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2023年中考数学第一轮复习
模块六 圆
专题2 与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系 点、与圆的位置关系 如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么: （1）点在圆外 d>r; （2）点在圆上 d=r; （3）点在圆内 d线与圆的位置关系 .直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交 位置 关系相离相切相交图形公共点个数012数量关系d>rd=rd切线 性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.
判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
证明切线的常用方法 1．已知直线过半径外端，证直角； 2．已知直线与圆有公共点，连半径，证直角； 3．直线与圆没有明确的公共点，作垂线段，证半径．
切线长 定义 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.
定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
题型一、点与圆、直线与圆的位置关系
1．（2022·吉林）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．(2021 嘉兴)已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为(　 　)
A．相离 B．相交
C．相切 D．相交或相切
题型二、切线的性质与判定
1．（2022·山东泰安）如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则__________
2．（2022·江苏连云港）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，为切点，连接，与⊙交于点，连接．若，则_________．
3．（2022·内蒙古呼和浩特）已知为⊙的直径且，点是⊙上一点（不与、重合），点在半径上，且，与过点的⊙的切线垂直，垂足为．若，则_____，_______．
4．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________．
5．（2022·湖北武汉）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分；
②； ③； ④为的切线．其中所有正确结论的序号是_________________．
6．（2022·湖北恩施）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
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7．（2022·山东聊城）如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，．
(1)连接AF，求证：AF是的切线；
(2)若，，求FD的长．
8．（2022·四川宜宾）如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且．
(1)求证：DE是的切线；
(2)若点F是OA的中点，，，求EC的长．
9．（2022·湖北十堰）如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
10．（2022·湖南郴州）如图，在中，．以AB为直径的与线段BC交于点D，过点D作，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．
(1)求证：直线PE是的切线；
(2)若的半径为6，，求CE的长．
11．（2022·四川雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
(3)若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．
12．（2022·广西贵港）图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，⊙经过点C且与边相切于点E，．
(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，，求⊙的半径及的长．
题型三、切线长定理及其应用
1．（2022·湖北恩施）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________．
2．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形材料中，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
2023年中考数学第一轮复习
模块六 圆
专题2 与圆有关的位置关系
与圆有关的位置关系 点、与圆的位置关系 如果圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,那么: （1）点在圆外 d>r; （2）点在圆上 d=r; （3）点在圆内 d线与圆的位置关系 .直线与圆的位置关系有三种:相离、相切和相交 位置 关系相离相切相交图形公共点个数012数量 关系d>rd=rd切线 性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.
判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
证明切线的常用方法 1．已知直线过半径外端，证直角； 2．已知直线与圆有公共点，连半径，证直角； 3．直线与圆没有明确的公共点，作垂线段，证半径．
切线长 定义 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的切线长.
定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
题型一、点与圆、直线与圆的位置关系
1．（2022·吉林）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，
，
点在内且点在外，
，即，
观察四个选项可知，只有选项C符合，故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．
2．(2021 嘉兴)已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2 cm，线段OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为(　 　)
A．相离 B．相交
C．相切 D．相交或相切
【答案】D
题型二、切线的性质与判定
1．（2022·山东泰安）如图，在中，，⊙过点A、C，与交于点D，与相切于点C，若，则__________
【答案】##64度
【分析】根据同弧对应的圆心角是圆周角的2倍计算出，再根据，内错角得到答案．
【详解】如下图所示，连接OC
从图中可以看出，是圆弧对应的圆周角，是圆弧对应的圆心角
得．
∵BC是圆O的切线
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理、平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握圆和平行线的相关知识．
2．（2022·江苏连云港）如图，是⊙的直径，是⊙的切线，为切点，连接，与⊙交于点，连接．若，则_________．
【答案】49
【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠B=∠AOD=41°，根据AC是⊙O的切线得到∠BAC=90°，即可求出答案．
【详解】解：∵∠AOD=82°，
∴∠B=∠AOD=41°，
∵AC为圆的切线，A为切点，
∴∠BAC=90°，
∴∠C=90°-41°=49°
故答案为49．
