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第一部分 教材同步复习
第一章 数与式
第1讲 实数的相关概念
江西真题体验
命题点一 实数的有关概念(10年7考) C.1.3 105 D.1.3 104
6.(2020江西)教育部近日发布了2019年全国教育经
1.(2021江西) 2的相反数是( )
费执行情况统计快报.经初步统计, 2019年全国教育
1 1
A. 2 B. 2 C. D. 经费总投入为 50 175 亿元 ,比上年增长 8.74% .
2 2
2.(2020江西) 3的倒数是( ) 50 175亿用科学记数法表示为( )
1 1 11
A.3 B. 3 C. D. A.5.017 5 10 B.5.017 5 10
12
3 3
C. 0.501 75 1013 14 D. 0.501 75 10
3.(2019江西) 2 的相反数是( )
7.(2018江西) 2018 年5 月13日,中国首艘国产航空
1 1
A. 2 B. 2 C. D. 母舰首次执行海上试航任务,其排水量超过60 000t .
2 2
4.(2018江西) 2的绝对值是( ) 60 000用科学记数法表示为 .
1 1
A. 2 B. 2 C. D.
2 2
命题点二 科学记数法(10年6考)
5.(2017江西)在国家“一带一路”的倡议下,我国与欧
洲开通了互利互惠的中欧班列.行程最长,途经城市
和国家最多的一趟专列全程长13 000km .13 000 8.(2021江西)国务院第七次全国人口普查领导小组
用科学记数法表示为( ) 办公室5月11日发布,江西人口数约有45 100 000 ,
A. 0.13 105 B.13 103 数据45 100 000用科学记数法表示为 .
中考考点讲解
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北师:七上第二章第22~76页 八上第二章第20~40页
正整数
整数 零
负整数
有理数
正分数
分数 有限小数或无限循环小数
实数 负分数
实 实数的
按定义分 正无理数
数 分类 无理数 无限不循环小数
1111 负无理数
温馨提示掌握无理数的概念,要关注无理数“无限不循环”的特征,无理数的主要
呈现形式有:(1)含圆周率 π 的,如 0.5π,3π 等；(2)开方开不尽的,如 , 等；(3)
以三角函数形式出现的,如 sin45°,tan30°等；(4)人为构成的,如 0.1010010001…
(每两个 1 之间依次多一个 0)这样有规律的数．
1
正数:大于 0 的数叫做正数
实数 0
实数的 负数:在正数前面加上符号“ ”(负号)的数叫做负数
按大小分
分类
温馨提示(1)0 既不是正数,也不是负数;
(2)正、负数的意义:用来表示具有相反意义的量.如:规定“盈( ),则亏( )”“胜( ),
则负( )”“上升( ),则下降( )”等.
名称 定义 性质
规定了原点、正方向和单位长
数轴 数轴上的点和实数是一一对应的
度的直线
a 与 b 互为相反数 a+b=0;
只有符号不同的两个数互为相
相反数 在数轴上表示互为相反数的两个点关于
反数;特别的,0 的相反数是 0
① 对称
实数的 数轴上表示数 a 的点与原点之
绝对值
相关概念 间的② ,记作|a|
乘积为③ 的两个数互为 ab=1 a,b 互为倒数,④ 没有倒
倒数
倒数 数,倒数是它本身的数是⑤
知识拓展(1)绝对值具有非负性,即|a|≥0；
(2)数轴上两点之间的距离等于这两点对应实数的差的绝对值.如:在数轴上,点 A 对应
的数是 a,点 B 对应的数是 b,则 AB=|a-b|.
表示形式: a×10n,其中 1≤|a|<10,n 为整数.
(1)当原数的绝对值≥10 时, n 为正整数,且等于原数的整数位数减 1 或
将原数变为 a 时小数点向左移动的位数；
科学记 科学记 n 的确定 (2)当 0<原数的绝对值<1 时, n 为负整数,它的绝对值等于原数左起第
数法与 数法 一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)或原数变为 a 时小
近似数 数点向右移动的位数.
温馨提示(1) 常见的计数单位有: 1 万=10
4 ,1 亿=108；常见的计量单位有:1mm=10-3
m,1nm=10-9 m;
(2) 用科学记数法表示数时,要注意已知数据与表示数据的单位是否一致.
近似数:一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
参考答案:①原点 ②距离 ③1 ④0 ⑤±1
重点难点突破
典例 如图,已知数轴上的点 A , B , C , D , E , F 对 科学记数法表示为 .
应的数分别为a , b , c , d , e , f . 【解题点拨】(1)根据数轴上的点B , E , F 所在的位
置,可以得到b , e , f 相应的值,从而解决问题;
(2)先根据数轴上的点 A , C , D 所在的位置,可以得
(1) b , e f ; 到 a , c , d 相应的值,然后分别根据相反数、倒数和绝
(2) a 的相反数是 , c 的倒数是 , d 的绝 对值的定义,即可解决问题;
对值是 ; (3)先求出 g 的值,然后用科学记数法把它表示出来
(3)若点G 在数轴上对应的数 g 10 000df ,则 g 用 即可.
2
中考模拟提升
1.下列各数中,属于负数的是( ) A. a3 0 B. | a1 | | a4 |
1
A. 1 B. 0 C. 0.2 D. C. a1 a2 a3 a4 a5 0 D. a2 a5 0
2
11.点 A 在数轴上所对应的数可用 2a 1表示,且点
2.下列各数中,属于无理数的是( )
A到原点的距离等于3 ,则a 的值为( )
1
A. B.1.414 C. 2 D. 4 A. 2或1 B. 2或 2
3
C. 2 D.1
3.(2021乐山)如果规定收入为正,那么支出为负.收入
12. | 8 | .
2 元记作 2元,支出5元记作( )
2
A.5元 B. 5元 C. 3元 D. 7 元 13. | |的相反数是 ,倒数是 .
3
4.(2021南昌期末) 4的倒数是( )
14.写出一个负数,使这个数的绝对值小于4 : .
1 1
A. 4 B. 4 C. D. 15.在 0 , 3 , 2 , 3.6 这四个数中 ,是负整数的
4 4
是 .
5. 3的相反数是( )
16.点 A 在数轴上的位置如图所示,则点 A 表示的数
1
A.3 B. 3 C. D. 的相反数是 .
3
1

3 10 π
17.给出下列实数: , , | 1| , 3 27 ,0.101 001 000 1…
6. 2022的绝对值是( ) 3 3
A. 2022 B. 2022 (每相邻两个1之间依次多一个 0 ), 8 , ( 2)
0 .其中
1 1
C. D. 有理数有 个.
2022 2022 18.用科学记数法表示下列各数:
7.(2021江西样卷三)下列各组数中 ,互为倒数的是
17 400 ; 23万 ;
( )
1 15.9亿 ; 0.000 011 .
A. 3和 B. 2 和 2
3 19.若 | x 3| 3 x ,则 x 的取值范围是 .
3 20.有理数a , b , c 在数轴上的位置如图所示.
C. 3 和 D. | 3 |和 3
3
8.(2021淄博)经过 4.6 亿公里的飞行,我国首次火星
(1)判断正负:b c 0 , a b 0 , c a 0
探测任务“天问一号”探测器于 2021年5月15日在
(填“ ”或“ ”);
火星表面成功着陆,火星上首次留下了中国的印迹.
(2)化简: | b c | | a b | | c a | .
数 4.6亿可用科学记数法表示为( )
A. 4.6 109 B. 0.46 109
C. 46 108 D. 4.6 108
9.如图,数轴上被墨水遮盖的数可能是( )
A. 1 B. 1.5 C. 3 D. 4.2
10.(2021河北)如图,将数轴上 6与 6 两点间的线段
六等分,这五个等分点所对应的数依次为 a1 , a2 , a3 ,
a4 , a5 ,则下列式子中正确的是( )
3
第2讲 数的开方与二次根式
江西真题体验
命题点一 数的开方(10年1考) 围是 .
1.(2014江西)计算: 9 . 命题点三 二次根式的运算(10年1考)
命题点二 二次根式的相关定义(10年1考) 3.(2012江西)当 x 4时, 6 3x 的值是 .
2.(2017江西)函数 y x 2 中,自变量 x 的取值范
中考考点讲解
版本导航 人教:七下第六章第 40~52页 八下第十六章第 1~20页
北师:八上第二章第26~37页、第41~48页
a
参考答案:①相反数 ②非负数 ③ a ④ ab ⑤
b
4
重点难点突破
典例 已知式子 2x 6 在实数范围内有意义. 次根式,则 x 的值是 .
(1) x 的取值范围是( ) 【解题点拨】(1)∵ 2x 6 在实数范围内有意义,∴
A. x 3 B. x 3 2x 6 0 ,据此求解即可;
C. x 3 D. x 3 (2)将 x 11直接代入 2x 6 计算即可;
(2)当 x 11 时, 2x 6 的值是 ; (3)∵ 2x 6 是最简二次根式且与 3 2 是同类二
(3)若 2x 6 是最简二次根式且与 3 2 是同类二 次根式,∴2x 6 2 ,据此求解即可.
中考模拟提升
1.(2021九江期末) 9 的平方根是( )
11. 若 a , b 均为实数 , 且 a b 8 , ab 8 , 求
A.3 B. 3 C. 3 D. 3
b a
2.8的立方根是( ) b a 的值.
a b
A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
3.下列式子中,是最简二次根式的是( )
1
A. B. 2 C. 4 D. 12
2
x 2
4.使得式子 有意义的 x 的取值范围是( )
x
A. x 0 B. x 2
C. x 0 D. x 2且 x 0
1
5.(2021南充)如果 x2 4 ,那么 x . 12.已知二次根式 3 x .
2
6.若8的平方根是a ,则a .
(1)求 x 的取值范围;
1
7.计算: 3 . 1
27 (2)当 x 2时,求二次根式 3 x 的值;
2
8.(2021杭州模拟)计算: 12 3 .
1
(3)若二次根式 3 x 的值为零,求 x 的值.
9.(2021江西样卷三)若代数式 x (x 2)0 有意义, 2
则 x 的取值范围是 .
10.当 a 取何值时,代数式 2a 1 1的值最小？求
出这个最小值.
5
第3讲 实数的大小比较及运算
江西真题体验
命题点一 实数大小的比较(10年2考) 状的记数工具)正放表示正数,斜放表示负数.如图,根
1.(2016江西)下列四个数中,最大的数是( ) 据刘徽的这种表示法,观察图①,可推算图②中所得
A. 2 B. 3 C. 0 D. 2 的数值为 .
2.(2014江西)下列四个数中,最小的数是( )
1
A. B. 0 C. 2 D. 2
2
命题点二 实数的运算(10年6考)
3.(2015江西)计算 ( 1)0的结果为( )
6.(2016江西)计算: 3 2 .
