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四川省成都市青羊区2023年一诊数学试题
一、单选题
1．（2023·青羊模拟）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的左视图是，
故答案为：A.
【分析】左视图是从几何体左面观察所得到的平面图形，据此判断.
2．（2023·青羊模拟）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、，二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、，当时，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C、整理后得，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、，是一元二次方程，故该选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
3．（2023·青羊模拟）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确；
B.，故该选项不正确；
C.，故该选项正确；
D.，故该选项不正确；
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式可判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C；根据平方差公式可判断D.
4．（2023·青羊模拟）在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则口袋中白球可能有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵摸到红色球的频率稳定在左右，
∴口袋中得到红色球的概率为，
设白球个数为：个，依题意得
∴，
解得：，
经检验是原方程的根，
故白球的个数为8个.
故答案为：D.
【分析】根据频率估计概率的知识可得摸到红色球的概率为，然后根据概率公式进行计算.
5．（2023·青羊模拟）若点，，在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，在反比例函数的图象上，在每一象限内y随x的增大而减小，
∴，
∴的大小关系是：.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，据此进行比较.
6．（2019九上·东台月考）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、因为成比例线段所夹角不是公共角，所以无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
7．（2021·柳北模拟）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，据此判断.
8．（2023·青羊模拟）下列说法中，正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项错误，不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，选项错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项正确，符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据正方形的判定定理可判断A；根据矩形的判定定理可判断B；根据菱形的判定定理可判断C；根据平行四边形的判定定理可判断D.
二、填空题
9．（2023·青羊模拟）比较大小：　 　.（填“>”，“<”，或“＝”）
【答案】>
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴.
故答案为：>.
【分析】将+1、化为小数，然后进行比较.
10．（2023·青羊模拟）如图，已知为反比例函数的图像上一点，过点作轴，垂足为.若的面积为3，则的值为　 　.
【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝|k|＝3，
而k＜0，
∴k＝ 6.
故答案为 6.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△OAB＝|k|＝3，求出k的值，然后根据图象所在的象限即可确定出k的值.
11．（2023·青羊模拟）如图，在中，，点D为边上一点，连接.现将沿翻折使得点A落在边的中点E处.若，则　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，
∵，E为边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】由折叠的性质可得AC=CE，∠ADC=∠EDC=90°，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BE=CE=AB，则AE=CE=AC，推出△ACE为等边三角形，得到∠B=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得CD=BC=3，然后利用勾股定理进行计算.
12．（2023·青羊模拟）化简：　 　.
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：.
【分析】对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再进行约分即可.
13．（2023·青羊模拟）如图，在中，，分别以C、B为圆心，取的长为半径作弧，两弧交于点D.连接、.若，则　 　.
【答案】25°
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接，
由题意和作法可知：，
四边形是菱形，，
，
故答案为：25°.
【分析】连接CD，由题意和作法可知AB=AC=BD=CD，则四边形ABDC为菱形，∠CAD=∠BAD=∠BAC=(180°-∠ABD)，据此计算.
三、解答题
14．（2023·青羊模拟）按要求解答下列各题：
（1）计算：；
（2）解方程：.
【答案】（1）解：
（2）解：，，，
，
，
即：，，
所以，原方程的解为，
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算法则、分母有理化可得原式=2-+4-1+-1，然后根据有理数的加减法法则以及二次根式的加法法则进行计算；
（2）首先求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算.
15．（2023·青羊模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）.
（1）将先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到，请在平面直角坐标系中画出平移后的.
（2）请以O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（ ▲ ， ▲ ）；点的坐标为（ ▲ ， ▲ ）.
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，即为所求，
；
2；4；6；2
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）分别将点O、A、B先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到O1、A1、B1，然后顺次连接即可；
（2）连接OA、OB并延长，使OA2=2OA，OB2=2OB，顺次连接可得△OA2B2，结合点A2、B2的位置可得相应的坐标.
16．（2023·青羊模拟）成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对A、B、C、D四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的游客有 ▲ 人，根据题中信息补全条形统计图.
（2）若某批次游客有6000人，请你估计选择D作为最佳旅游景点的有　 　人.