【点睛】此题考查圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形两锐角互余，正确理解圆周角定理及切线的性质定理是解题的关键．
3．（2022·内蒙古呼和浩特）已知为⊙的直径且，点是⊙上一点（不与、重合），点在半径上，且，与过点的⊙的切线垂直，垂足为．若，则_____，_______．
【答案】 1
【分析】根据题意作出图形，连接，根据切线的性质，等边对等角，平行线的性质可得，根据，可得,可得,进而证明，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可求解．
【详解】如图，连接，
是⊙的切线，，，
,
，
,
,
,
,
,
,
,
,
,
设，则
解得（舍去）
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识结合图形求解是解题的关键．
4．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________．
【答案】或
【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
【详解】解：连接OA，
①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，设圆的半径=r，∴OA=r，OC=4-r，
∵AC=4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，解得：r=，即AD=AO=；
②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AO AC=OC AD，∴AD=，∵AO=，AC=2，OC=4-r=，∴AD=，
综上所述，AD的长为或，故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
5．（2022·湖北武汉）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线．其中所有正确结论的序号是_________________．
【答案】①②④
【分析】根据点AB为CD的垂直平分线，得出BD=BC，AD=AC，根据等边对等角得出∠BDC=∠BCD，利用平行线性质可判断①正确；利用△ADB≌△ACB（SSS）得出∠EAB=∠CAB，利用圆周角弧与弦关系可判断②正确；根据等弧所对的圆周角相等可得∠AEF≠∠ABE，从而可得△AEF与△ABE不相似，即可判断③；连结OB，利用垂径定理得出OB⊥CE，利用平行线性质得出OB⊥BD，即可判断④正确．
【详解】解：∵点C是上一点，与点D关于对称，
∴AB为CD的垂直平分线，
∴BD=BC，AD=AC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵，
∴∠ECD=∠CDB，
∴∠ECD=∠BCD，
∴CD平分∠BCE，故①正确；
在△ADB和△ACB中，
∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB（SSS），
∴∠EAB=∠CAB，
∴，
∴BE=BC=BD，故②正确；
∵AC≠AE，
∴≠，
∴∠AEF≠∠ABE，
∴△AEF与△ABE不相似，故③错误；
连结OB，
∵，CE为弦，
∴OB⊥CE，
∵，
∴OB⊥BD，
∴BD为的切线．故④正确，
∴其中所有正确结论的序号是①②④．
故答案为①②④．
．
【点睛】本题考查轴对称性质，线段垂直平分线性质，角平分线判定，三角形全等判断于性质，垂径定理，切线判断，掌握轴对称性质，线段垂直平分线性质，角平分线判定，三角形全等判断于性质，垂径定理，切线判断是解题关键．
6．（2022·湖北恩施）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)CE的长为2．
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAE+∠PAE=90°，根据圆周角定理得到∠OAE+∠DAO=90°，据此即可证明∠ADE=∠PAE；
（2）由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED =60°，利用三角形外角的性质得到∠APE=∠AED-∠PAE =30°，再根据等角对等边即可证明AE=PE；
（3）证明Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，推出DC×CE=OC×PC，设CE=x，据此列方程求解即可．
(1)证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠PAE=90°，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PAE，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADE，
∴∠ADE=∠PAE；
(2)证明：∵∠ADE=30°，
由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，
∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，
∴∠APE=∠PAE =30°，
∴AE=PE；
(3)解：∵PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交AB于点C．
∴AB⊥PD，
∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，
∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，
∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，
∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，
即DC×CE=OC×PC，
设CE=x，则DE=6+x，OE=3+，OC=3+-x=3-，PC=4+x，
∴6x=(3-)( 4+x)，
整理得：x2+10x-24=0，
解得：x=2(负值已舍)．
∴CE的长为2．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
7．（2022·山东聊城）如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，．
(1)连接AF，求证：AF是的切线；(2)若，，求FD的长．
【答案】(1)见解析(2)FD的长为
【分析】（1）根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF＝∠OEF＝90°，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD＝OF﹣OD求出即可．
(1)证明：在△AOF和△EOF中，
，
∴△AOF≌△EOF（SAS），
∴∠OAF=∠OEF，
∵BC与相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF=∠OEF=90°，
即OA⊥AF，
∵OA是的半径，
∴AF是的切线；
(2)
解：在中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，
∴，
∵BC与相切，AF是的切线
∴∠OEC＝∠FAC＝∠90°，
∵∠OCE=∠FCA，
∴△OEC∽△FAC，
∴，
设的半径为r，则，
解得，
在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，，
∴，
∴，
即FD的长为．
【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
8．（2022·四川宜宾）如图，点C是以AB为直径的上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且．
(1)求证：DE是的切线；
(2)若点F是OA的中点，，，求EC的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连结OC，利用等腰三角形的性质和圆周角定理证，即可由切线的判定定理得出结论；
