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压轴专题六　功、功率和机械效率
【知识梳理】
功 定义 如果一个力作用在物体上,物体在这个力的方向上移动了一段距离,就说这个力对物体做了功.
做功两个必要因素 (1)作用在物体上的力； (2)物体在这个力的方向上移动了一段距离。
不做功的情况 (1)有距离无力(2)有力无距离 (3)有力有距离,但力的方向与距离垂直
公式 W=Fs F表示力，单位是N，s表示在力的方向上移动的距离,单位是m.功的单位是焦耳,简称焦(J),1 J=1 N×1 m=1N·m.
功率 定义 功与做功所用时间的之比，叫功率。 它在数值上等于单位时间内所做的功
物理意义 表示物体做功快慢的物理量
公式 W表示功，单位是J,t表示时间，单位是s. 变形公式:W=Pt(求物体所做的功); (求做功所用的时间)
单位 焦耳每秒(J/s),它有一个专门的名称叫瓦特,简称瓦,符号是W. 工程技术上常用千瓦(kW)
推导公式 (此公式只适用于做匀速直线运动的物体)
机械效率 定义 有用功与总功的比值
公式
特点 （1）机械效率是一个比值，没有单位，通常用百分数表示 （2）因为使用任何机械都不可避免的要做额外功，因此有用功总小于总功，故机械效率总小于1
【典题精讲】
【例1】小珠和爸爸同时从同一地点出发开始登板障山，小珠的体重小于爸爸的体重，爸爸先到达山顶。小珠和爸爸做的功分别为W1和W2，功率分别为P1和P2，则下列选项正确的是（　　）
A．W1＜W2，P1＞P2 B．W1＞W2，P1＝P2
C．W1＝W2，P1＝P2 D．W1＜W2，P1＜P2
【分析】根据公式W＝Gh比较做功的大小关系；知道时间关系，根据公式P＝比较功率的大小关系。
【解答】解：小珠的体重小于爸爸的体重，上升的高度相同，根据W＝Gh可知，W1＜W2；
爸爸先到达山顶，爸爸所用的时间短，根据P＝可知，P1＜P2。
故选：D。
【例2】如图所示，用力F1将物体B匀速提升0.5m，F1做功为3J。若借助滑轮组用力F2把物体匀速提升相同的高度，F2做功为5J。下列说法中正确的是（　　）
A．两个过程，物体都做匀速运动时机械能不变
B．动滑轮的重力为4N
C．滑轮组的机械效率为60%
D．F2做功的功率比F1做功的功率大
【分析】（1）动能大小的影响因素：质量和速度，质量越大，速度越大，动能越大。
重力势能大小的影响因素：质量和高度，质量越大，高度越高，重力势能越大。
机械能等于动能和势能之和。；
（2）用F1的力将物体B匀速提升0.5m做的功为有用功，则W有＝3J，使用滑轮组把物体B匀速提升相同高度，F2做的功是总功，即W总＝5J，根据效率公式得出滑轮组的机械效率；
（3）已知有用功和总功，根据W额＝W总﹣W有得出使用滑轮组所做的额外功，如果忽略绳重和摩擦，由W额＝G动h可知动滑轮的重力；因滑轮组在实际使用过程中存在绳重和摩擦，克服动滑轮重力所做的功小于2J；
（4）由题意可知，F2做功多，但不知两个过程所用时间的关系，根据可知，无法确定两个力做功的功率大小。
【解答】解：
A、两个过程，物体B均匀速上升，质量不变，速度不变，则动能不变，同时高度增加，则重力势能增加，其机械能增加，故A错误；
C、用F1的力将物体B匀速提升0.5m做的功为有用功，则有用功W有＝3J，使用滑轮组把物体B匀速提升相同高度，F2做的功是总功，即总功W总＝5J，根据效率公式可知滑轮组的机械效率为，