（3）A旅游景点举行游客有奖问答活动.现有2男2女4名游客回答对了问题.现从4名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率.
【答案】（1）解：600；补全条形统计图如下：
（2）2400
（3）解：画树状图：设A、B为男游客，C、D为女游客，则
列表：
A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
总的情况有12种，满足条件共8种，P（一男一女）.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）本次参加抽样调查的游客有：（人），
则B景点的人数为：（人），
∴C景点的人数为：（人），
故答案为：600，
（2）估计选择D作为最佳旅游景点的有：（人），
故答案为：2400；
【分析】（1）利用D的人数除以所占的比例可得总人数，根据总人数乘以B所占的比例可得对应的人数，进而求出C的人数，据此可补全条形统计图；
（2）利用D所占的比例乘以6000即可；
（3）设A、B为男游客，C、D为女游客，画出树状图或列出表格，然后找出总情况数以及一男一女的情况数，然后根据概率公式进行计算.
17．（2023·青羊模拟）如图，在中，，点O、C分别是、边的中点.过点D作交的延长线于点A，连接、.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）证明：∵，
∴，，
又∵
∴，
∴，
∴、互相平分，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：∵，四边形是菱形；
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，由中点的概念可得DO=BO，利用AAS证明△AOD≌△COB，得到AO=CO，推出四边形ABCD为平行四边形，根据直角三角形斜边上中线的性质可得BC=CD，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）根据菱形的性质可得AB=BC=5，则BE=2BC=10，OC=AC=3，DE=2OC=6，利用勾股定理可得BD，然后根据三角形的面积公式进行计算.
18．（2023·青羊模拟）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；
（3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”.设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值.
【答案】（1）解：∵过，
∴，
∴，则，
又∵过，
∴，
∴反比例函数的表达式为.
∴，解得：或，
∴.
（2）解：令，则，
∴.
设直线的解析式为设，
∴，即：，
∵直线与反比例函数图象只有一个交点，
∴，
∴，
∴，令，则，
∴，
∴.
（3）解：由图可知在第一象限、不可能相等，
如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，，
设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设（），
∴，
∵点在一次函数图象上，
∴，整理得，
解得（负数舍去），
∴点的横坐标的值为.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将（2，m）代入y1=x+2中求出m的值，得到点A的坐标，然后代入y2=中求出k的值，得到反比例函数的解析式，联立直线与反比例函数的解析式，求出x、y的值，据此可得点B的坐标；
（2）易得C（0，2），设直线CE的解析式为y=kx+2，联立反比例函数的解析式并结合△=0可得k的值，得到直线CE的解析式，令y=0，求出x的值，得到点E的坐标，然后利用两点间距离公式进行计算；
（3）由图可知在第一象限QB、QA不可能相等，当∠APB=90°，PB=PA时，过点B作BN⊥y轴于N，AM⊥y轴于M，AB与PQ的交点为D，PD=QD，设P（0，n），由同角的余角相等可得∠BPN=∠PAM，利用AAS证明△APM≌△PBN，得到PN=AM，BN=PM，据此可得n的值，表示出点P的坐标，设Q（x，），则D（x，-），代入y1=x+2中求出x的值，据此解答.
四、填空题
19．（2021九上·亳州月考）已知点C是线段AB的黄金分割点（靠近A），AB＝2，则BC＝　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵点C是线段AB的黄金分割点（靠近A），
∴，
∵AB＝2，
∴；
故答案是；
【分析】先求出，再计算求解即可。
20．（2023·青羊模拟）一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为密码由四个数字组成，千位和百位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则个位上的数字即有可能是中的一个，要试10次，同样，假设个位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，也要试10次，依此类推，要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，所以，一次就能打开该锁的概率是.
故答案为：.
【分析】假设十位上的数字是0，则个位上的数字有可能是0~9中的一个，要试10次，同样，假设个位上的数字是1，也要试10次，则要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，然后根据概率公式进行计算.
21．（2023·青羊模拟）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根.若，则　 　.
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵、是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，，即：
∵，即，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2-3，△=[2(m+1)]2-4(m2-3)≥0，求出m的范围，根据x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=33可求出m的值，结合m的范围即可确定出m的值.
