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9.2.4 总体离散程度的估计
——2022-2023学年高一数学
人教A版（2019）必修第二册课前导学
一、新知自学
1.总体方差和总体标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为，则称 为总体方差，为 .
2.总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，，…，，其中出现的频数为，则总体方差为 .
3.样本方差和样本标准差：如果一个样本中个体的变量值分别为，，…，，样本平均数为，则称为 ， 为样本标准差.
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越 ；标准差越小，数据的离散程度越 .
4.分层随机抽样的样本方差：设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，两层的平均数分别为，，方差分别为，，则这个样本的方差为 .
二、问题思考
1.标准差、方差的意义是什么？
2.数据分析的要点有哪些？
三、练习检测
1.有一笔统计资料，共有11个数据如下（不完全以大小排列）：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )
A.6 B. C.66 D.6.5
2.若样本，，…，的平均数为10，方差为2，则对于样本，，…，，下列结论正确的是( )
A.平均数为20，方差为8
B.平均数为20，方差为10
C.平均数为21，方差为8
D.平均数为21，方差为10
3.（多选）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息.
甲地：中位数为2，极差为5；
乙地：总体平均数为2，众数为2；
丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；
丁地：总体平均数为2，总体方差为3.
则一定符合该标志的是( )
A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地
4.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间（单位：分）记录如下表：
等待时间
频数 4 8 5 2 1
用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值_________，病人等待时间方差的估计值________.
5.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
（1）分别求出两人得分的平均数与方差；
（2）评价两人的训练成绩.
【答案及解析】
一、新知自学
1. 总体标准差
2.
3.样本方差 大 小
4.
二、问题思考
1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差.
2.（1）要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论.
（2）在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的.
三、练习检测
1.答案：A
解析：得到，
方差.故选A.
2.答案：A
解析：由题得样本，，…，的平均数为，方差为.故选A.
3.答案：AD
解析：对于A选项，因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于.故A正确.对于B选项，若乙地过去10日分别为0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误.对于C选项，若丙地过去10日分别为0，0，0，0，0，0，0，0，1，9，则满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误.对于D选项，若至少有一天疑似病例超过7人，则必有方差，与条件方差为3矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，D正确.故选AD.
4.答案：9.5；28.5
解析：，.
5.解析：（1）由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10分，13分，12分，14分，16分；
乙：13分，14分，12分，12分，14分.
则甲，乙两人得分的平均数（分），（分）.
甲、乙两人得分的方差，
.
（2）由可知，乙的成绩较稳定.从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.
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