故C正确；
B、由C可知，有用功W有＝3J，总功W总＝5J，使用滑轮组所做的额外功W额＝W总﹣W有＝5J﹣3J＝2J，
如果忽略绳重和摩擦，由W额＝G动h可得，动滑轮的重力为，
因滑轮组在实际使用过程中存在绳重和摩擦，克服动滑轮重力所做的功小于2J，所以动滑轮重力小于4N，故B错误；
D、已知F2做功多，但不知两个过程所用时间的关系，根据可知，所以无法确定两个力做功的功率大小，故D错误。
故选C。
【例3】如图所示，重为G的物体在拉力F的作用下，以速度v匀速运动了s距离。已知物体在水平桌面上运动时受到的摩擦力为物重的n分之一，不计绳重、轮与轴间的摩擦，下列说法正确的是（　　）
A．使用该滑轮组一定省力
B．拉力做功为2Fs
C．有用功为Gs
D．滑轮组的机械效率为
【分析】（1）由图可知，动滑轮上绳子的股数n′＝2；由于不计绳重、轮与轴间的摩擦，且利用滑轮组水平拉动物体，则绳端的拉力F＝（f+G动），据此分析使用该滑轮组是否省力；
（2）根据s绳＝n′s＝2s得出绳子自由端移动的距离，根据W＝Fs绳得出拉力的功；
（3）根据物体在水平桌面上运动时受到的摩擦力为物重的n分之一求出物体受到的摩擦力f，根据利用W有＝fs求有用功；
（3）利用η＝＝＝＝求滑轮组的机械效率。
【解答】解：A、由图可知，动滑轮上绳子的股数n′＝2，
由于不计绳重、轮与轴间的摩擦，且利用滑轮组水平拉动物体，
所以，绳端的拉力F＝（f+G动），
由于f与G动的大小关系未知，所以无法比较F与f的大小关系，则使用该滑轮组不一定省力，故A错误；
B、绳子自由端移动的距离：s绳＝n′s＝2s，拉力的功：W＝Fs绳＝2Fs，故B正确；
C、由题意可知，物体运动时受到的摩擦阻力f＝G，
克服摩擦阻力做的功为有用功，则：W有＝fs＝Gs，故C错误；
D、滑轮组的机械效率：η＝＝＝＝，故D错误。
故选：B。
【实战精练】
【练1】非洲旱季，常用Hippo roller（中间有转轴的塑料桶）运水。下列选项中，小华分别用背背、手抱、平拉、滚拉的方式运满桶水，在粗糙程度相同的水平地面上匀速行走相同路程，她对满桶水做功最多的是（　　）
【分析】物理学中规定，功等于力跟物体在力的方向上移动距离的乘积。先判断力的大小、物体在力的方向上移动的距离相同，利用功的公式W＝Fs分析判断。
【解答】解：由图可知，AB中小华是用背背、用手抱，即力的方向向上，桶是在水平方向上移动的距离，即沿向上的方向没有移动距离，因此不做功；
在其他条件相同时，滑动摩擦力大于滚动摩擦力，则C中滑动摩擦力大于D中的滚动摩擦力；又因为匀速拉动水桶向前运动，所以由二力平衡条件可知C中拉力大于D中拉力，且水平移动的距离s相同，根据W＝Fs可知C做功最多，故ABD不合题意，C符合题意。
故选：C。
【练2】如图所示，水平木板上有甲、乙两个木块，甲的质量大于乙的质量。两木块下表面的粗糙程度相同。甲、乙分别在水平拉力F1和F2的作用下，以相同速度匀速直线运动了相同时间，下列说法中（　　）
①F1大于F2
②F2比F1的功率大
③F1比F2做功多
④甲的重力做功较多
A．只有①③正确 B．只有②③正确 C．只有①④正确 D．只有②④正确
【分析】（1）处于水平面上的物体对水平面的压力等于重力；滑动摩擦力的大小与压力大小和接触面的粗糙程度有关；物体匀速运动时所受的拉力与摩擦力是一对平衡力，据此判断拉力的大小关系；由题中条件结合公式s＝vt判断运动的距离，由W＝Fs判断拉力做功的多少，已知时间相同，再根据P＝判定功率的大小。