22．（2023·青羊模拟）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点，
令，则，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
则，即：，
∵点在反比例函数上，
∴；
故答案为：.
【分析】设直线BC与y轴交于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，易得D（0，b），联立正比例函数与一次函数的解析式可得x，表示出点B的坐标，推出△OBD是等腰三角形，然后表示出BE、OE、OB，过点C作CF⊥BE于点F，则∠BCF=30°，设BF=t，则CF=t，BC=2t，表示出点C的坐标，然后根据勾股定理可得b2-3t2=4，接下来将点C的坐标代入反比例函数解析式中可得k的值.
23．（2023·青羊模拟）已知矩形中，，点E、F分别是边的中点，点P为边上动点，过点P作与平行的直线交于点G，连接，点M是中点，连接，则的最小值＝　 　.
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，点E、F分别是边的中点，
∴，，，
∴，
连接交与点N，连接，
∵，
∴，；
∴，
∵，
∴，
∵点M是中点，
∴，
当时，最小，也最小；
，
，；
故答案为：.
【分析】由题意可得CF=FD，AE=4，利用勾股定理可得AC的值，求出sin∠BAC的值，连接AC交PG与点N，连接EN，易证△ANG∽△ACF，△APG∽△ADF，根据相似三角形的性质可得NG=PG，由中点的概念可得MG=EN，故当EN⊥AC时，EN最小，MG也最小，然后根据三角函数的概念进行计算.
五、解答题
24．（2023·青羊模拟）新华商场销售某种彩电，每台进价为3500元，调查发现，当销售价为3900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低75元，平均每天能多卖6台.
（1）若每台彩电降价x元，则每天彩电的销量为多少？（请用含有x的式子表示）
（2）商场要想使这种彩电的销售利润平均每天达到5000元，则每台彩电应降价多少元？
【答案】（1）解：当每台彩电降价元时，每天彩电的销量为台
（2）解：设每台彩电降价x元
∴
∴
解得：
答：每台彩电应降价150元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意可得降价x元时，平均每天可多售出(×6)台，利用8加上多售出的台数即可得到实际每天的销售量；
（2）由题意可得每台的利润为(3900-3500-x)元，根据每台的利润×每天的销售量=总利润可得关于x的方程，求解即可.
25．（2023·青羊模拟）如图1，在平面直角坐标系点中，，点B在y轴正半轴上且.直线的图象交y轴于点C，且射线平分，点P是射线上一动点.
（1）求直线的表达式和点C的坐标；
（2）连接、，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，过点P作交x轴于点Q，连接，当与以点P、Q、C为顶点的三角形相似时，求点P的坐标.
【答案】（1）解：，
，
又，
.
∴设，
把点、分别代入解析式，
得，
解得，
.
在中，令，则，
；
（2）解：如图：过点P作轴交于点T，
设，，
，，，
.
解得，，
∴、，
故点P的坐标为或；
（3）解：作轴于点M，作于点N，设点
，，
.
，，
，
，
，
，
；
又，
，
又，
，
，
，
，
；
当时，，
，
此方程无解；
当时，，
，
，
解得，
，
综上，点P的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标可得OA=3，由BO=AO可得BO的值，表示出点B的坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B的坐标代入求出k、b的值，得到直线AB的解析式，令直线AC解析式中的x=0，求出y的值，可得点C的坐标；
（2）过点P作PT⊥x轴交AB于点T，设P（t，t+），T（t，t+4），根据S△ABP=2S△OCP结合三角形的面积公式可得t的值，进而可得点P的坐标；
（3）作PM⊥x轴于点M，作CN⊥xM于点N，设P（t，t+），证明△PCN∽△CAO，利用勾股定理可得AC的值，然后根据相似三角形的性质可求出PC的值，证明△PQM∽△ABO，根据相似三角形的性质可得PQ，然后分△CPQ∽△ACB、△CPQ∽△BCA，由相似三角形的性质求出t的值，据此可得点P的坐标.
26．（2023·青羊模拟）如图（1），中，，射线于点D.点P是射线上一动点，连接并在边右侧作使得，且，连接.