A.1 B. 1 C. 0 D.无意义
2 0 1
4.(2020江西)公元前 2000 年左右,古巴比伦人使用 7.(2021江西)计算: ( 1) ( 2021) | | . 2
的楔形文字中有两个符号(如图所示),一个钉头形代
表1 ,一个尖头形代表10 .在古巴比伦的记数系统中,
人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同 ,
最右边的数字代表个位,然后是十位、百位.根据符号
记数的方法,如图所示的符号表示一个两位数,则这 0 1
8.(2020江西)计算: (1 3) | 2 | ( )
2
.
个两位数是 . 2
5.(2017江西)中国人最先使用负数,魏晋时期的数学
家刘徽在“正负术”的注文中指出,可将算筹(小棍形
中考考点讲解
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直接比较法 正数 ① 负数
在数轴上,右边的数总比左边的数② ,在同一点则表示两数
数轴法
实 相等
数 实 两个正数比较大小,绝对值大的数较③ ；两个负数比较大
的 数 绝对值法 小,绝对值大的数反而④ ,即a 0 ,b 0 ,若 | a | | b | ,则
大 的 a b
小 大 对任意正实数a , b ,有: a2 b a ⑤ b (适用于含有
比 小 平方比较法
较 根式的数的大小比较或二次根式的估值) 比
及 设 a ,b 是任意两个实数,则a b 0 a⑥ b ,较 作差法
运 a b 0 a⑦ b , a b 0 a⑧ b
算 a
设 a ,b (b 0 )是任意两个正实数,则 1 a b ,
b
作商法
a a
1 a b , 1 a b
b b
6
运算 法则 举例
an a a … a ( n个 a相乘),负数的偶次幂为 ( 6)2 ( 6) ( 6) 36
乘方
正数,奇次幂为负数 ( 2)3 ( 2) ( 2) ( 2) 8
任何非零实数的零次幂都为⑨ ,即 20 1, ( 3 2)0 1 ,
零次幂 a0 1(a 0) (3 )0 1
1 1(n为奇数), ( 1)2021的奇 n 1 ,实 ( 1)
偶次幂 1(n为偶数) ( 1)2022数 1
的
实 任何非零有理数的负整数次幂都是它的正 3 1 1大 , (
1) 2 4 ,
数 负整数 1 3 2
小 整数次幂的⑩ ,即 a
n ( a 0 , n
的 次幂 an ( 1 ) 1比 5
运 为正整数) 5
较
算
及 a b(a b), | 3 6 | 3 6 ,
运 去绝对值 | a b |

0(a b),
算 | 4 2
2| 0 ,
符号 b a(a b).
a ,b | 2 3 | 3 2关键在于比较 的大小
温馨提示 1.有理数的运算律在实数范围内都适用,其中常用的运算律有加法交换律、乘
法交换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律.
2.在实数范围内进行运算的顺序:先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减.运算中有括号的,
先算括号内的,同一级运算要从左到右依次进行.
3.常见类型及法则要牢记.
参考答案:①0 ②大 ③大 ④小 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨1 ⑩倒数
重点难点突破
| 5 | 22 实数都小于 0 ,正实数大于一切负实数,两个负实数典例 已知一组数 2 , , 3 ,0 , 2 3 , , ,回7 相比较,绝对值大的反而小的性质即可解答;
答下列问题: (2)第(2)(4)问直接利用零次幂和负整数次幂的性质
(1)在这组数中,最大的是 ,最小的是 ; 分别化简即可得出答案.
22
(2)计算: ( )0 ,2 37
; 我的解答
(3)将这组数按从小到大的顺序排列起来是
;
(4)计算: (2 2 3)0 | 5 | ( 3) 2 .
【解题点拨】(1)第(1)(3)问利用正实数都大于 0 ,负
中考模拟提升
1.下列各数中,最大的是( ) 3.计算3 ( 2)的结果是( )
0 1 1A. B. 2 C. D. A. 5 B. 1 C.1 D.5
4 2
3
2.(2021瑞金模拟)下列各数中,比 2小的是( ) 4.计算 ( 2) 的结果是( )
A. 3 B. 1 C.0 D. 2 A.6 B. 6 C.8 D. 8
7
5.(2021包头)下列各式的运算结果中,绝对值最大的 (2)(2021常州) 4 ( 1)2 ( 1)0 2 1 .
是( )
A.1 ( 4) 4 B. ( 1) C. ( 5) 1 D. 4
6.(2021江西样卷五)下列各数中,比 4大且比 3小
的无理数是( )
14.先比较大小,再计算.
A. 3 B. π C. 3 2 D. 2 3
(1)比较大小: 7 与3 ,1.5与 3 ;
1
7.计算 ( 2)
2 ( 2 π)0 ( ) 2 的结果是( )
2 (2)依据(1)的结论,比较大小: 2 3 与 7 ;
11 (3)依据(2)的结论,计算: | 3 7 | | 7 2 3 | .
A.1 B. 2 C. D.3
4
8.比较大小: 2 1(填“ ”“ ”或“ ”).
9.(2021江西样卷四 )我国古代用算筹记数 ,纵式
可以分别表示1, 2 ,
3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .若16可以用 表示,则 28 可
以用 表示.
15.(2021上饶玉山期末)已知有理数a ,b , c 在数轴上
10.计算:(1)1 ( 3) ;
对应的点如图所示.
(2) (3 2022)0 ( 5) | 4 | ; (1)比较a , a ,b , b , c , c 的大小,并用“ ”号连接;
(3) 2sin60 | 3 2 | ( 1) 1 3 8 . (2)化简: | c | | c b | | a c | | b a | .
11. 若 实 数 a , b 满 足 | a 1| b 2 0 , 则
(a b)2022 .
12.远古美索不达米亚人创造了一套以 60 进制为主
的楔形文记数系统.对于大于59的整数,美索不达米
亚人采用六十进制的位值记法,位置的区分是靠在
不同楔形记号组之间留空,例如: ,左边
的 表示 2 602 ,中间的 表示3 60 ,右边的
则表示1 ,用十进制写出来是7381 .将楔形文记数
表示为十进制的数是 .
13.计算:
1 0
(1)(2021陕西) ( ) |1 2 | 8 ;
2
8
第4讲 整式及因式分解
江西真题体验
命题点一 整式的运算(10年8考) m2 n2 .
1.(2020江西)下列计算正确的是( ) 6.(2013江西)观察下列图形中点的个数,若按其规律
A. a3 a2 a5 B. a3 a2 a 再画下去,可以得到第 n 个图形中所有点的个数为
C. a3 a2 a6 D. a3 a2 a (用含n 的代数式表示).
2.(2017江西)下列运算正确的是( )
A. ( a5)2 a10 B. 2a 3a2 6a2
C. 2a a 3a D. 6a6 2a2 3a3
3.(2021江西)下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的 命题点三 分解因式(10年3考)
著作《详解九章算法》中提到过,因而人们把这个表 7.(2019江西)分解因式: x2 1 .
叫做杨辉三角,请你根据杨辉三角的规律补全下表 8.(2016江西)分解因式 ax2: ay2 .
第四行空缺的数字是 .
9.(2021江西)因式分解: x2 4y2 .
命题点四 整式的化简与求值(10年2考)
10.(2015江西)先化简,再求值: 2a(a 2b) (a
2b)2 ,其中a 1 ,b 3 .
4.(2020江西)计算: (a 1)2 .
命题点二 列代数式及求值(10年2考)
5.(2012江西 )已知 (m n)2 8 , (m n)2 2 ,则
中考考点讲解
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1.列代数式:把问题中的数量关系用含有数、字母及运算符号的式子表示出来，就是列代
数式.
2.通过图形规律列代数式:
(1)标序号:把序号与数列(每个图形中所求图形个数形成的一组数)放在一起加以比较;
(2)作差找规律:计算相邻两项的差,观察差的规律:
整 列代数式 ①若差是一个定值:第 n 项可以表示为 a+d(n-1)(其中 a 表示第一项,d 表示差,d(n-1)表示
式 第 n项与第一项的差),然后再化简代数式;
及 ②若差以 1,2,3,4,5…的形式递增:利用正整数和公式 换算;
因
式 ③若差以 1,4,6,8,10…的形式递增:利用偶数数列和公式 n(n+1)换算;
分 ④若差以 1,3,5,7,9…的形式递增:利用奇数数列和公式 n2换算.
解 1.定义:用数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算得出结果.
(1)直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值;
代数式 (2)整体代入法:当字母的值不能或不易求出时，可把已知条件作为一个整体，
2.求值的
求值 代入到所求的代数式中，这种方法一般要对已知条件或所求代数式进行变
常用方法
形，变形时一般会用到因式分解、移项、配方等方法，涉及的公式有平方差
公式和完全平方公式等.
9
定义 由数或字母的乘积组成的代数式.单独的一个数或字母也是单项式
单
项 次数 单项式中所有字母的① 叫做单项式的次数
式
系数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数
整 定义 几个单项式的和叫做多项式
式 多
的 项 项 多项式中,每一个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项
相 式
关 次数 多项式中,② 的次数叫做多项式的次数
概
念 整
式 定义 单项式与多项式统称为整式
同 定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项
类
项 合并同
类项法则 ③ 相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的④ 不变
温馨提示所含字母相同,相同字母的指数也相同,这是判断几个单项式是同类项的标准,与系数
以及字母的排列顺序无关.
运算 类型 符号语言(文字描述)
整
式 合并同类项 如a+4a=(1+4)a=5a
及 加减
因 运算 去括号法则 如a+(b+c)=a+b+c,a-(b+c)=⑤ (“+”不变，“-”要变)
式 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合
分 加减运算法则 并同类项
解
同底数幂相乘 am·an=⑥ (m,n都是正整数)
幂的乘方 (am
n
幂的 ) =⑦ (m,n都是正整数)
运算
积的乘方 (ab)n=⑧ (n是正整数)
整
式 同底数幂相除 am÷an=⑨ (a≠0,m,n都是正整数，并且m>n)
的
运 单项式乘单项式 如ab·a2=a(1+2)b=a3b
算
单项式乘多项式 如a(b+c)=ab+ac
乘法
多项式乘多项式 如(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd
运算
平方差公式 (a+b)(a-b)=⑩
完全平方公式 (a+b)2= ,(a-b)2=
单项式除以单项式
除法 如6x
4y÷2x3=(6÷2)x(4-3)y=3xy
运算
多项式除以单项式 如(am+bm)÷m=a+b
混合运算法则 先算乘方 , 再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的
10
1.定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解.
整 2.方法:(1)提公因式法:am+bm+cm= ;公因式的确定:系数取各项系数的最大公约数,
式 字母取各项的相同字母,指数取各项相同字母的最低次幂.