（2）做功的两个必要因素：一是作用在物体上的力，二是物体在力的方向上通过的距离。
【解答】解：
①由题可知，甲的质量大于乙的质量，根据G＝mg可知，甲的重力较大，且水平面受到的压力等于物体的重力，则两木块对木板的压力F甲＞F乙；
两个木块的表面粗糙程度相同，放在相同木板上，所以，两木块受到的摩擦力f1＞f2；
两木块匀速前进，所受摩擦力和拉力是一对平衡力，所以，两木块受到的拉力F1＞F2；
③两个木块以相同速度匀速直线运动了相同时间，由s＝vt可知，它们运动的距离相同；
根据W＝Fs可知，拉力越大，做功越多，故W1＞W2，即F1比F2做功多；
②已知时间相同，且W1＞W2，根据P＝可知，P1＞P2，即F2比F1的功率小；
④两木块都沿水平方向运动，没有在重力的方向上通过距离，故重力做功都为0。
综上分析可知，只有①③正确。
故选：A。
【练3】如图所示，光滑斜面AB＞AC，沿斜面AB和AC分别将同一重物从它们的底部匀速拉到顶部，所用时间相同，所需拉力分别为F1和F2，所做的功分别为W1和W2，所做功的功率分别为P1和P2，则（　　）
A．F1＜F2，P1＞P2 B．F1＞F2，P1＜P2
C．W1＞W2，P1＝P2 D．W1＝W2，P1＝P2
【分析】（1）在光滑的斜面上向上匀速拉动物体，拉力做功用W＝Gh进行计算，在功的关系、力的方向上移动距离的关系确定后，可以用F＝比较力的大小；
（2）用P＝比较功率的大小。
【解答】解：因为斜面光滑，且同一重物被匀速地从底部被拉到顶部，
所以，W1＝W2＝Gh，
又因为W1＝F1×AB，W2＝F2×AC，且AB＞AC，
所以，F1＜F2；
因为，P＝，且W1＝W2，t1＝t2，
所以，P1＝P2。
故选：D。
【练4】某汽车公司对自主研发的无人驾驶汽车性能进行测试，甲、乙两辆完全相同的汽车在同一水平路面上做匀速直线运动，且v甲＜v乙，若不计空气阻力，则汽车匀速行驶时的功率P甲和P乙以及牵引力在相同时间内所做的功W甲和W乙之间的关系正确的是（　　）
A．P甲＜P乙，W甲＜W乙 B．P甲＞P乙，W甲＞W乙
C．P甲＞P乙，W甲＜W乙 D．P甲＝P乙，W甲＝W乙
【分析】影响摩擦力大小的因素是：接触面所受压力、接触面的粗糙程度，通过分析接触面所受压力和接触面粗糙程度的关系得出摩擦力大小的关系；而两辆汽车都做匀速直线运动，都受平衡力的作用，即牵引力和摩擦力平衡；进而确定牵引力大小关系；
知道v甲＜v乙，根据P＝＝＝Fv分析功率的大小关系，再根据W＝Pt比较做功大小关系。
【解答】解：由于不计空气阻力，在水平方向上，甲、乙两辆汽车都受牵引力F与摩擦力f作用，两辆汽车都做匀速直线运动，处于平衡状态，所以F甲＝f甲，F乙＝f乙；
甲、乙两辆完全相同的汽车在同一水平路面上做匀速直线运动，两辆汽车对水平路面的压力相等，都等于汽车自身的重力；接触面的粗糙程度相同，所以两辆汽车所受的摩擦力大小相等，即f甲＝f乙，所以牵引力F甲＝F乙；
因为v甲＜v乙，根据P＝＝＝Fv可知，P甲＜P乙；
运动的时间相同，根据W＝Pt可知，W甲＜W乙。
故选：A。
【练5】渔民利用如图所示的滑轮组把水中的小渔船拖上岸进行维护，当渔民作用在绳子自由端的拉力为150N时，小渔船在河水中以0.2m/s的速度匀速向右运动，每个滑轮重为60N，不计绳重和绳与滑轮间的摩擦，下列说法正确的是（　　）
A．拉力的功率为90W
B．小渔船在水中受到的阻力为180N
C．滑轮组的效率约为87%
D．小渔船从水中被拖上岸后滑轮组的效率变高