（1）求证：平分；
（2）当时，延长交边于点E，求证：；
（3）若，，点P在运动的过程中，直线交边于点F，当是等腰三角形时，求线段的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴.
又∵，，
∴.
∴，
∴，
∴平分.
（2）证明：∵，
∴.
又∵，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，由（1）知，
∴，
∴，
∴.
∴.
（3）解：∵，，
∴
当时，
∵，且，则
∴，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，；
∴作于点H，则，
∴；
∴，，，
∴.
又∵，，
∴；
∴.
∴，
∴.
当时，
∵，且，则
∴，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，，
∴，，
∴；
在中，；
化简得：，
∴，得：（舍）；
∴
综上，或.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠PAQ=∠CAB，结合角的和差关系可得∠BAQ=∠CAP，证明△CAP∽△BAQ，得到∠ACP=∠ABQ，根据同角的余角相等可得∠ACP=∠ABC，则∠ABQ=∠ABC，据此证明；
（2）由平行线的性质可得∠QAB=∠ABC，结合∠QAB=∠EAC可得∠EAC=∠ABC，证明△ECA∽△ACB，△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得CA2=CE·CB，CA2=AD·AB，据此可得结论；
（3）易得AB=5，当BF=BQ时，证明△ACB∽△APQ，得到∠AQF=∠ABC=∠ABQ，∠APQ=∠ACB=90°，证明△QAF∽△BAQ，根据相似三角形的性质可得AQ2=AF·AB，设AP=3a，AQ=5a，则AF=5a2，BF=5-5a2=BQ，作QH⊥AB于点H，则△ACB∽△QHB，△APF∽△QHF，然后根据相似三角形的性质进行计算；当BF=QF时，同理求解即可.
1 / 1四川省成都市青羊区2023年一诊数学试题
一、单选题
1．（2023·青羊模拟）如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023·青羊模拟）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·青羊模拟）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023·青羊模拟）在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则口袋中白球可能有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．（2023·青羊模拟）若点，，在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
6．（2019九上·东台月考）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． D．
7．（2021·柳北模拟）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023·青羊模拟）下列说法中，正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
二、填空题
9．（2023·青羊模拟）比较大小：　 　.（填“>”，“<”，或“＝”）
10．（2023·青羊模拟）如图，已知为反比例函数的图像上一点，过点作轴，垂足为.若的面积为3，则的值为　 　.
11．（2023·青羊模拟）如图，在中，，点D为边上一点，连接.现将沿翻折使得点A落在边的中点E处.若，则　 　.
12．（2023·青羊模拟）化简：　 　.
13．（2023·青羊模拟）如图，在中，，分别以C、B为圆心，取的长为半径作弧，两弧交于点D.连接、.若，则　 　.
三、解答题
14．（2023·青羊模拟）按要求解答下列各题：
（1）计算：；
（2）解方程：.
15．（2023·青羊模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）.
（1）将先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到，请在平面直角坐标系中画出平移后的.
（2）请以O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（ ▲ ， ▲ ）；点的坐标为（ ▲ ， ▲ ）.
16．（2023·青羊模拟）成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对A、B、C、D四个景点作为最佳旅游景点的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：
（1）本次参加抽样调查的游客有 ▲ 人，根据题中信息补全条形统计图.
（2）若某批次游客有6000人，请你估计选择D作为最佳旅游景点的有　 　人.
（3）A旅游景点举行游客有奖问答活动.现有2男2女4名游客回答对了问题.现从4名游客中随机抽取2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率.
17．（2023·青羊模拟）如图，在中，，点O、C分别是、边的中点.过点D作交的延长线于点A，连接、.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的面积.
18．（2023·青羊模拟）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C.
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；
（3）我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”.设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值.
四、填空题
19．（2021九上·亳州月考）已知点C是线段AB的黄金分割点（靠近A），AB＝2，则BC＝　 　．
20．（2023·青羊模拟）一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是　 　.
21．（2023·青羊模拟）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根.若，则　 　.
22．（2023·青羊模拟）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则　 　.