及 因式 平方差公式:a2-b2= ;
因 (2)公式法
分解 完全平方公式:a2±2ab+b2= .
式
分 温馨提示(1)若多项式的各项有公因式，则应先提取公因式,首项是负的,可将负号一并提取;
解 (2)若多项式的各项没有公因式，则可以考虑用公式法来分解因式;
(3)要记得检查因式分解是否彻底.
参考答案:①指数的和 ②次数最高项 ③系数 ④指数 ⑤a b c ⑥am n ⑦amn ⑧anbn
⑨ am n ⑩a2 b2 a2 2ab b2 a2 2ab b2 m(a b c) (a b)(a b)
(a b)2
重点难点突破
典例 已知下列各式:① 4 ,② a2 ,③ a4 ,④ a2 b2 , 【解题点拨】(1)根据整式的相关概念即可解答;
⑤a2 2ab b2 .请回答下列问题: (2)根据因式分解的方法即可解答;
(1)其中单项式有 ,多项式有 ,完全平方 (3)根据幂的运算法则即可解答;
式有 (填序号); (4)根据这组式子的规律,先确定所求式子的系数,再
2 2 确定所求式子的指数即可解答; (2)因式分解: a 2ab b ,
(5)根据整式的运算法则即可解答;
4 a2 ,
(6)先根据整式的运算法则将其化为最简式,然后把
a2 a4 ;
字母的值代入计算即可解答.
(3)下列运算结果中正确的是( )
4 2 2 我的解答
A. a2 a4 a8 B. a ( a ) a
( a2)2 4 4 2 6C. a D. a ( a ) a
(4)有一组式子: a2 , a4 , a6 , a8 …请你根据规律,写
出第 7 个式子是 ,第 n 个式子是 (用含
n的代数式表示);
2 1 2 2 1 4a (a b ) (a2(5)计算: 2ab b
2) ;
2 2
(6)先化简,再求值 2: a 2(a2 2ab b2) (a2
2 1b ) ,其中a 2 , b .
3
中考模拟提升
3 2 2
1.计算 (a ) a 的结果是( ) 3.(2021鄂尔多斯)下列运算中正确的是( )
2 2
A. a3 B. a4 C. a7 D. a8
A. a a 2a4
6 2 3
2.(2021江西样卷八)下列计算中正确的是( ) B. a a a
A.3a 3b 5ab B. ( 2a)2 4a2 C. (a 3)(a 3) a
2 6a 9
3 2 2
3 2 6
C. a a4 a12 D. (a 1) a 2a 1 D. ( 3a ) 9a
11
4.计算 (2x 3)(3x 4) 的结果是( ) (3) a2(b2 1) 2a(b2 1) (b2 1) .
A. 7x 4 B. 7x 12
C. 6x2 x 12 D. 6x2 12
5.因式分解a2 4的结果是( )
A. (a 2)(a 2) B. (a 2)2
2
15.计算: (a 1)(a 1) (a 2) .
C. (a 2)2 D. a(a 2)
6.(2021贺州)多项式 2x3 4x2 2x 可因式分解为
( )
A. 2x(x 1)2 B. 2x(x 1)2
x(2x 1)2C. D. x(2x 1)2
7.若m2 2m 1,则4m2 8m 3的值是( )
A. 4 B.3 C. 2 D.1 16.(2021南充 )先化简 ,再求值 : (2x 1)(2x 1)
8.已知 x 20202 20212 ,则代数式 2x 1的平方 (2x 3)2 ,其中 x 1 .
根为( )
A. 4041 B. 4041 C. 4041 D. 2021
9.计算: x(x 3)(x 2) .
10.分解因式: a2b2 b2 .
11.已知a b 3 , a2 b2 5 ,则 ab的值是 .
2
12.若 x 2(m 3)x 16是关于 x 的完全平方式 ,
则m 的值是 .
2
13.用围棋棋子按如图所示的规律摆图形 ,则摆第 17.先化简 (2x 1) (3x 1)(3x 1) 5x(x 1) ,再
2022个图形需要围棋棋子 枚. 选取一个你喜欢的数代替 x 求值.
14.分解因式:
(1) 3a2 12b2 ;
(2) a3 2a2b ab2 ;
12
第5讲 分式
江西真题体验
命题点一 分式有意义、无意义、值为零的条件(10年 命题点三 分式的化简求值(10年4考)
1考) 2x 1 x
5.(2020江西)先化简,再求值: ( ) ,
1 x2 1 x 1 x 1
1.(2018江西)若分式 有意义,则 x 的取值范围
x 1 其中 x 2 .
是 .
命题点二 分式的运算(10年9考)
a 1 1
2.(2021江西)计算 的结果为( )
a a
a 2 a 2
A.1 B. 1 C. D.
a a
1 1
3.(2019江西)计算 ( )的结果为( )
a a2
1 1
A. a B. a C. D.
a2 a2
x 1 2
4.(2017江西)计算: .
x2 1 x 1
中考考点讲解
13
a b ad bc ac ad an
参考答案:①B 0 ② ③ ④ ⑤ ⑥
c bd bd bc bn
重点难点突破
1 (4)2 先将原式括号中的两项通分,并利用同分母分式
典例 (1)计算2( a) 的结果是( )
a 的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到
A. 2a B. 2a C. 2a3 D. 2a3 最简结果,再把a 的值代入计算即可.
x 2 我的解答
(2)要使分式 有意义, x 需满足的条件是 ;
x 1
x2 1
要使分式 的值为0 ,则 x .
2x 2
a2 b2
(3)计算:① a b ;
a b
2a 4 2a 2
② a 1 .
a2 4 a 2
a a2 1
(4)先化简 ,再求值 : (1 ) ,其中
a2 a a2 2a 1
a 2 1 .
【解题点拨】(1)利用除法法则变形计算,即可得到结
果.
(2)当分式的分母不为 0 时,分式有意义,即 x 1 0 ;
当分式的值为0 时,要求分子为0 ,分母不为0 .
(3)根据分式的运算法则即可得到结果.
14
中考模拟提升
1 1 x2
1.(2021贵港)若分式 在实数范围内有意义,则 10.(2021江西样卷八)化简: (1 ) .
x 5 x 1 x2 1
x的取值范围是( )
A. x 5 B. x 0
C. x 5 D. x 5
x2 1
2.若分式 的值为0 ,则 x 的值为( )
x 1
A. 1 B. 0 C. 1 D.1
a2
3.计算 ( a)2 的结果是( )
b
x2 2x 1 x 1
11.先化简,再求值: ,其中
b ( x 1)2
A.b B. b C. ab D. x 1 x 1
a
x 2 .
2a 2 a 1
4.分式 化简后的结果为( )
a2 1 1 a
a 1 a 3
A. B.
a 1 a 1
a a2 3
C. D.
a 1 a2 1
2m n 1 2
5.如果 m n 1 ,那么代数式 ( ) (m
m2 mn m
2x 5 3 2 x
12.(2021烟台)先化简 ( ) ,
n2)的值为( ) x2 1 x 1 x2 2x 1
A. 3 B. 1 C.1 D.3 然后从 2 x 2中选出合适的 x 的整数值代入求
x 1 值.
6.化简: .
x2 2x 1
1 1
7.计算 的结果是 .
x 3x
3
8.(2021资阳)若 x2 x 1 0 ,则3x .
x
9.一辆货车送货上山,并按原路下山.已知货车上山
的速度为 akm/h ,下山的速度为bkm/h ,则货车上、
下山的平均速度为 km/h .
15
第二章 方程(组)与不等式(组)
第 1 讲 一次方程(组)
中考考点讲解
知识点 1 一元一次方程及其解法 回归教材
1.(人教七上 P81 内文改编)下列运用等式性质
1.等式的性质与解方程
正确的是 .(填序号)
基本 在解方程
数学表达
性质 中的应用 ①若 ,则 ;
若 a=b,则 a+c=① ②若 ,则 ;
性质
移项
1
若 a=b,则 a -c=② ③若 ,则 ;
去分母 (方 ④若 ,则 ;
程 两 边 同
若 a=b,则 ac=③ 乘 各 分 母
性质 的 最 小 公 ⑤若 ,则 .
2 倍数)
a 2.[人教七下 P97 例 3(1)改编]方程
若 a=b,c≠0,则 ④ 系数化为 1
c
的解是 .
【知识拓展】(1)对称性:若a b ,则b a .
3.(北师大七上 P137 例 4 改编)若 是方程
(2)传递性:若a b , b c ,则a c .
的解,则 .
2.解一元一次方程的步骤
举例:解方程 知识点 2 一次方程组及其解法
步骤 注意事项 x 2 2x 1
1
2 3 1.二元一次方程组的解法
注意不要漏乘不含分 (1)解题思路
母的项 ,分子是多项
去分母 3(x-2)=6-2(2x+1)
式时 ,去分母后加括 二元一次方程组
消 元转 化 一元一次方程
加减(代入)消元
号
(2)两种消元法
若括号前是负号 ,去
方法 最佳使用情况
去括号 括号后括号内各项要 3x-6=6-4x-2
⑤
代入 方程组中一个方程的常数项为 0 或
移项 移项一定要⑥ 3x+4x=6-2+6 消元法 某一个未知数系数的绝对值为 1
合并 合并时,系数相加,字
7x=10 加减 方程组中两个方程的相同未知数系
同类项 母及其指数均不变
消元法 数的绝对值相等或成整数倍关系
系数 给方程两边都除以未 10
x
化为 1 知数的系数 7 【注意】任意一个二元一次方程组都可以用两种消
元法求解.
16
2.*三元一次方程组的解法
消元 类型 重要等量关系
基本思想:三元一次方程组 二元一次方程
转化
购买分配 总价=单价×数量;甲的数量+乙的数
组
消 元 一元一次方程. 问题 量=总数量
转化
回归教材 ①1 个 A 和 1 个 B 恰好配成 1 套:
A 的数量=B 的数量;
4.(北师大八上 P109 随堂练习改编 )方程组
配套问题 ②m 个 A 和 n 个 B 恰好配成 1 套:
A的总数量 B的总数量
的解为 . m n
工程问题 工作总量=工作时间×工作效率
知识点 3 一次方程(组)的实际应用
回归教材
1.列方程(组)解应用题的一般步骤
步骤 具体做法 5.(人教七下 P100例 1改编)某车间 名工人生
审 审清题意,分析题中已知量和未知量 产螺栓和螺母,每人每天平均生产螺栓 个或
设 设未知数(可设直接或间接未知数) 螺母 个,一个螺栓需要两个螺母与之配套，如
列 找出等量关系,列方程(组) 何安排生产才能让螺栓和螺母正好配套？设安
解 解方程(组) 排 名工人生产螺栓,其余工人生产螺母,根据
验 检验所得的解是否正确或是否符合实际 题意所列方程为 .
