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第七章 复数
学什么？
为何学？
怎么学？
2022~2023年高一第二学期
第七章 第1节 数系的扩充和复数的概念
学习目标
1. 理解引入复数的必要性，了解复数系的扩充过程，体
会数系扩充过程中理性思维的作用；
2.理解复数的概念、分类，及两个复数相等的含义．
N
Z
Q
R
引入负整数
引入分数
引入无理数
N
Z
Q
R
引入负整数
引入分数
引入无理数
我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做数系.回顾数系的三次扩充，你能归纳扩充过程中必须满足的共同规则：
回顾数系的三次扩充
数系已经进行了三次扩充，数系能不能再次扩充呢？
数系的再次扩充
数系的再次扩充
问题3：方程 x2+1=0 在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个方程有解呢？
数系的再次扩充
可以添加一个新数，对实数系进行扩充．
引入一个什么样的数呢？
数系的再次扩充
问题4：数集的每一次扩充，都是在原来数集的基础上添加“新数”得到的，引入新数就要引入新运算，如果没有运算，数集中的数只是一个个孤立的符号。加法和乘法运算是上述数系中最基本的运算（减法、除法运算分别可以转化成加法、乘法运算）.
“规则”是：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．
梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程，思考：数系的每一次扩充，加法和乘法运算满足的“性质”有一致性吗？由此你能梳理数系扩充遵循的“规则”吗？
数系的再次扩充
引入一个新数 i ，叫作虚数单位，并规定：
（1）；
（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、
乘法运算律仍然成立．
数系的再次扩充
问题4：把新引进的数添加到实数集后，按照前面总结的数系扩充的“规则”，我们可以对实数系进行进一步扩充。那么，实数系扩充后，新数系由哪些数组成呢？
类比有理数系扩充到实数系的过程与方法，如，等，将实数与 i 进行加法和乘法运算，
例如：把实数 1 与新引入的数 i 相加可以得到 1+i；
把实数 3 与新引入的数 i 相乘可以得到 ；
把实数 1 与实数 3 和 i 相乘的结果相加可以得到 1+3i。
数系的再次扩充
将问题抽象到一般情况，
复数的概念
2、复数的定义
形如 a+bi的数称为复数，通常用字母 z 表示，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。全体复数组成的
集合叫复数集，通常用C表示，即.
注意: 复数的实部与虚部都是实数.
实数
虚数
复数的概念
虚数集
复数集
纯虚数集
实数集
复数的概念
思考：满足什么条件，复数是实数？虚数？纯虚数？
复数的概念
复数是实数b=0
复数是虚数b
复数是纯虚数a且b 0
复数的概念
问题5：实数能相等，那么复数能相等吗？
复数的概念
4、复数的相等
在复数集中任取两个数
，
我们规定： 相等当且仅当．
复数的概念
问题6：实数能比较大小，那么复数能比较大小吗？
5、复数的大小关系
一般来说，两个复数只有相等或不相等，不能比较大小，若两个复数都是实数，可以比较大小，但两个复数中至少有一个为虚数时，不能比较大小．
复数的概念
复数的概念
4、复数的大小关系
一般来说，两个复数只有相等或不相等，不能比较大小，若两个复数都是实数，可以比较大小，但两个复数中至少有一个为虚数时，不能比较大小．
复数的概念


复数的概念
例题选讲
解析：（1）当m1=0，即m=1时，复数z是实数．
（2）当 m10，即时，复数z是虚数．
（3）当 m+1=0，且m10即时，复数z是纯虚数．
例题选讲
分析：由两个复数相等得，两个复数的实部和虚部分别对应相等．
，且解得：．
课堂小结
1、知识：复数的定义、复数的分类、复数相等；
2、方法：从特殊到一般，归纳类比；
课堂练习
1、知识：复数的定义、复数的分类、复数相等；
2、方法：从特殊到一般，归纳类比；

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