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2023届高考数学三轮冲刺卷：线性回归方程
一、选择题（共20小题；）
1. 线性回归方程 表示的直线必经过的一个定点是
A. B. C. D.
2. 已知变量 与 正相关，且由观测数据算得样本平均数 ，，则由该观测数据算得的回归直线方程可能是
A. B.
C. D.
3. 某商品销售量 （件）与销售价格 （元/件）负相关，则其回归方程可能是
A. B.
C. D.
4. 一位母亲记录了自己儿子 岁的身高数据，由此建立的身高与年龄的回归模型为 ，用这个模型预测这个孩子 岁时的身高，则下列叙述正确的是
A. 身高一定是 B. 身高在 以上
C. 身高在 左右 D. 身高在 以下
5. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据：
根据上表提供的数据，求出 关于 的线性回归方程为 ，那么表中 的值为
A. B. C. D.
6. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 对父子身高数据如下：
则 对 的线性回归方程为
A. B. C. D.
7. 观察两个相关变量得如下数据：
则两个变量间的线性回归方程为
A. B. C. D.
8. 已知 、 之间的数据见下表，则 与 之间的线性回归方程过点
A. B.
C. D.
9. 已知变量 ， 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，回归直线 的方程为 ，则下列说
法正确的是
A. B. C. D.
10. 某企业根据抽样分析的方法得到产量 （千件）和单位产品成本 （元/件）的回归方程 ，这个方程可表示
A. 产量 每增加 件，单位产品成本平均下降 元
B. 产量每增加 件，单位产品成本平均下降 元
C. 产量每增加 件，单位产品成本平均下降 元
D. 产量每增加 件，单位产品成本平均下降 元
11. 已知回归直线斜率的估计值为 ，样本点的中心点为 ，则回归直线的方程为
A. B. C. D.
12. 设 ，，…， 是变量 和 的 个样本点，直线 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，以下结论正确的是
A. 直线 过点
B. 和 的相关系数为直线 的斜率
C. 和 的相关系数在 到 之间
D. 当 为偶数时，分布在 两侧的样本点的个数一定相同
13. 如果在一次实验中，测得 的四组数值分别是 ，，，，则 与 之间的回归直线方程是
A. B. C. D.
14. 已知 与 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 ，若某同学根据上表中的前两组数据 和 求得的直线方程为 ，则以下结论正确的是
A. ， B. ， C. ， D. ，
15. 某产品在某零售摊位的零售价 （单位：元）与每天的销售量 （单位：个）的统计资料如表所示：
由表可得回归直线方程 中的 ，据此模型预测零售价为 元时，每天的销售量为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
16. 某产品在某零售摊位的零售价 （单位：元）与每天的销售量 （单位：个）的统计资料如下表所示．
由表可得回归直线方程 中的 ，据此模型预测零售价为 元时，每天的销售量为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
17. 某产品的广告费用 与销售额 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程 中的 为 ，据此模型预报广告费用为 万元时销售额为
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
18. 已知某班学生的数学成绩 （单位：分）与物理成绩 （单位：分）具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取 名学生的成绩，经计算：，，设其线性回归方程为：．若该班某学生的数学成绩为 ，据此估计其物理成绩为