23．（2023·青羊模拟）已知矩形中，，点E、F分别是边的中点，点P为边上动点，过点P作与平行的直线交于点G，连接，点M是中点，连接，则的最小值＝　 　.
五、解答题
24．（2023·青羊模拟）新华商场销售某种彩电，每台进价为3500元，调查发现，当销售价为3900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低75元，平均每天能多卖6台.
（1）若每台彩电降价x元，则每天彩电的销量为多少？（请用含有x的式子表示）
（2）商场要想使这种彩电的销售利润平均每天达到5000元，则每台彩电应降价多少元？
25．（2023·青羊模拟）如图1，在平面直角坐标系点中，，点B在y轴正半轴上且.直线的图象交y轴于点C，且射线平分，点P是射线上一动点.
（1）求直线的表达式和点C的坐标；
（2）连接、，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，过点P作交x轴于点Q，连接，当与以点P、Q、C为顶点的三角形相似时，求点P的坐标.
26．（2023·青羊模拟）如图（1），中，，射线于点D.点P是射线上一动点，连接并在边右侧作使得，且，连接.
（1）求证：平分；
（2）当时，延长交边于点E，求证：；
（3）若，，点P在运动的过程中，直线交边于点F，当是等腰三角形时，求线段的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的左视图是，
故答案为：A.
【分析】左视图是从几何体左面观察所得到的平面图形，据此判断.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、，二个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、，当时，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
C、整理后得，不含二次项，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、，是一元二次方程，故该选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确；
B.，故该选项不正确；
C.，故该选项正确；
D.，故该选项不正确；
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式可判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C；根据平方差公式可判断D.
4．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：∵摸到红色球的频率稳定在左右，
∴口袋中得到红色球的概率为，
设白球个数为：个，依题意得
∴，
解得：，
经检验是原方程的根，
故白球的个数为8个.
故答案为：D.
【分析】根据频率估计概率的知识可得摸到红色球的概率为，然后根据概率公式进行计算.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，在反比例函数的图象上，在每一象限内y随x的增大而减小，
∴，
∴的大小关系是：.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质可得：其图象位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，据此进行比较.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、因为成比例线段所夹角不是公共角，所以无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
7．【答案】C
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程S之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：当小红走到灯下以前：l随S的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l随S的增大而增大，据此判断.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，选项错误，不符合题意；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，选项错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项正确，符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据正方形的判定定理可判断A；根据矩形的判定定理可判断B；根据菱形的判定定理可判断C；根据平行四边形的判定定理可判断D.
9．【答案】>
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴.
故答案为：>.
【分析】将+1、化为小数，然后进行比较.
10．【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝|k|＝3，
而k＜0，
∴k＝ 6.
故答案为 6.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△OAB＝|k|＝3，求出k的值，然后根据图象所在的象限即可确定出k的值.
11．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，
∵，E为边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】由折叠的性质可得AC=CE，∠ADC=∠EDC=90°，由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BE=CE=AB，则AE=CE=AC，推出△ACE为等边三角形，得到∠B=30°，由含30°角的直角三角形的性质可得CD=BC=3，然后利用勾股定理进行计算.
12．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：.
【分析】对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再进行约分即可.
13．【答案】25°
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接，
由题意和作法可知：，
四边形是菱形，，
，
故答案为：25°.
【分析】连接CD，由题意和作法可知AB=AC=BD=CD，则四边形ABDC为菱形，∠CAD=∠BAD=∠BAC=(180°-∠ABD)，据此计算.
14．【答案】（1）解：
（2）解：，，，
，
，
即：，，
所以，原方程的解为，
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、0次幂以及负整数指数幂的运算法则、分母有理化可得原式=2-+4-1+-1，然后根据有理数的加减法法则以及二次根式的加法法则进行计算；
（2）首先求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算.
15．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，即为所求，
；
2；4；6；2
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；点的坐标与象限的关系
【解析】【分析】（1）分别将点O、A、B先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到O1、A1、B1，然后顺次连接即可；
（2）连接OA、OB并延长，使OA2=2OA，OB2=2OB，顺次连接可得△OA2B2，结合点A2、B2的位置可得相应的坐标.
