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2023届高考数学三轮冲刺卷：空间的垂直关系
一、选择题（共20小题；）
1. 已知 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，且 ，那么“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 在长方体 六个面中，与面 垂直的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 已知 ， 是两个不同的平面，， 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，，则
D. 若 ，，，则
4. 设有不同的直线 和不同的平面 ，给出下列三个命题：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ．
其中正确的个数是
A. B. C. D.
5. 若 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，则下列命题中正确命题是
A. 若 ，，则
B. 若 ，，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则
6. 下列命题中不正确的是
A. 如果 ，且 ，则
B. 如果 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
C. 如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
D. 如果 ，，，那么
7. 如图所示，在斜三棱柱 中，，，则 在底面 上的射影 必在
A. 直线 上 B. 直线 上 C. 直线 上 D. 内部
8. 若 ，， 是互不相同的空间直线，， 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则
9. 已知 ， 为异面直线，，，直线 满足 ，，，，则
A. 且 B. 且
C. 与 相交，且交线平行于 D. 与 相交，且交线垂直于
10. 若 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，下些说法正确的是
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，，则
D. 若 ，，则
11. 若 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，下些说法正确的是
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，，则
D. 若 ，，则
12. 对于直线 和平面 ，能得出 的一个条件是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
13. 设 ， 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则
14. 若 是空间两条不同的直线， 是空间的两个不同的平面，则 的一个充分不必要条件是
A. ， B. ， C. ， D. ，
15. 若 ， 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
16. 设 ，， 表示三条不同的直线，，， 表示三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 ，，，则 ； 若 ， 是 在 内的射影，，则 ； 若 ，，则 其中真命题的个数为
A. B. C. D.
17. 如图所示，空间四边形 的各边都相等，，，， 分别是 ，，， 的中点，下列四个结论中正确的个数为
；；；．
A. B. C. D.
18. 如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 为矩形，， 分别为 ， 的中点，在此几何体中，给出下面 个结论：
①直线 与直线 异面；
②直线 与直线 异面；
③ ；
④ ．
其中正确的结论个数为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
19. 已知 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，且 ，，则
D. 若 ，，且 ，则
20. 已知 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，且 ，那么“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题（共5小题；）
21. 已知直线 和平面 ，，利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断 的真命题是 ．
22. 已知 ， 是两个不同的平面，， 是平面 ， 外的两条不同的直线，给出下列论断：① ；② ；③ ；④ ．以其中三个论断作为条件，剩下的一个论断作为结论，则 成立．
23. 将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两直线平行；
②垂直于同一平面的两平面平行；
③平行于同一直线的两直线平行；
④平行于同一平面的两直线平行．
其中是“可换命题”的是 （填命题的序号）．
24. 已知 垂直于正方形 所在平面，连接 、 、 、 、 ，则下列垂直关系中正确的序号是 ．
① ② ③
25. 如图，在三棱柱 中，平面 ，，若点 在棱 上，则当点 满足 时，有平面 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 如图所示几何体中， 为正三角形， 和 垂直于平面 ，且 ，， 为 的中点．求证：
（1）；
（2）．
27. 如图， 为 的直径， 垂直于 所在的平面， 为圆周上任意一点，， 为垂足．
（1）求证：．
（2）若 ，垂足为 ，求证：．
28. 如图所示，在四棱锥 中，，，， 是 的中点， 是 上的点，且 ， 为 中 边上的高．求证：
（1）．
（2）．
29. 如图，已知在长方体 中，，， 分别是 和 的中点．证明 ．
30. 如图，三棱锥 中，，，点 ， 在线段 上，且 ，，点 在线段 上，且 ．