答 写出答语,注意单位名称 6.(北师大八上 P115 内文改编)《孙子算经》是
2.一次方程(组)常考应用类型及关系式
我国古代经典数学名著,其中有一道“鸡兔同笼”
类型 重要等量关系
问题：“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十
售价=标价×折扣,九折:90%
四足.问鸡兔各几何.”学了方程（组）后，我们可
利润=售价-进价
打折销售
利润 以快速解决这个问题.如果设鸡有 只,兔有
问题 利润率= 100%
进价
只,那么可列方程组为 .
利润=进价×利润率
江西真题体验
命题点 一次方程(组)的应用(5 年 2 考) 19 元;小艺要买 7 支笔芯,1 本笔记本需花费 26 元.
1.(2018 江西 9 题 3 分)中国的《九章算术》是世界现 (1)求笔记本的单价和单独购买 1 支笔芯的价格;
代数学的两大源泉之一,其中有一问题:“今有牛五、
羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.问牛羊各直金
几何.”译文:今有牛 5 头 ,羊 2 头,共值金 10 两;牛 2 头,
羊 5 头,共值金 8 两.问牛、羊每头各值金多少.设牛、
羊每头各值金 x 两、y 两,依题意,可列出方程组
为 .
2.(2020 江西 17 题 6 分)放学后,小贤和小艺来到学
校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔
记本,这种笔芯每盒 10 支,如果整盒买比单支买每支
可优惠 0.5 元.小贤要买 3 支笔芯,2 本笔记本需花费
17
(2)小贤和小艺都还想再买一件单价为 3 元的小工艺
品,但如果他们各自为要买的文具付款后,只有小贤
还剩 2 元.他们要怎样做才能既买到各自的文具,又
都买到小工艺品,请通过运算说明.
重点难点突破
考点 1 二元一次方程组的解法(重点) (1)请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的
例 1(一题多解)(2022 江西样卷四) 平均滞尘量;
(2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的
4x 3y 1,① 三棵银杏树,③据估计这三棵银杏树共有 50 000 片
解方程组:
2x y 7.② 树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少
千克.
解法一:加减消元法
解题通法
【自主解答】
找:关键字句:“……比……的 2 倍少……”“……
与……”“……共有约……”.
审:基本数量关系式:总量 单产量×数量.
条件①是一片银杏树叶一年的平均滞尘量 一
片国槐树叶一年的平均滞尘量 ;
条件②是一片国槐树叶一年的平均滞尘量 一
片银杏树叶一年的平均滞尘量 ;
解法二:代入消元法
【自主解答】 条件③是三棵银杏树共有的树叶总量.
(1)设:问什么，设什么:设一片银杏树叶一年的
平均滞尘量为 x mg，一片国槐树叶一年的平均
滞尘量为 y mg.
列:由题意，列方程组为 ,
解:解得 .
答: .
考点 2 一次方程(组)的实际应用(难点) (2)求:∵一片银杏树叶一年的平均滞尘量为
例 2(2022 娄底)“绿水青山就是金山银山”,科学研究
mg，
表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空
∴ 片银杏树叶一年的平均滞尘量为
气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.①已
(mg) kg.
知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶
一年的平均滞尘量的 2 倍少 4mg,②若一片国槐树叶 答: .
与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为 62mg.
18
核心素养提升
考向 1 数学文化 译文:“今有人合伙购物,每人出 8 钱,会多出 3 钱;每
人出 7 钱,又差 4 钱.问人数、物价各多少.”设人数为
文化背景
x 人 , 物 价 为 y 钱 , 根 据 题 意 , 可 列 方 程 组
《九章算术》成书于东汉时期,它总结了战国、
为 .
秦、汉时期的数学成就.书中记载了与生产实践密切
考向 2 跨学科
相关的田亩面积和谷仓容积的计算方法,还总结出
2.(跨物理)(2022滨州)在物理学中,导体中的电流 I跟
了负数运算、方程解法等当时世界上最先进的数学
导体两端的电压 U、导体的电阻 R 之间有以下关系:
运算方法.《九章算术》的出现,标志着以计算为中心
U
的中国古代数学体系的形成. I ,去分母得 IR=U,那么其变形的依据是( )
R
1.(2022 通辽改编)《九章算术》是中国传统数学重要
A.等式的性质 1
的著作,奠定了中国传统数学的基本框架,其中《盈不
B.等式的性质 2
足》卷中记载了一道有趣的数学问题:“今有共买物,
C.分式的基本性质
人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何.”
D.不等式的性质 2
19
第 2 讲 分式方程
中考考点讲解
知识点 1 分式方程及其解法 知识点 2 分式方程的实际应用
1.分式方程:分母中含有① 的方程. 1.用分式方程解实际问题的一般步骤
2.解分式方程的一般步骤
【温馨提示】双检验:(1)检验是否是分式方程的
解;(2)检验是否符合实际情况.
2.用分式方程解实际问题的一般类型
【温馨提示】(1)增根的产生:使分式方程中分母为 常考类型 数量关系
0 的根是增根.(2)增根与无解:分式方程的增根与无
解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根, 路程 时间
速度
也可能是去分母后的整式方程无解;而分式方程的 行程问题
v 顺水= v 静水+ v 水流
增根是去分母后的整式方程解得的根,但此根却是 v 逆水= v 静水- v 水流
使分式方程的分母为 0 的根.
回归教材 工作总量工程问题 工作时间
工作效率
1.[北师大 P131 第 4(1)改编]方程
购买(盈利)问 总价 ,售价
的解为 . =数量 =折扣题 单价 标价
2.(北师大八下 P168 第 15 题改编)若关于 的
分式方程 有增根 ,则 的值 回归教材
4.(人教八上 P154 练习 2 题改编)甲、乙二人做
为 .
某种机器零件，已知甲每小时比乙多做 6 个，
3.[人教八上 P154 第 1(2)题改编]若关于 的分
甲做 90 个所用的时间与乙做 60 个所用的时间
式方程 无解 ,则实数 的值
相等.设乙每小时做 个零件，根据题意可列方
为 . 程为 .
江西真题体验
命题点 分式方程及其应用(5 年 3 考) AB 速度的 1.2 倍,求小明通过 AB 时的速度.设小明
1.(2019 江西 11 题 3 分)斑马线前“车让人”,不仅体 通过 AB 时的速度是 x 米 /秒 ,根据题意列方程
现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的 得 .
文明建设.如图,某路口的斑马线路段 A—B—C 横穿
双向行驶车道,其中 AB BC 6米,在绿灯亮时,小
明共用 11 秒通过 AC ,其中通过 BC 的速度是通过
20
2.(2022 江西 10 题 3 分)甲、乙两人在社区进行核酸 (3)生活中,无论油价如何变化,有人总按相同金额加
采样,甲每小时比乙每小时多采样 10 人,甲采样 160 油,有人总按相同油量加油,结合(2)的计算结果,建议
人所用时间与乙采样 140 人所用时间相等,甲、乙两 按相同 加油更合算(填“金额”或“油量”).
人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样 x 人,则
可列分式方程为 .
3.(2021 江西 18 题 8 分)甲、乙两人去市场采购相同
价格的同一种商品,甲用 2400 元购买的商品数量比
乙用 3000 元购买的商品数量少 10 件.
(1)求这种商品的价格.
(2)甲、乙两人第二次再去采购该商品时,价格比上次
少了 20 元/件,甲购买商品的总价与上次相同,乙购买
商品的数量与上次相同,则甲两次购买这种商品的
平均价格是 元/件,乙两次购买这种商品的平
均价格是 元/件.
重点难点突破
考点 1 解分式方程(规范答题)
x 8
例 1(6 分)(2022 新余一模)解方程: 1 .
x 2 x2 4
考点 2 解分式方程常见错误(易错点) 错误.
1 2x 【错误类型】运算错误.
例 2(2022 毕节改编)解分式方程: 1 .
x 1 3x 3 【分析错误原因】(1)去分母时漏乘常数项;(2)移项时
错解过程 忽略符号的变化;(3)忘记验根.
去分母，得 ，………………① 【正解】
移项、合并同类项，得 ，……②
系数化为 ，得 .…………………③
【查找错误】上面的运算过程中第 步出现了
21
【名师点评】(1)去分母时,容易忘记给整式部分漏 解题通法
乘公分母,分子是多项式不加括号,可以在计算时先 找 : 关键字句： “……比……多……”“……
给每一项乘公分母,再进行约分,约分时给分子为多 与……相等”“……给以每套九折优惠”.
项式的加上括号.(2)移项时常常会忽略变号,要将变 审:基本数量关系式:数量 .
量或数字前的符号看成整体,不能将其看作运算符
条件①是甲商店租用服装的单价 乙商店租用
代入运算.(3)在把分式方程化为整式方程的过程中,
服装的单价 ；
扩大了未知数的取值范围,所以可能产生增根,因此
条件②是 ；
必须要验根,可在解题初在答题空末尾做标记,避免
忘记验根.
条件③是租用服装的数量及甲商店的优惠额
考点 3 分式方程的实际应用(难点)
度.
例 3(2022 桂林)今年,某市举办了一届主题为“强国 (1)设:问什么,设什么:设乙商店租用的服装每套
复兴有我”的中小学课本剧比赛.某队伍为参赛需租 元，则甲商店租用的服装每套 元.
用一批服装,经了解,①在甲商店租用服装比在乙商 列:由题意可列方程为 ，
店租用服装每套多 10 元,②用 500 元在甲商店租用 解:解得 ，
检验:经检验， 是该分式方程的解，且
服装的数量与用 400 元在乙商店租用服装的数量相
符合题意，则 .
等.
答: .
(1)求在甲、乙两个商店租用的服装每套各多少元. (2)求:当该参赛队伍准备租用 20 套服装时，甲
(2)③若租用 10 套以上服装,甲商店给以每套九折优 商店的费用为 (元)，乙商店的费
惠.该参赛队伍准备租用 20 套服装,请问在哪家商店 用为 (元).
答： .
租用服装的费用较少？并说明理由.