（2）解，求出，从而求得，则可求得，再证，得，即可求得，即可由求解．
(1)
证明：如图，连结OC，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴DE是的切线；
(2)
解：在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵点F为AO中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
9．（2022·湖北十堰）如图，中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，设，，根据已知条件以及直径所对的圆周角相等，证明，进而求得，即可证明是的切线；
（2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形是正方形，进而求得的长，根据，，即可求解．
(1)
如图，连接，
，
则，
设，，
，
，
为的直径，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
(2)
如图，连接，
是的切线，则，又，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，，
，
，
由（1）可得，
，
，
，
解得 ．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦的定义，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
10．（2022·湖南郴州）如图，在中，．以AB为直径的与线段BC交于点D，过点D作，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．
(1)求证：直线PE是的切线；
(2)若的半径为6，，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接AD、OD，根据等腰三角形的性质可证得，根据平行线的判定与性质可证得，然后根据切线的判定即可证得结论；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质求得CD、CE 即可．
(1)
证明：连接AD、OD，记，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线PE是⊙O的切线．
(2)
连接AD，
∵AB是直径，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
在中，∵，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，难度适中，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
11．（2022·四川雅安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O与直线AO交于点E和点D．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)连接CE，求证：△ACE∽△ADC；
(3)若＝，⊙O的半径为6，求tan∠OAC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)tan∠OAC
【分析】（1）如图，过作于证明 即可得到结论；
（2）证明 再结合 从而可得结论；
（3）由相似三角形的性质可得 设 则 而 从而建立方程求解x，从而可得答案．
(1)
证明：如图，过作于
∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，
O为圆心，OC为半径，
是⊙O的切线．
(2)
如图，连结CE，
为的直径，
(3)
设 则 而
解得
tan∠OAC
【点睛】本题考查的是切线的判定，相似三角形的判定与性质，求解锐角的正切，证明，利用相似三角形的性质求解是解本题的关键．
12．（2022·广西贵港）图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，⊙经过点C且与边相切于点E，．
(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，，求⊙的半径及的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）作，垂足为H，连接，先证明是的平分线，然后由切线的判定定理进行证明，即可得到结论成立；
（2）设，由勾股定理可求，设的半径为r，然后证明，结合勾股定理即可求出答案．
(1)
证明：如图，作，垂足为H，连接，
∵，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴∠BDC=2∠FAC，
∴，即是的平分线，
∵O在上，与相切于点E，
∴，且是的半径，
∵AC平分∠FAB，OH⊥AF，
∴是的半径，
∴是的切线．
(2)
解：如（1）图，∵在中，，
∴可设，
∴，
则，
设的半径为r，则，
∵，
∴，
∴，即，则，
在Rt△AOE中，AO=5，OE=3，
由勾股定理得，又，
∴，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了三角函数，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行证明．
题型三、切线长定理及其应用
1．（2022·湖北恩施）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________．
【答案】-
【分析】利用切线长定理求得⊙O的半径，根据S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE列式计算即可求解．
【详解】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，
∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形CDOE为正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，
解得x=1，
∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE
=×3×4-×1×1
=-．
故答案为：-．
【点睛】本题考查了切线长定理，扇形的面积公式，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
2．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形材料中，，，，，．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长BA交CD延长线于E，当这个圆为△BCE的内切圆时，此圆的面积最大，
∵，∠BAD=90°，
∴△EAD∽△EBC，∠B=90°，
∴，即，
∴，
∴EB=32cm，
∴，
设这个圆的圆心为O，与EB，BC，EC分别相切于F，G，H，
∴OF=OG=OH，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴此圆的半径为8cm，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2022·山东泰安·中考真题）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】C
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题．
【详解】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，
∴DI=DC=DM，
∴∠ICM=90°，
∴CM==8，
∵AI=2CD=10，
∴AI=IM，
∵AE=EC，
∴IE是△ACM的中位线，
∴IE=CM=4，故选：C．
【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．

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