（1）证明：；
（2）若四棱锥 的体积为 ，求线段 的长．
答案
1. B 【解析】由题意知 ，但 ，
故“”是“”的必要不充分条件．
2. D
3. C 【解析】对于 A，如图，
，，此时 ， 异面，故 A 错误；
对于 B，若 ，，则 或 ，故 B 错误；
对于 C，若 ，，则 或 ，又 ，
所以则 ，故 C 正确；
对于 D，若 ，，，则 可能与 相交，也可能与 平行，也可能在 内，故 D 错误．
所以正确的选项为 C．
4. A
5. C
【解析】分别如图所示：
故A不正确；
此图显示 与 相交，故B不正确；
因为 ，，所以， 内存在与 垂直的直线，故 ，C正确；
如图显示， 与 不垂直，故D不正确．
6. A 【解析】根据面面垂直的性质，知A不正确，直线 可能平行平面 ，也可能在平面 内．
7. A 【解析】．
又 ，，所以 ．
8. C
9. C
10. B
【解析】若 ，，则 与 平行、相交或 ，故A不正确；
若 ，，则 ，因为 根据线面平行的性质，在 内至少存在一条直线与 平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；
若 ，，，则 或 与 相交，故C不正确；
若 ，，则 与 相交或平行，故D不正确．
11. B 【解析】若 ，，则 与 平行、相交或 ，故A 不正确；
若 ，，则 ，
因为 根据线面平行的性质在 内至少存在一条直线与 平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直于这个平面，那么另一条也垂直于该平面，故B正确；
若 ，，，则 或 与 相交，故C不正确；
若 ，，则 与 相交或平行，故D不正确．
12. C 【解析】提示：C选项，由 可得 ，又因为 ，所以 ．
13. C 【解析】对于A，B，D均可能出现 ，而对于C是正确的．
14. D 【解析】提示：A、B、C中的 与 的位置关系都不确定．D中，由 ， 可以推得 （事实上，这符合线面垂直的推论），反之 时，不能得到 ，．
15. B
16. C 【解析】由 ，， 表示三条不同的直线，，， 表示三个不同的平面知：在 中，若 ，，，则平面 ， 成 角，所以 ，故 正确；在 中，若 ， 是 在 内的射影，，则由三垂线定理得 ，故 正确；对于 ，，，则 错误，如墙角的三个面的关系，故 错误，真命题的个数为 ，故选C．
17. A 【解析】因为 ，，，
所以 ，故 正确；
因为 ，，，，
所以 ，故 正确；
因为 ，，，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，故 正确．只有 错误．
18. C 【解析】画出几何体的图形，如图，
由题意可知，①直线 与直线 异面，不正确，
因为 ， 是 与 的中点，可知 ，
所以 ，直线 与直线 是共面直线；
②直线 与直线 异面；满足异面直线的定义，正确．
③ ；
由 ， 是 与 的中点，可知 ，
所以 ，
因为 ，，
所以判断是正确的．
④因为 与底面 的关系不是垂直关系， 与平面 的关系不能确定，
所以 ，不正确．
19. D 【解析】由 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，知：
在A中，若 ，，则 与 相交、平行或异面，故A错误；
在B中，若 ，，则 与 相交或平行，故B错误；
在C中，若 ，，且 ，，则 与 相交或平行，故C错误；
在D中，若 ，，且 ，则线面垂直、面面垂直的性质定理得 ，故D正确
20. B
21. 若 ，且 ，则 ；
或若 ，且 ，则 ．
22. ①③④或 ②③④，②或①
23. ①③
【解析】由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理 可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．
24. ①②
【解析】易证 ，则 ：又 ，故 ，则 ．
25. 为棱 的中点
【解析】如图，分别取 ， 的中点 ，．
因为 ，所以 ．所以 ，．根据已知易得 ，，，，所以 ，．所以四边形 是平行四边形，故 ．因为 平面 ，所以 ，．若 ，在平面 内，过 作 ， 为垂足，则有 ，所以 为 与 的交点，故 为 中点，从而 为 中点．
26. （1） 如图，取 中点 ，连接 ．
∵ 为 中点，
且 ；
又 且 ；
且 ．
四边形 为平行四边形．
，又 ，；
．
（2） 为正三角形， 为 中点；
，
，；
；
又 ，；
．
，
．
又（1）已证 ，；
又 ， 为 的中点，
；
又 ，，
．
，
．
27. （1） 因为 为 的直径，
所以 ．
又 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
又 ，
所以 ．
又 ，且 ，
所以 ．
（2） 由（）知 ，
又 ，
所以 ．
又因为 ，，
所以 ．
又 ，
所以 ．
28. （1） 因为 ，，
所以 ．
因为 为 中边 上的高，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ．
（2） 如图，取 的中点 ，连接 ，．
因为 是 的中点，
所以 ，．
又因为 ，，
所以 ，，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ，
所以 ．
29. 如图，取 的中点 ，连接 ，．
因为 是 的中点，
所以 ，，
因为 是 的中点，且 ，，
所以 ，，
所以 ，，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角．
又因为 ，
所以四边形 ，四边形 都是正方形，
又 为 的中点，
所以 ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成的角为 ，
所以 ．
30. （1） 由 ， 知， 为等腰 中 边的中点，故 ．
又 ，，，，
所以 ，从而 ．
因为 ，，所以 ．　
从而 与平面 内两条相交直线 ， 都垂直，
所以 ．
（2） 设 ，则在 中，
，
从而 ．
由 知，，得 ，
故 ，即 ．
由 ，，
从而四边形 的面积为 ．
由（1）知 ，所以 为四棱锥 的高．
在 中，，
所以 ，
所以 ，
解得 或 ．
由于 ，因此 或 ．
所以 或 ．
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