22
第 3 讲 一元二次方程
【2022 版课程标准新增内容】
了解一元二次方程的根与系数的关系(选学内容前的*已删除)
中考考点讲解
知识点 1 一元二次方程及其解法 知识点 2 一元二次方程根的判别式及根与系数的
1.一般形式:① (其中a , b , c 为常数, a 0 ). 关系
2.一元二次方程的解法 Δ④ 0 方程有两个不相等
适用方程
解法 步骤 的实数根
类型 一元二次方程
对于形如 (1)方程两边同时开平方,得 根 的 判 别 式 Δ⑤ 0 方程有两个相等的
直接开 (x m)2 x m n ; ( 2= b - 4ac ) 实数根
平方法 n(n 0) (2) 将 方 程 的 解 写 成
的方程 x n m的形式 Δ⑥ 0 方程没有实数根
(1)变形 :将二次项系数化
二次项系 为② ;
数化为 1 (2)移项 :将常数项移到方 若 x , x 是 一 元 二 次 方 程根与系数 1 2
后 , 一 次 程的右边; ax2 bx c 0 (a 0) 的两个根,则
配方法 的关系
项系数为 (3)配方 :方程两边同时加 x x ⑦ , x x ⑧ 1 2 1 2
2 的倍数 上一次项系数一半的平方;
的方程 (4)求解 :利用直接开平方
法求解 【易错警示】(1)在使用根的判别式解决问题时,如果
(1)将方程化成ax2 bx c 0
二次项系数中含有字母,那么要加上二次项系数不
(a 0)的形式;
(2)确定 a,b,c 的值; 为 0 的这个限制条件.(2)利用根与系数的关系解题
所有一元
公式法 (3)若 b2 4ac 0 , 则代入
二次方程 的 前 提 是 方 程 的 两 根 存 在 , 即 根 的 判 别 式
求根公式 x=③ ;
若 2 , 则方程没 b2b 4ac 0 4ac 0 .
有实数根
(1)将方程一边化为 0; 回归教材
方程一边
(2)把方程的另一边分解为
为 0,另一 3.[北师大九上 P30 随堂练习(3)题改编]一元二
两个一次因式的积;
因式 边能分解
(3)令每个因式分别为 0,转 次方程 的根的情况是（ ）
分解法 成两个一
化为两个一元一次方程;
次因式的 A.无法确定
(4)解这两个一元一次方程,
积
它们的解就是原方程的根 B.无实数根
回归教材 C.有两个相等的实数根
1.[ 人教九上 P4 第 1(3) 题 改 编 ] 将方程
D.有两个不相等的实数根
化成一元二次方程的一般形式
4.[人教九上 P17 第 7(1)题改编]若 , 是一元
为 ，其中一次项系数为 ，二次项
系数为 ，常数项为 . 二 次 方 程 的 两 个 根 , 则
2.[人教九上 P7 例 1(3)题改编]一元二次方程 .
配方后可化为 ，它
的解为 .
23
知识点 3 一元二次方程的实际应用 n(n 1)
握手、单循环赛总次数为 ( n 2 且 n 为整
1.一般步骤:审、设、列、解、验、答. 2
2.列一元二次方程解应用题的常见关系 数);
(1)增长(下降)率问题 送礼物总次数为n(n 1) ( n 2且n 为整数).
设 a 为原来的量, m 为平均增长率, n 为增长次数, b
n 回归教材
为变化后的量,则a(1 m) b .当m 为平均下降率,
5.(北师大 P55 习题 2.10 第 1 题改编)某超市销
n 为下降次数时,则⑨ .
售一种饮料，平均每天可售出 100 箱，每箱利
(2)利润问题(每每模型)
总利润 总售价 总成本 单件利润 总销量 润 12 元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适 .
(3)面积问题 当降价.据测算，若每箱每降价 1 元，平均每天
面积问题常见图形归纳如下: 可多售出 20 箱.如果要使每天销售饮料获利
如图 ,设空白部分的宽为 x ,则 S (a 2x)(b 1400 元，设每箱应降价 x 元，那么可列方程阴影
2x) . 为 .
6.(人教九上 P22 第 9 题改编)如图，要设计一幅
宽 20cm，长 35cm 的图案，其中有两横两竖的
彩条，横、竖彩条的宽度比为 3:2.如果要使彩条
所占面积是图案面积的四分之一，设横彩条的
如图 2 和图 3 ,设阴影道路的宽为 x ,则 S 宽度是 3xcm，那么可列方程为 . 空白
⑩ .
(4)握手、单循环赛及送礼物问题
江西真题体验
命题点 1 一元二次方程根的判别式(5 年 1 考) x2 kx 2 0 的一个根为1 ,则这个一元二次方程
2
1.(2022 江西 9 题 3 分)若关于 x 的方程 x 2x 的另一个根为 .
k 0有两个相等的实数根,则 k 的值是 . 4.(2019 江西 9 题 3 分)设 x1 , x2 是一元二次方程
命题点 2 一元二次方程根与系数的关系(5 年 4 考)
x2 x 1 0的两根,则 x1 x2 x1x2 .
2.(2021 江西 9 题 3 分)已知 x1 , x2 是一元二次方程
5.(2018 江西 211 题 3 分)若一元二次方程 x 4x
x2 4x 3 0的两根,则 x1 x2 x1x2 . 2 0的两根分别为 x1 , x
2
2 ,则 x1 4x1 2x1x 的值2
3.(2020 江西 8 题 3 分)若关于 x 的一元二次方程
为 .
重点难点突破
考点 1 忽略一元二次方程中二次项系数不为 0 (易 错解过程
错点) 把 代入方程 ，
例 1(2022 九校协作体创新能力测试卷)若一元二次 得 ，
2 2
方程 (k 1)x 3x k 1 0 有一个解为 x 0 , 解得 ， .故选 A.
k 【错误类型】概念不清. 则 的值为( )
【分析错误原因】未考虑到关于 x 的一元二次方程
A. 1 B. 1 C. 1 D. 0
的二次项系数不能为0 .
24
【正解】 ① x1 x2 ;
② x1x2 ;
③ x1 x2 x x 1 2 ;
2
④ x 4x x x2 ; 1 1 2 2
【名师点评】在解决一元二次方程有关的问题时,若 ⑤ x21 x
2
;
2
二次项系数中含有字母,需注意二次项系数不为 0
⑥ x2x 21 2 x2 x ; 1
这个限制条件.
⑦ (x x )2 ;
考点 2 解一元二次方程的“丟根”现象(易错点) 1 2
2 ⑧ (x1 1)(x2 1) ; 例 2(2022 名校联盟测试卷)解方程: 2x 8 (x 4) .
1 1
错解过程 ⑨ .
x1 x2
原方程可化为 ,……① (2)(一题多解)按以下方法解该方程.
即 ,……………………………② 解法一:配方法
解得 .……………………………③ 【自主解答】
【查找错误】上面的运算过程中第 步出现了
错误 .
【错误类型】概念不清.
【分析错误原因】直接约去了含有未知数的公因式,
解法二:因式分解法
导致丢根.
【自主解答】
【正解】
解法三:公式法
【名师点评】因式分解法解一元二次方程的口诀:一
【自主解答】
移,二分,三转化,四求根.具体就是将方程所有的项
都移到左边,使方程右边化为 0 ,再对方程左边进行
分解,将一元二次方程分解降次为一元一次方程从
而求解,这就避免了方程两边同时含有公因式,直接
约分导致的漏解.
考点 3 一元二次方程根的判别式(重点) 方法指导
例 3(2022 名校联盟测试卷改编)已知关于 x 的一元 根与系数关系的几种常见变形：
二次方程 kx2 3x 1 0 . ① ;
(1) 若此方程有两个相等的实数根 , 则 k 的值 ② ;
是 ; ③ ;
(2)若此方程有两个不相等的实数根,则 k 的取值范
④ ;
围是 ;
⑤ ;
(3) 若 此 方 程 没 有 实 数 根 , 则 k 的 取 值 范 围
是 ⑥ ; .
考点 4 一元二次方程根与系数的关系及解方程(难 ⑦ ;
点)
例 4(2022·凉山改编)已知方程 x2 2x 3 0 .
⑧ .
(1)若 x1 , x2 是该一元二次方程的两个实数根,则:
25
第 4 讲 一元一次不等式(组)
中考考点讲解
知识点 1 不等式的基本性质 回归教材
基本 在解不等式中 2.[北师大八下 P48 习题 2.4 第 1(6)题改编]下列
数学表达
性质 的应用 各数中是不等式 的解的是（ ）
如果a b ,那么a c A. B. C. D.
性质 1 移项
① b c 3.[人教七下 P126 习题 9.2 第 1(4)改编]
解不等式 ，并把该不等式的
如果 a b , c 0 ,那么 ac 去分母 ,系数
性质 2 a b 化为 1
② bc (或 ) 解集在数轴上表示正确的是（ ）
c c 注意 :若系数
为负数时 ,记
如果 a b , c 0 ,那么 ac 得不等号要变 A.
性质 3 a b 号
③ bc (或 )
c c B.
回归教材
C.
1.(人教七下 P117 练习改编)已知实数 ，则
下列不等式中成立的是（ ） D.
A. B.
知识点 3 一元一次不等式组及其解法
C. D. 1.解法步骤
解每个一 在数轴上表 确定各不等 一元一次
知识点 2 一元一次不等式及其解法 元一次不 示各不等式 式解集的公 不等式组
1.解法步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、 等式 的解集 共部分 的解集
系数化为 1. 2.解集的确定及在数轴上的表示
2.解集在数轴上的表示
解集 在数轴上的表示 总结
x a
在数轴上表示解
集时,要注意“两
定”:一定边界点,
④ 二定方向. 定边
界点时 ,“ ”或
“ ” 是实心圆
x a 点,“>”或“<”是空
心圆圈 ;定方向
的原则为小于向
左,大于向右
⑤ 【温馨提示】借助数轴,利用数形结合是解决含参
不等式(组)解集问题的重要方法.
26
回归教材 知识点 4 一元一次不等式(组)的应用
4.[北师大八下 P56 习题 2.8 第 1(4)改编]不等 1.列不等式解应用题的关键词
式组 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
2.列不等式解应用题的步骤
5.[人教七下 P133 习题 9 第 3(1)改编]不等式组
(1)审清题意;(2)设未知数;(3)列不等式;(4)解不等
式;(5)写出答案,并检验是否符合题意.
的解集在数轴上表示正确的是
回归教材
（ ） 6.(人教七下 P130 习题 9.3 第 6 题改编)把一些
图书分给几名同学，如果每人分 3 本，那么余
8 本；如果前面的每名同学分 5 本，那么最后
A B 一人至少有 1 本，但不到 3 本.则这些图书有
（ ）
C D A. 26 本 B. 25 本 C. 24 本 D. 23 本
江西真题体验
命题点 一元一次不等式(组)的解集及其在数轴上 2x 6,
的表示 3.[2022 江西 13(2)题]解不等式组: (5 年 5 考,2019 江西 14 题 6 分)
3x 2x 5.
x 2
1.[2018 江西 13(2)题]解不等式: x 1 3 .
2
2x 3 1,

4.(2021 江西 14 题)解不等式组: x 1 并将解
3x 2 1, 1,
2.[2020 江西 13(2)题]解不等式组: 3
5 x 2. 集在数轴上表示出来.