【分析】（1）由图知，通过动滑轮绳子的段数n＝2，由v＝nv物可得绳端速度，由P＝＝＝Fv可得拉力的功率；
（2）不计绳重和绳与滑轮间的摩擦，根据F＝（f+G动）计算小渔船在水中受到的阻力；
（3）根据η＝＝＝计算滑轮组的效率；
（4）小渔船从水中被拖上岸后，小渔船受到的阻力变大，即克服小船受到阻力做的有用功增大，在额外功不变时，有用功在总功中所占的比例增大，据此判断机械效率的变化。
【解答】解：A、由图知，通过动滑轮绳子的段数n＝2，绳端速度v＝nv船＝2×0.2m/s＝0.4m/s，
拉力的功率P＝＝＝Fv＝150N×0.4m/s＝60W，故A错误；
B、不计绳重和绳与滑轮间的摩擦，渔船在河水中匀速向右运动，水平方向受到的阻力与滑轮组对它的拉力是一对平衡力，大小相等，
由F＝（f+G动）可得，小渔船在水中受到的阻力f＝nF﹣G动＝2×150N﹣60N＝240N，故B错误；
C、克服小船受到水的阻力所做功为有用功，滑轮组的机械效率η＝＝＝＝＝80%，故C错误；
D、不计绳重和绳与滑轮间的摩擦，小渔船从水中被拖上岸后，克服小船受到阻力做的有用功增大，在额外功不变时，有用功在总功中所占的比例增大，因此滑轮组的机械效率变大，故D正确。
故选：D。
【练6】如图甲，用滑轮组将重为120N的物体匀速提起，在5s内绳子自由端移动的距离为3m，如图乙是拉力F与绳自由端移动距离s的关系图象，不计绳重和摩擦。则下列说法正确的是（　　）
A．物体上升的速度是0.6m/s
B．拉力的功率为40W
C．动滑轮重是20N
D．该滑轮组的机械效率为80%
【分析】（1）由图甲可知n＝3，根据绳子自由端移动的距离s＝nh求物体上升的高度，根据v＝求出物体上升的速度；
（2）由图乙可知拉力F，利用W总＝Fs求拉力做的总功，利用P＝求拉力做功的功率；
（3）利用不计绳重和摩擦时F＝（G+G动）求动滑轮的重力；
（4）利用W有＝Gh求有用功，利用η＝×100%求滑轮组的机械效率。
【解答】解：A、由图甲可知n＝3，物体上升的高度：h＝＝＝1m，
则物体上升的速度：v＝＝＝0.2m/s，故A错误；
B、由图乙可知拉力F＝50N，
拉力做的总功：W总＝Fs＝50N×3m＝150J，
拉力做功的功率：P＝＝＝30W，故B错误；
C、因为不计绳重和摩擦时F＝（G+G动），所以动滑轮的重力：G动＝nF﹣G＝3×50N﹣120N＝30N，故C错误；
D、拉力做的有用功：W有＝Gh＝120N×1m＝120J，
滑轮组的机械效率：η＝×100%＝×100%＝80%，故D正确。
故选：D。
【练7】小华要把一个质量为240kg的重物搬到2m高的车上，利用所学的物理知识，采用了5m的长木板搭了一个斜面（如图所示）。搬运过程中，小华用沿斜面向上大小为1200N的推力F，经20s将重物匀速地推到车上。g取10N/kg，下列分析和计算正确的是（　　）
A．利用斜面不省力也不省功
B．小华做功的功率为1200W
C．斜面装置的机械效率为80%
D．其他条件一定时，减短木板的长度，增加斜面的坡度，斜面的机械效率不变
【分析】A、使用斜面能够省力，但不能省功；
B、根据W总＝Fs得出小华做的功，根据P＝得出功率；
C、根据W有用＝Gh＝mgh得出有用功，根据η＝得出斜面装置的机械效率；
D、其他条件一定时，减短木板的长度，增加斜面的坡度，斜面的机械效率将增大。
【解答】解：A、使用斜面能够省力，但不能省功，故A错误；
