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专题22：数学归纳法
数学归纳法在2019版人教新教材中虽然是选学内容，但其关于正整数的命题（例如数列，不等式，整除问题等）则可以考虑使用数学归纳法进行证明，数学归纳法不仅是一种很好的方法，它在数学猜想、归纳、证明这一体系的数学思维中有着重要的地位和意义.
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当取第一个值时命题成立；
(2)(归纳递推)假设时命题成立，证明当时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.
例1（2022·河南南阳·高二阶段练习）用数学归纳法证明“对于的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值应取（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
根据给定条件，利用数学归纳法的定义逐项分析、计算判断作答.
练1用数学归纳法证明，且时,第一步应验证的不等式是（ ）
A． B． C． D．
练2用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（ ）
A．增加一项
B．增加两项、
C．增加，且减少一项
D．增加、，且减少一项
1.应用数学归纳法证明数学命题时初始值不一定是，要根据题目条件或具体问题确定初始值.
2.推证时一定要用上时的假设，否则就不是数学归纳法.
3.解“归纳——猜想——证明”问题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.
例2（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中,
且.
(1)试求：,的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.
【思路点拨】
（1）根据递推关系写出，的值，由所得前3项猜想通项公式即可.
（2）应用数学归纳法，首先判断时通项公式是否成立，再假设时通项公式成立，进而利用关系求证是否成立即可.
练3已知等比数列的首项，公比，设是它的前项和，求证： .
练4（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模）将①，，
②,③,之一填入空格中(只填番号),并完成该题.
已知是数列前n项和，___________.
(1)求的通项公式；
(2)证明：对一切，能被3整除.
1．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）
A．假设当时成立，再推出当时成立
B．假设当时成立，再推出当时成立
C．假设当时成立，再推出当时成立
D．假设当时成立，再推出当时成立
2．用数学归纳法证明时,从到,不等式左边需添加的项是_____．
3．已知数列中，，其中，且.从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．
(1)求,,，并猜想的通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
4.已知数列满足，其中常数
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求证：对任意的，都有.
5.设正整数数列满足：，且对于任何，由
（1）求 ；
（2）求数列的通项公式.
6.已知数列满足，当时，
求证：数列的第项能被3整除.
专题22 数学归纳法
【专题探究】
例1【解析】显然当时，，而当时，，A不是；
当时，，B不是；
当时，，C不是；
当时，，符合要求，D是．
故选：D.
练1【解析】解：用数学归纳法证明，且时，
第一步应验证：当，时，不等式成立.
故选：.
练2【解析】由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立，
那么时，有：，
∴，
综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项
故选：D.
例2【解析】(1)因为且. 所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
(2)①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即,
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
练3【解析】证明：，所证不等式为：
，下面用数学归纳法证明：
（1）验证：时，左边右边，不等式成立
（2）假设时，不等式成立，
则时，
所以时，不等式成立,
，均有.
练4【解析】 (1)若选①：因为所以，
两式相减得，所以是隔项等差数列，且，
所以为奇数，为偶数，
所以.
若选②：，所以，
两式相减得，，所以，
当时，，
当时，，满足，
故.
若选③：因为①，所以②，
所以，即，
所以，
因为，所以，所以，所以，
又，所以，所以，所以，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，所以的通项公式.
(2)当时，，能够被3整除；
假设当时，能被3整除，则有,所以，
则当时，
，
所以当时能被3整除.
综上所述，对一切，能被3整除.
【专题训练】
1．【解析】第二步假设当时成立，再推出当时成立.
故选：B.
2．【解析】当时，所假设的不等式为，
当时，要证明的不等式为，
故需添加的项为：，
故答案为：．
3．【解析】（1）选条件①，
由题意可得，同理可得，，
猜想 ()．
选条件②，
由题意可得，∵，，∴，，
∴，同理可得，
猜想（）．
（2）显然当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，即（），
当时，由，
即当时，猜想成立，
综上所述，（）．
4. 【解析】（1）由已知可得：时,
，，或.
（2）解：（数学归纳法）
当时，成立
假设时，命题成立，即，则当时，
，
， ，
，即时，命题成立
所以时，均有.
5. 【解析】（1）由已知不等式得：，
当时，即，
解得：，则，
当时，即，
解得：，则，
综上：；
（2）证明：由，猜想，下面用数学归纳法证明的情况：
验证：时，符合通项公式
假设时，，则时，
因为时，， （均在时，取到1）
又，
，命题成立,
而均符合通项公式.
.
6. 【解析】证明：（数学归纳法）
（1）当时，，能被3整除；
（2）假设当时，能被3整除，
那么当时，
,
能被3整除，能被3整除，
能被3整除，
即时，命题成立，
对一切的，均能被3整除.
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