27
重点难点突破
考点 1 一元一次不等式组的解法及其解集的表示(规范答题)
2(x 1) x,

例 1(6 分)(2019 江西)解不等式组: x 7 并在数轴上表示它的解集.
1 2x ,
2
答题模板 评分标准
2(x 1) x ①，

解: x 7
1 2x ②，
2
解不等式①,得① ,……………………..(1 分) 正确解出不等式①,得 1 分
解不等式②,得② ,……………………..(2 分) 正确解出不等式②,得 1 分
故不等式组的解集为③ ．……………(4 分) 正确写出不等式组的解集,得 2 分
在数轴上表示不等式组的解集如答图．………(6 分) 在数轴上正确表示出不等式组的解集,得
2 分
【名师点评】(1)在解各不等式时,①若不等式中未知数的系数为分数,则需去分母,且注意不要漏乘不含分母
的项;当分子是一个代数式时,分数线有括号的作用;当不等式的两边都乘同一个负数时,不等号的方向要改变.
②若不等式中含有括号,需注意括号的级别,一个数乘多项式时,不要漏乘括号里的项,不要忽略运算符号.(2)
通过口诀或者借助数轴确定不等式组的解集时,需注意不等号的方向,以及是否包含端点,不要写错或画错.
等式性质运用错误.
考点 2 解一元一次不等式常见的错误(易错点)
【正解】
x x 3
例 2(2022 江西样卷七)解不等式: 1 .
4 6
错解过程
去分母 ,得 ,……………①
去括号 , 得 , ……………②
移项 ,得 ,…………………③
合并同类项,得 ,……………………④
系数化为 1,得 .………………………⑤
【查找错误】上面的运算过程中第 步出现了 【名师点评】(1)去分母时,不要忘记给常数项乘最小
错误. 公倍数;(2)系数化为1时,不等式两边同时乘或除以
【错误类型】概念不清. 同一个负数,一定要改变不等号的方向(不等式的基
【分析错误原因】(1)未给常数项乘最小公倍数;(2)不 本性质3 ).
28
考点 3 含参一元一次不等式(组)(难点)
例 3(1)若关于 x 的不等式 (a 1)x 1 的解集是
方法指导
1
x ,则a的取值范围是 . 含参不等式（组）“ 道母题”
a 1
(2)(2022 江西适应性试卷二改编 )若不等式组 1.若不等式组 的解集是 ，则
x 2,
有解,则 m 的取值范围是 .
x m
.
x a 2, 2.若不等式组 的解集是 ，如图

(3)(2022 达州)若关于 x 的不等式组 3x 1
x 1
2 ，则 .
恰有3个整数解,则a的取值范围是 .
(4)(2022 九校协作体创新能力测试卷)若关于 x 的一
3x 2 2(x 2),
元一次不等式组 的解集为
a 2x 5
3.若不等式组 无解，如图 ，则 .
y 2a 3y 8
x 6 ,且关于 y 的分式方程 2的
y 1 1 y 4.若不等式组 有两个整数解，如图 ，
解是正整数 ,则所有满足条件的整数 a 的值之和
是 .
29
第三章 函数
第 1 讲 平面直角坐标系(近 10 年未单独考查)
1.已知下列各点均在平面直角坐标系中,回答问题: 4.(2022 金华改编)如图是城市某区域的示意图,建立
(1)点 P( 3,a2 1) 在第 象限; 平面直角坐标系后 ,学校和体育场的坐标分别是
(2)若点 P(m 1,m) 在第四象限,则点Q( 3,m 2) (3,1) , (4, 2) , 下列各地点中 , 离原点最近的
在第 象限; 是 ,离原点最远的是 .
P(x, y) x 5.(2022 丽水)三个能够重合的正六边形的位置如图.(3)坐标平面内有一点 ,且点 P 到 轴的距离
为 3 ,到 y 轴的距离恰为到 x 轴距离的 倍 .若 已知 B 点的坐标是 ( 3,3) ,2 则 A 点的坐标
xy 0 ,则点 P 的坐标为 ; 是 .
(4) 已 知 M ( 3,a 2) , N(a 1,6 a) 两 点 , 若
MN / /x 轴,则M , N 两点间的距离为 ;
(5)点 P(m,n) 在平面直角坐标系中的位置如图所示,
则坐标 (m 1,n 1)对应的点可能是 . 第 5 题图 第 6 题图
6.(2022 铜仁 )如图 ,在矩形 ABCD 中 , A( 3,2) ,
B(3,2) ,C(3, 1) ,则 D 的坐标为 .
7.(2022 天津)如图, OAB 的顶点O(0,0) ,顶点 A ,
B 分别在第一、四象限,且 AB x 轴,若 AB 6 ,
第 1(5)题图 第 2 题图
OA OB 5 ,则点 A的坐标是 .
2.(2022 赤峰改编)如图,点 A(2,1) ,将线段OA先向上
平移 2 个单位长度,再向左平移 3 个单位长度,得到
线段O A ,则点 A 的对应点 A 的坐标是 .连
接OA ,将线段OA 绕点O 顺时针旋转90 ,得到线
段OA ,则点 A 的坐标是 . 第 7 题图 第 8 题图
3.(2022 威海)如图,在方格纸中,点 P , Q , M 的坐标 8.(2022 苏州改编)如图,点 A的坐标为 (0,2) ,点B 是
分别记为 (0,2) , (3,0) , (1,4) .若MN / /PQ ,则点 N 轴 x 正半轴上的一点,将线段 AB 绕点 A 按逆时针
的坐标可能是( ) 方向旋转60 得到线段 AC .若点C 的坐标为 (m,3) ,
A. (2,3) B. (3,3) C. (4,2) D. (5,1) 则m 的值为 .
第 3 题图 第 4 题图
30
第 2 讲 函数及函数图象的分析与判断(10 年 2 考)
考向 1 函数自变量的取值范围 可能是( )
1.(2017 江西 7 题 3 分)函数 y x 2 中,自变量 x
的取值范围是 .
x 1
2.(2022 恩施州)函数 y 的自变量 x 的取值
x 3 6.(2022 温州)小聪某次从家出发去公园游玩的行程
范围是( ) 如图所示,他离家的路程为 s 米,所经过的时间为 t 分
A. x 3 B. x 3 钟.下列选项中的图象,能近似刻画 s 与 t 之间关系的
C. x 1且 x 3 D. x 1 是( )
1 0
3.(2021 黄石)函数 y (x 2) 的自变量 x
x 1
的取值范围是( )
A. x 1 B. x 2
C. x 1且 x 2 D. x 1且 x 2
考向 2 分析判断函数图象
4. (2022 北京)下面的三个问题中都有两个变量:
①汽车从 A 地匀速行驶到 B 地,汽车的剩余路程 y
与行驶时间 x ;
②将水箱中的水匀速放出,直至放完,水箱中的剩余
水量 y 与放水时间 x ;
③用长度一定的绳子围成一个矩形,矩形的面积 y
7.(2022 乐山)甲、乙两位同学放学后走路回家,他们
与一边长 x .
走过的路程 s (千米)与所用的时间 t (分钟)之间的函
其中,变量 y 与变量 x 之间的函数关系可以用如图
数关系如图所示.根据图中信息,下列说法错误的是
所示的图象表示的是( )
( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
A.前10分钟,甲比乙的速度慢
5.(2022 武汉)匀速地向一个容器内注水,最后把容器
B.经过20 分钟,甲、乙都走了1.6千米
注满.在注水过程中,水面高度 h 随时间 t 的变化规律
C.甲的平均速度为0.08千米/分钟
如图所示(图中OABC 为一折线).这个容器的形状
D.经过30分钟,甲比乙走过的路程少
31
8.(2022江西 6题 3分)甲、乙两种物质的溶解度 y(g) A.呼气酒精浓度K 越大, R1的阻值越小
与温度 t (℃)之间的对应关系如图所示,则下列说法 B.当 K 0时, R1的阻值为100
中,错误的是( )
C.当 K 10时,该驾驶员为非酒驾状态
D.当 R1 20 时,该驾驶员为醉驾状态
10.(2022 烟台)周末,父子二人在一段笔直的跑道上
练习竞走,两人分别从跑道两端开始往返练习.在同
一直角坐标系中,父子二人离同一端的距离 s (米)与
时间 t (秒)的关系图象如图所示.若不计转向时间,按
A.甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增 照这一速度练习20 分钟,迎面相遇的次数为( )
大
B.当温度升高至 t2 ℃时,甲的溶解度比乙的溶解度
大
C.当温度为0 ℃时,甲、乙的溶解度都小于20g
D.当温度为30℃时,甲、乙的溶解度相等
A.
9. 河南 呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传 12
B.16 C. 20 D. 24
(2022 )
11.(2022 仙桃)如图,边长分别为1和2 的两个正方形,
感器,可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传
其中有一条边在同一水平线上,小正方形沿该水平
感器是一种气敏电阻(图①中的 R1 ), R1的阻值随呼
线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为 t ,大
气酒精浓度 K 的变化而变化(如图②),血液酒精浓度
正方形的面积为 S1 ,小正方形与大正方形重叠部分
M 与呼气酒精浓度 K 的关系见图③.下列说法不．正．
的面积为 S2 ,若 S S1 S2 ,则 S 随 t 变化的函数图确．的是( )
象大致为( )
A B
信息窗
M=2200×K×10-3mg/100mL
(M 为血液酒精浓度,K为呼气酒精浓度)
C D
非酒驾(M<20mg/100mL)
酒驾(20mg/100mL≤M≤80mg/100mL)
醉驾(M>80mg/100mL)
图③
32
第 3 讲 一次函数的图象与性质(必考)
1.一次函数 y ax b ( a , b 是常数 ,且 a 0 ),若 7.(2021 营口)已知一次函数 y kx k 过点 ( 1,4) ,
2a b 3 0 ,则这个一次函数的图象必经过的点 则下列结论正确的是( )
是( ) A. y 随 x 增大而增大
3 B. k 2
A. ( 1, 5) B. (2, 3) C. ( ,0) D. (1,2)
2 C.直线过点 (1,0)
2.(2022 凉山州)一次函数 y 3x b ( b 0 )的图象 D.与坐标轴围成的三角形面积为2
一定不经过( ) 3
8.(2022 邵阳)在直角坐标系中,已知点 A( ,m) ,点
A.第一象限 B.第二象限 2
C.第三象限 D.第四象限 7
B( , n) 是直线 y kx b (k 0) 上的两点 ,则
3.(2022 天津改编)若一次函数 y x b ( b 是常数) 2
的图象经过第一、二、象限,则与 y 轴的交点坐标可 m , n 的大小关系是( )
以是 .(写出一个即可) A. m n B. m n
C. m n D. m n
4.(2022 包头)在一次函数 y 5ax b ( a 0 )中, y
9.(2022 绍兴)已知 (x , y ) , (x , y ) , (x , y ) 为直线
的值随 x 值的增大而增大,且 ab 0 ,则点 A(a,b) 1 1 2 2 3 3
在( ) y 2x 3 上的三个点,且 x1 x2 x3 ,则以下判断正
A.第四象限 B.第三象限 确的是( )
C.第二象限 D.第一象限 A.若 x1x2 0 ,则 y1y3 0
5.(2022 抚顺)如图,在同一平面直 B.若 x1x3 0 ,则 y1y2 0
角坐标系中,一次函数 y k1x b1 C.若 x2x3 0 ,则 y1y3 0
与 y k2x b2 的图象分别为直线 D.若 x2x3 0 ,则 y1y2 0
l1 和直线 l2 ,下列结论正确的是 10.已知点 P 在直线 y 3x 上,且到原点的距离
( )
为 4 ,则点P 的坐标是 .