A. B. C. D.
19. 试验测得四组数据为 ，，，，则 与 之间的回归直线方程为
A. B. C. D.
20. 从某高中随机选取 名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
根据上表可得回归直线方程 ，据此模型预测身高为 的高三男生的体重为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；）
21. 对变量 ， 有观测数据 ，得散点图 1；对变量 ， 有观测数据 ，得散点图 2．由这两个散点图可以判断：变量 与 相关， 与 相关．（填“正”或“负”）
22. 甲、乙两同学各自独立地考察两个变量 ， 的线性相关关系时，发现两人对 的观察数据的平均值相等，都是 ，对 的观察数据的平均值也相等，都是 ，各自求出的回归直线分别是 ，，则直线 与 必经过同一点 ．
23. 下表是某厂 月份用水量（单位：百吨）的一组数据，
由其散点图可知，用水量 与月份 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 ，则 ．
24. 某医院用光电比色计检验尿汞，得尿汞含量 与消化系数如下表：
若 与 具有线性相关关系，则回归直线方程是
25. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 次试验．根据收集到的数据（如下表）：
由最小二乘法求得回归方程 ，则 的值为 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 如图是某地区 年至 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据 年至 年的数据（时间变量 的值依次为 ，，，）建立模型①：；根据 年至 年的数据（时间变量 的值依次为 ，，，）建立模型②：．
（1）分别利用这两个模型，求该地区 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠 并说明理由．
27. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨标准煤）的几组对照数据：
（参考数据：，）．
（1）请画出上表数据的散点图．
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ．
（3）已知该厂技改前 吨甲产品的生产能耗为 吨标准煤，试根据（）的线性回归方程，预测生产 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤
28. 国内某知名连锁店分店开张营业期间，在固定的时间段内消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参加抽奖活动的人数越来越多，该分店经理对开业前 天参加抽奖活动的人数进行统计， 表示开业第 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
经过进一步统计分析，发现 与 具有线性相关关系．
参考公式：，，，．
（1）若从这 天随机抽取两天，求至少有 天参加抽奖人数超过 的概率；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ，并估计若该活动持续 天，共有多少名顾客参加抽奖．
29. 某公司近年来科研费用支出 万元与公司所获得利润 万元之间有如下的统计数据：
参考公式：用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程为：，其中：，，参考数值：．
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 ；
（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为 万元时公司所获得的利润．
30. 某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
（1）画出散点图．
（2）求成本 与产量 之间的线性回归方程．（结果保留两位小数）
答案
1. D
2. A
3. A
4. C 【解析】用回归模型 ，只能作预测，其结果不是一个确定值．
5. A
【解析】回归直线经过点 ．
6. C 【解析】计算得，，，根据回归直线经过样本中心 检验知，C符合．
7. B 【解析】 对 的线性回归方程为 ，其中 ．
根据已知数据可求出 ，，结合选项可知选B．
8. D 【解析】因为 ，
所以 ，
所以 与 之间的线性回归方程过点 ．
9. D 【解析】由题图知，回归直线的斜率是正数，即 ，在 上的截距是负数，即 ．
10. C
11. C
12. A 【解析】由样本中心 落在回归直线上可知A正确； 和 的相关系数表示 与 之间的线性相关程度，不表示直线 的斜率，故B错； 和 的相关系数应在 到 之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．
13. B
14. C 【解析】根据所给数据求出直线方程 和回归直线方程的系数，并比较大小．
由 ， 求 ，．
，．
求 ， 时，
，
，，
，
所以 ，
，
所以 ，．
15. D
【解析】，．
将 代入回归方程，得 ，解得 ，
所以回归方程为 ．
当 时，．
16. D
17. B 【解析】（万元），（万元），所以 ，所以回归方程为 ，所以当 （万元）时，（万元）．
18. B 【解析】由题意知，，，
代入线性回归方程 中，得 ，解 ；
所以线性回归方程为 ，
当 时，，
即该班某学生的数学成绩为 时，估计它的物理成绩为 ．
19. A 【解析】由已知可得 ，，由于回归直线一定过点 ，代入检验可知结果为A．
20. B
【解析】，．
因为回归直线过点 ，所以将点 的坐标代入回归直线方程 ，得 ，故回归直线方程为 ．将 代入，得身高为 的男生体重为 ．
21. 负，正
22.
23.
24.
25.
【解析】因为 ，，
所以回归直线一定过样本点的中心 ，
则由 可得 ，求得 ．
26. （1） 利用模型①，该地区 年的环境基础设施投资额的预测值为 （亿元）．
利用模型②，该地区 年的环境基础设施投资额的预测值为 （亿元）．
（2） 利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（）从折线图可以看出， 年至 年的数据对应的点没有随机散布在直线 上下，这说明利用 年至 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势． 年相对 年的环境基础设施投资额有明显增加， 年至 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 年至 年的数据建立的线性模型 可以较好地描述 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（）从计算结果看，相对于 年环境基础设施投资额 亿元，由模型①得到的预测值 亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
27. （1）
（2） ．
（3） ．
28. （1） 若从这 天随机抽取两天，有 种情况，两天人数均少于 ，有 种情况，所以至少有 天参加抽奖人数超过 的概率为 ．
（2） ，，，，
所以 ，所以估计若该活动持续 天，共有 名顾客参加抽奖．
29. （1） ，，
，
，
．
，
所以回归方程为 ．
（2） 当 时，（万元），
故预测该公司科研费用支出为 万元时公司所获得的利润为 万元．
30. （1） 散点图如图．
（2） 设 与产量 的线性回归方程为 ．
，，
．
，
回归方程为 ．
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