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9.2.3 总体集中趋势的估计
——2022-2023学年高一数学
人教A版（2019）必修第二册课前导学
一、新知自学
1.平均数：一组数据的和除以数据 所得到的数.
中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于 位置的数.若这组数据是偶数个，则取中间两个数据的平均数.
众数：一组数据中出现次数最 的数.
2.频率分布直方图中的统计参数：
（1）平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点
的 与小矩形的 的乘积之和近似代替.
（2）中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该 .
（3）众数：在频率分布直方图中，众数是最高小矩形底边的 所对应的数据.
二、问题思考
1.利用样本数字特征进行决策时的两个关注点是什么？
2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的联系有哪些？
三、练习检测
1.已知一组数据按从小到大的顺序排列为，且这组数据的中位数为5，那么这组数据的众数为( )
A.5 B.6 C.4 D.5.5
2.已知一组数据，，，，的平均数是2，那么另一组数据，，，，的平均数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.对“小康县”的经济评价标准：①年人均收入不低于7000元；②年人均食品支出不高于年人均收入的35%.某县有40万人，年人均收入如下表所示，年人均食品支出如图所示，则该县( )
年人均收入/元 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 16000
人数/万人 6 3 5 5 6 7 5 3
A.是小康县
B.达到标准①，未达到标准②，不是小康县
C.达到标准②，未达到标准①，不是小康县
D.两个标准都未达到，不是小康县
4.在某中学举行的电脑知识竞赛中，将高一年级两个班的参赛学生的成绩整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一，第三，第四，第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.
（1）补全图中频率分布直方图，并求这两个班参赛学生的总人数；
（2）利用频率分布直方图，估算本次参赛学生成绩的平均数和中位数.
【答案及解析】
一、新知自学
1.个数 中间 多
2.横坐标 面积 相等 中点
二、问题思考
1.（1）平均数与每一个样本数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受少数极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征.
（2）当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值；反之，说明数据中存在许多较小的极端值.
2.（1）众数：在样本数据的频率分布直方图中，众数就是最高矩形的底边中点的横坐标.
（2）中位数：在样本中，有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.
（3）平均数：用频率分布直方图估计平均数时，平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.
三、练习检测
1.答案：B
解析：由中位数是5，得，，此时，这组数据为，众数为6.
2.答案：A
解析：因为一组数据，，，，的平均数是2，所以另一组数据，，，，的平均数为.故选A.
3.答案：B
解析：由题中图表可知，年人均收入为(元)，达到了标准①；年人均食品支出为(元)，则年人均食品支出占年人均收入的，未达到标准②.所以不是小康县.
4.答案：（1）补全频率分布直方图见解析；这两个班参赛学生的总人数为100
（2）估计本次参赛学生成绩的平均数为66.5分，中位数为64.5分
解析：（1）第二小组的频率为，所以补全频率分布直方图如图所示.
这两个班参赛学生的总人数为.
（2）本次参赛学生成绩的平均数为.
中位数出现在第二组中，设中位数为x，
则，解得.
所以估计本次参赛学生成绩的平均数为66.5分，中位数为64.5分.
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