A. k1 k2 0 B. k1 k2 0
11.已知一次函数 y 2x b的图象与两坐标轴围成
C.b1 b2 0 D.b1 b2 0 的三角形的面积是4 ,则b .
6.(2022 安徽)在同一平面直角坐标系中,一次函数
12.(2021 黔东南州)已知直线 y x 1与 x 轴、 y
y ax a2与 y a2x a 的图象可能是( )
轴分别交于 A , B 两点,点 P 是第一象限内的点,若
PAB为等腰直角三角形,则点P 的坐标为 .
33
第 4 讲 一次函数图象与性质的应用(10 年 2 考)
考向 1 一次函数与方程、不等式的关系 ④当 x 0 时, ax b 1.
1.(2022 泰州 )一次函数 y ax 2 的图象经过点 其中结论正确的是( )
(1,0) ,当 y 0时, x 的取值范围是 . A.①② B.①④ C.②③ D.③④
2.(2022 鄂州)数形结合是解决数学问题常用的思想 考向 2 与两条直线的交点相关的问题
方法 .如图 ,一次函数 y kx b ( k , b 为常数 ,且 5. 在平面直角坐标系中 , O 为坐标原点 , 直线
1
k 0 )的图象与直线 y x 都经过点 A(3,1) ,当 l A(1,2)1 : y k1x 与直线 l2 : y k2x b都经过 ,且
3
l1 l y2 ,设 l2 与 轴交于点 B ,则 AOB 的面积
1
kx b x 时,根据图象可知, x 的取值范围是( )
3 为 .
A. x 3 B. x 3 C. x 1 D. x 1 6.(2022 北京改编)在平面直角坐标系 xOy 中,已知一
1
次函数 y x 1与 y 轴交于点 A ,当 x 0 时,对
2
于 x 的每一个值 ,函数 y x n 的值大于函数
1
y x 1的值,则n 的取值范围为 .
2
7. 如图 , 在平面直角坐标系 xOy 中 , 一次函数
3.(2022 陕西)在同一平面直角坐标系中,直线 y x
1
4与 y 2x m 相交于点 P(3,n) ,则关于 x , y 的 y x 5的图象 l 分别与 x 轴, y1 轴交于 A , B
2
x y 4 0
方程组 的解为( ) 两点,若正比例函数的图象 l 与 l 交于点C(m, 4)2 1 .
2x y m 0
(1)求m 的值和 AOC 的面积;
x 1 x 1
A. B. (2)一次函数 y kx 1的图象为 l3 ,且 l1 , l2 , l3 不能
y 5 y 3
围成三角形,请写出 k 的值.
x 3 x 9
C. D.
y 1 y 5
4.(2022 贵阳改编)在同一平面直角坐标系中,一次函
数 y ax b 与 y mx n ( a m 0 )的图象如
图所示.小星根据图象得到如下结论:
①在一次函数 y mx n 的图象中, y 的值随着 x
值的增大而增大;
y ax b x 3
②方程组 的解为 ;
y mx n y 2
③方程mx n 0 的解为 x 2 ;
34
第 5 讲 一次函数解析式的确定(含图象的变换) (10 年 8 考)
考向 1 求解析式 6.(2022 陕西)如图,是一个“函数求值机”的示意图,其
1.(2022 广州)点 (3, 5)在正比例函数 y kx ( k 0 ) 中 y 是 x 的函数.下面表格中,是通过该“函数求值机”
的图象上,则 k 的值为( ) 得到的几组 x 与 y 的对应值.
3 5 输入 x … -6 -4 -2 0 2 …
A. 15 B.15 C. D.
5 3
输出 y … -6 -2 2 6 16 …
2.(2022 宿迁)甲、乙两位同学各给出某函数的一个特 根据以上信息,解答下列问题:
征,甲:“函数值 y 随自变量 x 增大而减小”;乙:“函数 (1)当输入的 x 值为1时,输出的 y 值为 ;
图象经过点 (0,2) ”,请你写出一个同时满足这两个 (2)求 k ,b 的值;
特征的函数,其表达式是 . (3)当输出的 y 值为0 时,求输入的 x 值.
3.直线 y kx 1上有一点 P , P 关于 y 轴的对称点
坐标为 ( 2,1) ,则 k 的值是( )
A. 1 B. 3 C.3 D.1
4.已知点 A的坐标为 (4,2) ,将点 A绕坐标原点O旋
转 90 后,再向左平移1个单位长度得到点 A ,则过
点 A 的正比例函数的解析式为 .
5.(2022 铜仁)在平面直角坐标系内有三点 A( 1,4) , 7.(2016 江西 15 题 6 分)如图,过点 A(2,0)的两条直
B( 3,2) , C(0,6) . 线 l , l 分别交 y1 2 轴于点 B ,C ,其中点 B 在原点上方,
(1)求过其中两点的直线的函数表达式(选一种情形
点C 在原点下方,已知 AB 13 .
作答);
(1)求点B 的坐标;
(2)判断 A , B , C 三点是否在同一直线上,并说明理
(2)若 ABC 的面积为4 ,求直线 l2 的解析式.
由.
35
8.如图,平面直角坐标系中, O是坐标原点,点 A(2,3) , 考向 2 图象的变换
点 B 在第四象限,在 ABO 中, OA OB , AOB
9.将直线 y 2x 3 向下平移1个单位长度后与 x
90 .
轴交于点 P ,则点P 的坐标为 .
(1)求点 B 的坐标;
10.将正比例函数 y kx 向右平移 2 个单位,再向下
(2)求直线 AB 的解析式.
平移 4 个单位,平移后依然是正比例函数,则 k 的值
为 .
11.(2022 娄底)将直线 y 2x 1向上平移2 个单位,
相当于( )
A.向左平移2 个单位 B.向左平移1个单位
C.向右平移2 个单位 D.向右平移1个单位
12.已知一次函数 y x b 的图象沿 x 轴翻折后经
过点 (4,1) ,则b 的值为( )
A. 5 B.5 C. 3 D.3
13.若直线 l y x 41 : 与直线 l2 : y x b关于 y
轴对称,且 l x1 , l2 分别交 轴于 A , B 两点,则 AB 的长
为( )
A. 4 B.8 C. 6 D.16
14.当光线射到 x 轴进行反射,如果反射的路径经过
点 A(0,1) 和点 B(3,4) ,则入射光线所在直线的解析
式为 .
36
微专题 一次函数综合题
1.直线 y kx b 经过 A( 2,0) , B(0,4)两点, C 点 2.如图,直线 y 2x 4与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交
的坐标为 (0, 1) . 于点 B ,点 P 为射线 AO 上的一点(点P 不与点 A重
(1)求 k 和b 的值; 合), BC 是 ABP的中线,设点P 的横坐标为m .
(2)点 E 为线段 AB 上一点,点 F 为直线 AC 上一点, (1)若 APB 45 ,求PB 所在直线的解析式;
EF 3 . (2)若 BC BA ,求m 的值.
①如图①,若 EF / /BC ,求 E 点坐标;
②如图②,若 EF / / AO ,求 E 点坐标.
【点拨】 EF / /BC ,即点 E , F 的横坐标相同,
EF / / AO ,即点 E , F 的纵坐标相同.根据两点的
距离公式与点坐标的转化,可求出点 E 坐标.
37
3.(2019 江西 17 题 6 分)如图,在平面直角坐标系中, 4.如图,四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系
3 3 中的矩形纸片, O为原点,点 A在 x 轴的正半轴上,点
点 A , B 的坐标分别为 ( ,0) , ( ,1) ,连接 AB ,
2 2 C 在 y 轴的正半轴上,OA 15 , OC 12 ,在OC 边
以 AB 为边向上作等边三角形 ABC . 上取一点 D ,将纸片沿 AD 翻折,使点O 落在 BC 边
(1)求点C 的坐标; 上的点 E 处.
(2)求线段 BC 所在直线的解析式. (1)求CE 和OD 的长;
(2)求直线 DE 的解析式.
38
第 6 讲 一次函数的实际应用(10 年 3 考)
考向 1 行程问题 2.(2022 齐齐哈尔
1.(2022 龙东改编)为 改编)在一条笔直
抗击疫情,支援 B 市, 的公路上有 A , B
A 市某蔬菜公司紧
两地,甲、乙二人同
急调运两车蔬菜运
时出发,甲从 A 地
往 B 市.甲、乙两辆
货车从 A 市出发前 步行匀速前往 B
往 B 市,乙车行驶途 地,到达 B 地后,立刻以原速度沿原路返回 A地.乙从
中发生故障原地维修,此时甲车刚好到达 B 市.甲车 B 地步行匀速前往 A 地(甲、乙二人到达 A 地后均
卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车,把乙车的
停止运动),甲、乙二人之间的距离 y (米)与出发时间
蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往 B 市.乙车维
x
修完毕后立即返回 (分钟)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答A市.两车离 A市的距离 y(km)
与乙车所用时间 x(h)之间的函数图象如图所示. 下列问题:
(1)甲车速度是 km / h ,乙车出发时速度是 (1)图中a ,b , c ;
km / h ; (2)求线段MN 的函数解析式;
(2)求乙车返回过程中,乙车离 A市的距离 y(km) 与
(3)在乙运动的过程中,何时两人相距80米？
乙车所用时间 x(h) 的函数解析式 (不要求写出自变
【点拨】第一段表示的意义是甲从 A地往B 地行驶,
量的取值范围);
乙从 B 地往 A 地行驶,距离不断减小,直到相遇;第
(3)乙车出发多少小时,两车之间的距离是120km？
二段表示,甲、乙相遇后,甲继续往B 地行驶,乙继续
【点拨】根据题意,先弄清甲、乙两车对应的函数图
象.第(3)问要注意分3个阶段;①乙车发生故障前; 往 A地行驶,甲、乙距离不断变大;第三段MN 表示,
②乙车维修过程中,甲车往 A市返回的过程中;③乙 甲到达 B 地后从 B 地往 A地返回,两者的距离不断
车返回 A市,甲车运往 B 市的过程. 减小;第四段 NP 表示,乙已经到达了 A 地,甲继续
往 A地行驶,距离急剧减小.