B、小华做的功W总＝Fs＝1200N×5m＝6000J，功率P＝＝＝300W，故B错误；
C、有用功W有用＝Gh＝mgh＝240kg×10N/kg×2m＝4800J，
斜面装置的机械效率η＝＝＝80%，故C正确；
D、其他条件一定时，减短木板的长度，增加斜面的坡度，斜面的机械效率将增大，故D错误。
故选C。
【练8】小刚和小明分别用沿斜面向上的力F甲、F乙把同一重物匀速拉到两个斜面的顶端。已知使用斜面做的额外功是克服摩擦力所做的功。若两个斜面光滑、等高，甲斜面长4m，乙斜面长5m，所做的功分别是W甲、W乙，则下列说法正确的是（　　）
A．使用甲斜面比使用乙斜面要省功
B．甲斜面的机械效率比乙斜面的机械效率低
C．拉力F甲与F乙之比为5：4
D．两个拉力做功W甲与W乙之比为4：5
【分析】①斜面光滑说明摩擦力为0，即使用光滑的斜面没有额外功。匀速拉同一物体到顶端，由于其高度相同，由功的原理可知沿斜面所做的功都等于不用机械而直接用手所做的功，从而可以判断出两次做的功W1和W2的大小关系。
②知道斜面长的大小关系，利用W＝Fs比较拉力关系。
【解答】解：A、由功的原理可知，使用任何机械都不省功，故A错误；
B、斜面光滑说明摩擦力为0，即使用光滑的斜面没有额外功，所以两个斜面的机械效率都是100%，故B错误；
C、根据题意可知，F甲的斜面长度s甲＝4m；F乙的斜面长度s乙＝5m，根据公式W＝Fs可知，所以力F甲：F乙＝：＝：＝5：4，故C正确；
D、把同一物体沿斜面分别拉到顶端，G和h相同，由W＝Fs＝Gh可知两次做的功相同，即W甲＝W乙；故D错误。
故选：C。
【练9】小明同学用图甲所示的滑轮组装置将放置在水平地面上、质量10kg的物体提升到高处。当小明用图乙所示随时间变化的竖直向下拉力F拉绳时，重物的速度υ和上升的高度h随时间t变化的关系图象分别如图丙和丁所示。若不计摩擦和绳重，求：
（1）在0～3s内，重物上升的平均速度；
（2）在2～3s内，拉力做功的功率；
（3）在2～3s内，滑轮组的机械效率。
【分析】（1）由图丁可知，在0～3s内，重物上升的高度、所用时间，利用速度公式求重物上升的平均速度；
（2）由F﹣t图象得出在2～3s内的拉力F；由v﹣t图象得出重物上升的速度，由滑轮组的结构可以看出，承担物重的绳子股数n＝3，拉力F的作用点下降的速度等于重物上升速度的n倍，利用P＝＝＝Fv求拉力做功的功率；
（3）拉力端移动的距离s＝nh，知道拉力F和物重G大小，滑轮组的机械效率η＝＝＝＝。
【解答】解：
（1）由图丁可知，在0～3s内，重物上升的高度h＝3.75m，所用时间t＝3s，
重物上升的平均速度v物＝＝＝1.25m/s；
（2）由图丙可知，在2～3s内，重物做匀速运动，v物3＝2.50m/s；
由图甲知，n＝3，拉力端移动速度v3＝3v物3＝3×2.50m/s＝7.5m/s，
由图乙可知，在2～3s内，拉力F3＝40N，
由P＝＝＝Fv得，在2～3s内拉力做功的功率：
P＝F3V3＝40N×7.5m/s＝300W；
（3）因为滑轮组的机械效率η＝＝＝＝，
所以，在2～3s内滑轮组的机械效率：
η＝＝＝×100%≈83.3%。
答：（1）在0～3s内，重物上升的平均速度为1.25m/s；
（2）在2～3s内，拉力做功的功率为300W；
（3）在2～3s内，滑轮组的机械效率约为83.3%。
【练10】质量为60kg的同学用一根绳子通过甲图所示的滑轮组最多能够提起重力为300N的物体A（若物体在增重绳子将断裂），不计绳重和阻力（g取10N/kg）。求：
