∴AF=CF，BF=CF，
∴AF=BF= AB，
∵，AC=8，
∴AB=10，
∴BF=5，
∵，
∴，
连接CD，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴，
∴，
∴，
∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，
∴∠FDE=∠B，
∴DE∥BC，
∴△FDE∽△FBC，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．
题型三、与圆有关的性质综合
1．（2022·内蒙古包头）如图，是的两条直径，E是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OE，由题意易得，则有，然后可得，进而根据圆周角定理可求解．
【详解】解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC，，
∴，
∴，
∵E是劣弧的中点，
∴，
∴；故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
2．（2022·浙江湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
【答案】30°##30度
【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
【详解】∵OC⊥AB，OD为直径，
∴，
∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOD=60°，
∴∠APD=∠AOD=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
3．（2022·四川凉山）如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为_______．
【答案】
【分析】先由垂径定理求得BC=BD=5，再由直径所对圆周角是直角∠ACB=90°，由余弦定义可推出sinA=,即可求得sinA=,然后由圆周角定理得∠A=∠D，，即可得，则半径可求．
【详解】解：连接AC，如图，
∵⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，
∴CH=DH，AB⊥CD，
∴BC=BD=5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴sinA=,
∵∠A=∠D，
∴cosA= cosD=,
∴sinA=sinD=
∴，
∴AB=
∴半径为
【点睛】本题考查解直角三角形，圆周角定理，垂径定理的推论，求得∠ACB=90°、∠A=∠D是解题的关键．
4．（2022·湖北十堰）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再由是等边的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到DE=BD，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点是上一动点，
∴不一定等于，
∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当最长时，DB为圆O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，
∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，
∴△ABE≌△CBD，
∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，
∴，故④正确；
∴正确的有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
5．（2022·四川德阳）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据点是的内心，可得，故①正确；连接BE，CE，可得∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），从而得到∠CBE+∠BCE=60°，进而得到∠BEC=120°，故②正确； ，得出，再由点为的中点，则成立，故③正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到∠DBE=∠BED，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵点是的内心，
∴，故①正确；如图，连接BE，CE，
∵点是的内心，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，
∴∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），
∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BCE=60°，∴∠BEC=120°，故②正确；
∵点是的内心，∴，∴,
∵点为的中点，∴线段AD经过圆心O，∴成立，故③正确；
∵点是的内心，∴，
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∴，
∵∠CBD=∠CAD，∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，
∴，∴∠DBE=∠BED，∴，故④正确；
∴正确的有4个．故选：D
【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．
6．（2022·山东临沂）如图，AB是的切线，B为切点，直线AO交于C，D两点，连接BC，BD，过圆心О作BC的平行线，分别交AB的延长线、及BD于点E，F，G．
(1)求证：；
(2)若F是OE的中点，的半径为3，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OB，由切线的性质和圆周角定理可得，继而证明，再由平行线的性质，等腰三角形的性质得，，再利用三角形的内角和进行证明即可；
（2）由题意得，由可得，继而可证明，，利用勾股定理可得的长度，根据阴影部分的面积，利用扇形面积公式即可求解．
(1)
连接OB，
AB是的切线，CD为直径，
，
，
即，
，
，
，
，
，
在和中，，
；
(2)
F是OE的中点，的半径为3，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形，勾股定理，扇形面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
7．（2022·福建）如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC＝AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明即可得到结论；
（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理可得最后由弧长公式可求出结论．
(1)
∵，，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴，
∴AC＝AF．
(2)
连接AO，CO．
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，∴，
∴．∴的长．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
8．（2022·湖北武汉）如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若．求和的长．
【答案】(1)见详解
(2)FB=
【分析】（1）根据正方形性质得出AD=BC，可证∠ABD=∠CGB，再证△BFE∽△GFB即可；
（2）根据点E为AB中点，求出AE=BE=3，利用勾股定理求得BD=，CE=，然后证明△CDF∽△BEF，得出DF=2BF，CF=2EF，求出BF=,EF=即可．
(1)
证明：正方形内接于，
∴AD=BC，
∴，
∴∠ABD=∠CGB，
又∵∠EFB=∠BFG，
∴△BFE∽△GFB，
∴，
即；
(2)
解：∵点E为AB中点，
∴AE=BE=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=AB=AD=6，BD=，CE=，
∵CD∥BE，
∴△CDF∽△EBF，
∴，
∴DF=2BF，CF=2EF，
∴3BF=BD=，3EF=，
∴BF=，EF=，
由（1）得FG=．
【点睛】本题考查圆内接正方形性质，弧，弦，圆周角关系，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握圆内接正方形性质，弧，弦，圆周角关系，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键．

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