16．【答案】（1）解：600；补全条形统计图如下：
（2）2400
（3）解：画树状图：设A、B为男游客，C、D为女游客，则
列表：
A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
总的情况有12种，满足条件共8种，P（一男一女）.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）本次参加抽样调查的游客有：（人），
则B景点的人数为：（人），
∴C景点的人数为：（人），
故答案为：600，
（2）估计选择D作为最佳旅游景点的有：（人），
故答案为：2400；
【分析】（1）利用D的人数除以所占的比例可得总人数，根据总人数乘以B所占的比例可得对应的人数，进而求出C的人数，据此可补全条形统计图；
（2）利用D所占的比例乘以6000即可；
（3）设A、B为男游客，C、D为女游客，画出树状图或列出表格，然后找出总情况数以及一男一女的情况数，然后根据概率公式进行计算.
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，，
又∵
∴，
∴，
∴、互相平分，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：∵，四边形是菱形；
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴.
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，由中点的概念可得DO=BO，利用AAS证明△AOD≌△COB，得到AO=CO，推出四边形ABCD为平行四边形，根据直角三角形斜边上中线的性质可得BC=CD，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2）根据菱形的性质可得AB=BC=5，则BE=2BC=10，OC=AC=3，DE=2OC=6，利用勾股定理可得BD，然后根据三角形的面积公式进行计算.
18．【答案】（1）解：∵过，
∴，
∴，则，
又∵过，
∴，
∴反比例函数的表达式为.
∴，解得：或，
∴.
（2）解：令，则，
∴.
设直线的解析式为设，
∴，即：，
∵直线与反比例函数图象只有一个交点，
∴，
∴，
∴，令，则，
∴，
∴.
（3）解：由图可知在第一象限、不可能相等，
如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，，
设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设（），
∴，
∵点在一次函数图象上，
∴，整理得，
解得（负数舍去），
∴点的横坐标的值为.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）将（2，m）代入y1=x+2中求出m的值，得到点A的坐标，然后代入y2=中求出k的值，得到反比例函数的解析式，联立直线与反比例函数的解析式，求出x、y的值，据此可得点B的坐标；
（2）易得C（0，2），设直线CE的解析式为y=kx+2，联立反比例函数的解析式并结合△=0可得k的值，得到直线CE的解析式，令y=0，求出x的值，得到点E的坐标，然后利用两点间距离公式进行计算；
（3）由图可知在第一象限QB、QA不可能相等，当∠APB=90°，PB=PA时，过点B作BN⊥y轴于N，AM⊥y轴于M，AB与PQ的交点为D，PD=QD，设P（0，n），由同角的余角相等可得∠BPN=∠PAM，利用AAS证明△APM≌△PBN，得到PN=AM，BN=PM，据此可得n的值，表示出点P的坐标，设Q（x，），则D（x，-），代入y1=x+2中求出x的值，据此解答.
19．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】∵点C是线段AB的黄金分割点（靠近A），
∴，
∵AB＝2，
∴；
故答案是；
【分析】先求出，再计算求解即可。
20．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为密码由四个数字组成，千位和百位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则个位上的数字即有可能是中的一个，要试10次，同样，假设个位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，也要试10次，依此类推，要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，所以，一次就能打开该锁的概率是.
故答案为：.
【分析】假设十位上的数字是0，则个位上的数字有可能是0~9中的一个，要试10次，同样，假设个位上的数字是1，也要试10次，则要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，然后根据概率公式进行计算.
21．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵、是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，，即：
∵，即，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴.
故答案为：2.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2-3，△=[2(m+1)]2-4(m2-3)≥0，求出m的范围，根据x12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=33可求出m的值，结合m的范围即可确定出m的值.
22．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点，
令，则，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
则，即：，
∵点在反比例函数上，
∴；
故答案为：.
【分析】设直线BC与y轴交于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，易得D（0，b），联立正比例函数与一次函数的解析式可得x，表示出点B的坐标，推出△OBD是等腰三角形，然后表示出BE、OE、OB，过点C作CF⊥BE于点F，则∠BCF=30°，设BF=t，则CF=t，BC=2t，表示出点C的坐标，然后根据勾股定理可得b2-3t2=4，接下来将点C的坐标代入反比例函数解析式中可得k的值.