（1）若用甲图所示的滑轮组提升物体A时，滑轮组的机械效率为75%，动滑轮的重力是多少？
（2）该同学能用这根绳子和滑轮，组成如图乙所示的滑轮组，利用它从水中缓慢匀速地提起一个边长为0.2m的正方体B（不计水的阻力），当提到B的下表面所受水的压强为1.0×103Pa时，绳子断裂。则正方体B的密度是多少？
（3）在乙图中，当物体B浸没在水中以0.5m/s的速度匀速上升时，人的功率为多少？
【分析】（1）利用不计绳重和阻力时η＝＝＝＝求动滑轮的重力；
（2）根据公式p＝ρgh求出正方体浸入的深度，进一步求出正方体排开的水的体积，根据F浮＝ρ水gV排求出此时正方体受到的浮力；
在甲装置中，提升动滑轮的绳子股数n甲＝2，利用不计绳重和阻力时F甲＝（G+G动）求出绳子自由端的拉力，即为绳子所能承受的最大拉力，根据题意可知在乙装置中，提升动滑轮的绳子股数n乙＝3，绳子自由端的拉力等于绳子所能承受的最大拉力，利用不计绳重和阻力时F＝（GB+G动﹣F浮）求出正方体B的重力，根据G＝mg求出正方体B的质量，根据公式ρ＝求出正方体的密度；
（3）物体B浸没时排开水的体积等于物体B的体积，根据F浮＝ρ水gV排求出物体B浸没时受到的浮力，根据力的平衡条件求出物体B受到的拉力；绳子自由端移动的速度v＝nv物，利用不计绳重和摩擦时F＝（F拉+G动）求人的拉力，利用P＝＝＝Fv求人的功率。
【解答】解：（1）因为不计绳重和阻力时η＝＝＝＝，
所以动滑轮的重力：G动＝A＝×300N＝100N；
（2）由p＝ρgh可知，正方体浸入水中的深度：h＝＝＝0.1m，
正方体排开水的体积：V排＝a2h＝（0.2m）2×0.1m＝4×10﹣3m3，
正方体受到的浮力：F浮＝ρ水gV排＝1.0×103kg/m3×10N/kg×4×10﹣3m3＝40N，
在甲装置中，提升动滑轮的绳子股数n甲＝2，
因为不计绳重和阻力，所以绳子自由端的拉力：F甲＝（G+G动）＝×（300N+100N）＝200N，
由题意可知，绳子所能承受的最大拉力：F最大＝F甲＝200N，
在乙装置中，提升动滑轮的绳子股数n乙＝3，绳子断裂时，绳子自由端的拉力：F乙＝F最大＝200N，
因为不计绳重和阻力时F＝（GB+G动﹣F浮），
所以正方体B的重力：GB＝n乙F乙+F浮﹣G动＝3×200N+40N﹣100N＝540N，
由G＝mg可得，物体B的质量：mB＝＝＝54kg，
正方体B的体积：VB＝a3＝（0.2m）3＝8×10﹣3m3，
则正方体B的密度：ρB＝＝＝6.75×103kg/m3；
（3）在乙装置中，物体B浸没时排开水的体积：V排'＝VB＝8×10﹣3m3，
物体B浸没时受到的浮力：F浮'＝ρ水gV排'＝1.0×103kg/m3×10N/kg×8×10﹣3m3＝80N，
由力的平衡条件可知，此时物体B受到的拉力：F拉＝GB﹣F浮'＝540N﹣80N＝460N，
绳子自由端移动的速度：v＝nv物＝3×0.5m/s＝1.5m/s，
因为不计绳重和摩擦，所以绳子自由端的拉力：F乙'＝（F拉+G动）＝×（460N+100N）＝N，
人的功率：P＝＝＝F乙'v＝N×1.5m/s＝280W。
答：（1）动滑轮的重力是100N；
（2）正方体B的密度是6.75×103kg/m3；
（3）在乙图中，当物体B浸没在水中以0.5m/s的速度匀速上升时，人的功率为280W。
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