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(共24张PPT)
5.1.1 平均变化率
高中数学
问题情境
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议
的速度统治了赛场．这名21岁的中国人跑的几乎比
炮弹还快．赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了
12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒
的成绩追平了世界纪录，他的平均速度达到了8.52m/s．
t / s
20
30
34
2
10
20
30
A
(1, 3.5)
B
(32, 18.6)
O
S/m
2
10
某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：
C(34, 33.4)
t /s
20
30
34
2
10
20
30
A
(1, 3.5)
B
(32, 18.6)
O
2
10
S/m
14.8
15.1
C(34, 33.4)
问题1：从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？
问题2：从A到B这一段与从B到C这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？
AB段位移增加得平缓，BC段位移则是陡然增加．
（3）曲线上BC之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？
（1） 的大小能否作为量化BC段陡峭的程度的量？
在考察 的同时必须考察 ．
学生活动
（2）还必须考察什么量？
　　案例中，从B到C位移“陡增”，这是我们从图像中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？
t(s)
20
30
34
2
20
30
A
B
O
C
s (m)
2
10
t/s
20
30
34
2
10
20
30
A
(1, 3.5)
B
(32, 18.6)
O
C
(34, 33.4)
S/m
2
10
　　联想到用斜率来量化直线的倾斜程度，我们用比值：
来近似地量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度，
并称该比值为位移在区间[32，34]上的平均变化率．
20
30
34
2
10
20
30
A
(1, 3.5)
B
(32, 18.6)
O
C
(34, 33.4)
S/m
2
10
位移在区间[1，32]上的平均变化率为：
位移在区间[32，34]上的平均变化率为：
　　虽然点A，B之间的位移差与点B，C之间的位移差几乎相同，但它们的平均变化率却相差很大．
一般地，函数 在区间 上的平均变化率为
曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，
建构数学
注意：不能脱离区间而言
则平均变化率即为
若设
，即将 　看作是对于 的一个“增量”
一般地，函数 在区间 上的平均变化率为
O
A
B
x
y
y＝f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
x2-x1=△x
f(x2)-f(x1)=△y
直线AB的斜率
观察函数 的图象，
平均变化率
表示直线AB的什么
思考：
一般地，函数 在区间 上的平均变化率为
例1　某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
t/月
W/kg
6
3
9
12
3.5
6.5
8.6
11
数学运用
t/月
W/kg
6
3
9
12
3.5
6.5
8.6
11
解：从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为
从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为
　　如何解释从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1（kg/月）？
不同的区间上平均变化率可能不同
本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？
例2　水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后
容器甲中水的体积 （单位： ），
试计算第一个10s内V的平均变化率．
问题1　例2中的平均变化率的实际意义是什么？
解：在第一个10s内，体积V的平均变化率为
平均变化率可正可负
问题2　负号表示容器甲中的水在减少，但是否表示10秒内每一时刻容器甲中水的体积减少的速度呢？
甲
乙
例2　水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后
容器甲中水的体积 （单位： ），
试计算第一个10s内V的平均变化率．
问题3. 乙容器中水的体积平均变化率为多少？
甲
乙
解：在第一个10s内，体积V的平均变化率为
例3　已知函数 分
别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上 及
的平均变化率．
你在解本题的过程中有没有发现什么？
　　一次函数 在区间 上的平均变化率等于斜率 ．
A
B
O
x
y
y=f(x)
x1
x2
f(x1)
f(x2)
△x
△y
你能解释为什么会出现这一现象吗？
例4　已知函数 ，分别计算 在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]；
x
y
1
3
o
2
1.1
函数在 的平均变化率：
多算几次，找找规律
你在解本题的过程中有没有发现什么？
练习1：在寓言龟兔赛跑中，从比赛开始到结束的这一段时间(规定有一方到达终点则比赛结束)，是乌龟的位移平均变化率大还是兔子的位移平均变化率大？为什么？
课堂练习
练习2：下图中白线是一天内某个股票的走势图，试从平均变化率的角度分析这支股票在下列时间段的涨跌情况．
09:30至11:00 11:00至11:30 14:00至14:07 14:07至15:00
09:30至11:00价格的平均变化率为
11:00至11:30价格的平均变化率为
14:00至14:07价格的平均变化率为
14:07至15:00价格的平均变化率为
解：
1.平均变化率
一般地，函数　　在区间上 的平均变化率为
回顾反思
平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，
2.反思
如何精确的刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
　　平均变化率不能脱离区间而言，不同区间上平均变化率可能不同．
　　平均变化率可正可负可为零，正负号分别表示变化量的增加或减少,平均变化率的绝对值的大小反映变化量变化的快慢程度．
　　平均变化率的几何意义：连接区间两端点直线的斜率．
课外作业
预习第3.1.2节瞬时变化率——导数．
2. 课本P69 练习第2题；P77习题3.1 第1题．
3. 下图中记载着刘翔在雅典奥运会110米栏中的比赛数据，试计算各个阶段刘翔位移的平均变化率．
2.421s
0.959s
1.004s
0.994s
0.981s
1.021s
0.962s
0.999s
1.507s
1.038s
1.024s
50.28m
59.72m
6.362s
6.548s
9.14m
9.14m
13.72m
14.02m
32.00m
4.379s
45.70m
4.962s
32.30m
3.569s

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