23．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，点E、F分别是边的中点，
∴，，，
∴，
连接交与点N，连接，
∵，
∴，；
∴，
∵，
∴，
∵点M是中点，
∴，
当时，最小，也最小；
，
，；
故答案为：.
【分析】由题意可得CF=FD，AE=4，利用勾股定理可得AC的值，求出sin∠BAC的值，连接AC交PG与点N，连接EN，易证△ANG∽△ACF，△APG∽△ADF，根据相似三角形的性质可得NG=PG，由中点的概念可得MG=EN，故当EN⊥AC时，EN最小，MG也最小，然后根据三角函数的概念进行计算.
24．【答案】（1）解：当每台彩电降价元时，每天彩电的销量为台
（2）解：设每台彩电降价x元
∴
∴
解得：
答：每台彩电应降价150元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意可得降价x元时，平均每天可多售出(×6)台，利用8加上多售出的台数即可得到实际每天的销售量；
（2）由题意可得每台的利润为(3900-3500-x)元，根据每台的利润×每天的销售量=总利润可得关于x的方程，求解即可.
25．【答案】（1）解：，
，
又，
.
∴设，
把点、分别代入解析式，
得，
解得，
.
在中，令，则，
；
（2）解：如图：过点P作轴交于点T，
设，，
，，，
.
解得，，
∴、，
故点P的坐标为或；
（3）解：作轴于点M，作于点N，设点
，，
.
，，
，
，
，
，
；
又，
，
又，
，
，
，
，
；
当时，，
，
此方程无解；
当时，，
，
，
解得，
，
综上，点P的坐标为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标可得OA=3，由BO=AO可得BO的值，表示出点B的坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B的坐标代入求出k、b的值，得到直线AB的解析式，令直线AC解析式中的x=0，求出y的值，可得点C的坐标；
（2）过点P作PT⊥x轴交AB于点T，设P（t，t+），T（t，t+4），根据S△ABP=2S△OCP结合三角形的面积公式可得t的值，进而可得点P的坐标；
（3）作PM⊥x轴于点M，作CN⊥xM于点N，设P（t，t+），证明△PCN∽△CAO，利用勾股定理可得AC的值，然后根据相似三角形的性质可求出PC的值，证明△PQM∽△ABO，根据相似三角形的性质可得PQ，然后分△CPQ∽△ACB、△CPQ∽△BCA，由相似三角形的性质求出t的值，据此可得点P的坐标.
26．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴.
又∵，，
∴.
∴，
∴，
∴平分.
（2）证明：∵，
∴.
又∵，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，由（1）知，
∴，
∴，
∴.
∴.
（3）解：∵，，
∴
当时，
∵，且，则
∴，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，；
∴作于点H，则，
∴；
∴，，，
∴.
又∵，，
∴；
∴.
∴，
∴.
当时，
∵，且，则
∴，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，，
∴，，
∴；
在中，；
化简得：，
∴，得：（舍）；
∴
综上，或.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠PAQ=∠CAB，结合角的和差关系可得∠BAQ=∠CAP，证明△CAP∽△BAQ，得到∠ACP=∠ABQ，根据同角的余角相等可得∠ACP=∠ABC，则∠ABQ=∠ABC，据此证明；
（2）由平行线的性质可得∠QAB=∠ABC，结合∠QAB=∠EAC可得∠EAC=∠ABC，证明△ECA∽△ACB，△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得CA2=CE·CB，CA2=AD·AB，据此可得结论；
（3）易得AB=5，当BF=BQ时，证明△ACB∽△APQ，得到∠AQF=∠ABC=∠ABQ，∠APQ=∠ACB=90°，证明△QAF∽△BAQ，根据相似三角形的性质可得AQ2=AF·AB，设AP=3a，AQ=5a，则AF=5a2，BF=5-5a2=BQ，作QH⊥AB于点H，则△ACB∽△QHB，△APF∽△QHF，然后根据相似三角形的性质进行计算；当BF=QF时，同理求解即可.
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