39
3.(2015 江西 22 题 8 分)甲、乙两人在100米直道 考向 2 费用最值、方案比较问题
AB 上练习匀速往返跑,若甲、乙分别在 A , B 两端 4.(2022 衡阳 )冰墩墩 (BingDwenDwen)、雪容融
同时出发,分别到另一端点处掉头,掉头时间不计,速
(ShueyRhonRhon)分别是 2022 年北京冬奥会、冬残
度分别为5m / s和 4m / s .
(1)在坐标系中,虚线表示乙．离．A．端．的距离 s (单位: m )
奥会的吉祥物.冬奥会来临之际,冰墩墩、雪容融玩偶
与运动时间 t (单位: s )之间的函数图象 (0 t 200) , 畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶.决定从该网
请在同一坐标系中用实线画出甲离 A端的距离 s 与 店进货并销售.第一次小雅用1400元购进了冰墩墩
运动时间 t 之间的函数图象 (0 t 200) ;
玩偶15个和雪容融玩偶5个,已知购进1个冰墩墩玩
偶和1个雪容融玩偶共需136元,销售时每个冰墩墩
玩偶可获利28 元,每个雪容融玩偶可获利20 元.
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
(2)第二次小雅进货时,网店规定冰墩墩玩偶进货数
量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小雅计划
(2)根据(1)中所画图象,完成下列表格:
购进两种玩偶共 40 个,应如何设计进货方案才能获
两人相遇次 得最大利润,最大利润是多少元？
1 2 3 4 n
数(单位:次)
两人所跑路
程之和 100 300 ___ ___ ___
(单位:m)
(3)①直接写出甲、乙两人分别在第一个100m内, s
与 t 的函数解析式,并指出自变量 t 的取值范围;
②求甲、乙第6 次相遇时 t 的值.
40
5.(2022 遵义)遵义市开展信息技术与教学深度融合 6.(2022 通辽)为落实“双减”政策,丰富课后服务的内
的“精准化教学”,某实验学校计划购买A , B 两种型 容,某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新
号教学设备,已知 A 型设备价格比 B 型设备价格每 的体育用品,两个商店的优惠活动如下:
台高 20% ,用 30000 元购买 A 型设备的数量比用 甲:所有商品按原价8.5折出售;
15000元购买B 型设备的数量多4 台. 乙:一次购买商品总额不超过300元的按原价付费,
(1)求A , B 型设备单价分别是多少元; 超过300元的部分打7 折.
(2)该校计划购买两种设备共50台,要求A 型设备数 设需要购买体育用品的原价总额为 x 元,去甲商店购
1 买实付 y甲元,去乙商店购买实付 y乙元,其函数图象量不少于B 型设备数量的 .设购买 a 台A 型设备,
3
如图所示.
购买总费用为 w 元,求 w 与 a 的函数关系式,并求出
(1)分别求 y甲 , y乙关于 x 的函数关系式;
最少购买费用.
(2)两图象交于点 A ,求点 A坐标;
(3)根据函数图象,直接写出选择去哪个体育专卖店
购买体育用品更合算.
41
考向 3 实物模型问题 8.(2017 江西 19 题 8 分)如图,是一种斜挎包,其挎带
7.(人教九下 P19 活动 2 改编)我国传统的计重工具 由双层部分、单层部分和调节扣构成.小敏用后发现,
——秤的应用,方便了人们的生活.如图①,可以用秤 通过调节扣加长或缩短单层部分的长度,可以使挎．
砣到秤纽的水平距离来得出秤钩上所挂物体的重量. 带．的．长．度．(单层部分与双层部分长度的和,其中调节
称重时,若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 x (厘米) 扣所占的长度忽略不计)加长或缩短.设单层部分的
时,秤钩所挂物重为 y (斤),则 y 是关于 x 的一次函 长度为 x cm ,双层部分的长度为 y cm ,经测量,得到
数.下表中为若干次称重时所记录的一些数据. 如下数据:
x(厘米) 1 2 4 7 11 12 单层部分的 … 4 6 8 10 … 150
长度 x(cm)
y(斤) 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50
双层部分的
(1)在上表 x , y 的数据中,发现有一对数据记录错误. … 73 72 71 … 长度 y(cm)
在图②中,通过描点的方法,观察判断哪一对是错误 (1)根据表中数据的规律,完成以上表格,并直接写出
的？ y 关于 x 的函数解析式;
(2)根据(1)的发现,当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离 (2)根据小敏的身高和习惯,挎带的长度为120cm时,
为16厘米时,秤钩所挂物重是多少？ 背起来正合适,请求出此时单层部分的长度;
(3)设挎带的长度为 l cm ,求 l 的取值范围.
42
考向 4 其他问题 11.(2022 吉林)李强用甲、乙两种具有恒温功能的热
9.(2022 恩施州)如图①是我国青海湖最深处的某一 水壶同时加热相同质量的水,甲壶比乙壶加热速度
截面图,青海湖水面下任意一点 A 的压强 P (单位: 快.在一段时间内,水温 y (℃)与加热时间 x(s) 之间
cmHg )与其离水面的深度 h (单位: m )的函数解析 近似满足一次函数关系,根据记录的数据,画函数图
式为 P kh P ,其图象如图②所示,其中 P 为青海 象如下: 0 0
(1)加热前水温是 ℃;
湖水面大气压强, k 为常数且 k 0 .根．据．图．中．信．息．分．
(2)求乙壶中水温 y 关于加热时间 x 的函数解析式;
析．(结果保留一位小数),下列结论正确的是( )
(3)当甲壶中水温刚达到 80 ℃时 ,乙壶中水温
是 ℃.
A.青海湖水深16.4m处的压强为188.6cmHg
B.青海湖水面大气压强为76.0cmHg
C.函数解析式 P kh P h0中自变量 的取值范围是
h 0
D. P 与 h 的函数解析式为 P 9.8 105 h 76
10.(2022 广东)物理实验证实:在弹性限度内,某弹簧
长度 y(cm) 与所挂物体质量 x(kg) 满足函数关系
y kx 15 .下表是测量物体质量时,该弹簧长度与
所挂物体质量的数量关系.
x 0 2 5
y 15 19 25
(1)求 y 与 x 的函数关系式;
(2)当弹簧长度为20cm 时,求所挂物体的质量.
43
第 7 讲 反比例函数的图象与性质(必考)
考向 1 图象上点的坐标特征 2 4
5.如图,把函数 y (x 0)和函数 y (x 0)
k x x
1.(2022海南)若反比例函数 y (k 0)的图象经过
x 的图象画在同一平面直角坐标系中,则坐标系的横
点 (2, 3) ,则它的图象也一定经过的点是( ) 轴可能是( )
A. ( 2, 3) B. ( 3, 2) A. l B. l C. l D. l 1 2 3 4
C. (1, 6) D. (6,1)
2.(2022 贵阳)如图,在平面直角坐标系中有 P ,Q , M ,
k
N 四个点 ,其中恰有三点在反比例函数 y
x
(k 0)的图象上.根据图中四点的位置,判断这四个
6.(2022 贺州)已知一次函数 y kx b 的图象如图
k
点中不在函数 y 的图象上的点是( )
x b
所示,则 y kx b与 y 的图象为( )
A.点 P B.点Q C.点M D.点 N x
7.(2022 宁波改编 )已知点 P(m,n) 在反比例函数
6
k y 的图象上,若它到 y 轴的距离小于3 ,则n 的
3.如图 ,在平面直角坐标系中 ,反比例函数 y x
x
取值范围为 .
(x 0) 的图象在第一象限内,点 A的坐标为 (6,10) ,
点 B 的坐标为 (10,7) .若将线段 AB 向下平移 考向 3 增减性与大小比较
8.(2022 宜昌)已知经过闭合电路的电流 I (单位: A )
m(m 0) 个单位长度, A , B 两点的对应点同时落
与电路的电阻 R (单位: )是反比例函数关系.根据
在反比例函数图象上,则m 的值为 .
下表判断a 和b 的大小关系为( )
考向 2 图象与象限
I/A 5 … a … … … b … 1
k R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100
4.(2022 上海)已知反比例函数 y (k 0) ,且在各
x A. a b B. a b C. a b D. a b
自象限内, y 随 x 的增大而增大,则下列点可能经过 9.(2022 滨州)若点 A(1, y1) , B( 2, y2) , C( 3, y3)都
这个函数为( ) 6
在反比例函数 y 的图象上,则 y1 , y2 , y3 的大小
A. (2,3) B. ( 2,3) x
C. (3,0) D. ( 3,0) 关系为 .
【变式】 (2022 武汉)已知点 A(x1, y1) , B(x2 , y2 )在
44
6 考向 5 性质综合题
反比例函数 y 的图象上,且 x1 0 x2 ,则下列
x 14.(2021 大连)下列说法正确的是( )
结论一定正确的是( ) 2
①反比例函数 y 中自变量 x 的取值范围是
A. y y 0 B. y y 0 x1 2 1 2
C. y1 y2 D. y1 y2
6
x 0 ②点 P( 3,2) 在反比例函数 y 的图象
x
10.(2022 天津)若点 A(x1, 2) , B(x2 , 1) ,C(x3,4)都
3
上 ③反比例函数 y 的图象,在每一个象限内, y
8 x
在反比例函数 y 的图象上,则 x , , 的大小1 x2 x3
x 随 x 的增大而增大.
关系是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
A. x1 x2 x3 B. x2 x3 x1 15.(2018 江西 6 题 3 分)在平面直角坐标系中,分别过
C. x1 x3 x2 D. x2 x1 x3 点 A(m,0) , B(m 2,0) 作 x 轴的垂线 l1 和 l2 ,探究
11.(人教九下 P9 拓广探索第 9(2)题改编 )若点 3
直线 l1 ,直线 l2 与双曲线 y 的关系,下列结论中
k x
A(a 1, y1) , B(a 1, y2) 在反比例函数 y (k 0)
x 错．误．的是( )
的图象上,且 y1 y2 ,则 a 的取值范围是( ) A.两直线中总有一条与双曲线相交
A. a 1 B. 1 a 1 B.当m 1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离
C. a 1 D. a 1或a 1 相等
考向 4 对称性(与正比例函数结合) C.当 2 m 0 时,两直线与双曲线的交点在 y 轴
12.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y x 与双曲线 两侧
m D.当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的最短
y 交于 A , B 两点.若点 A , B 的纵坐标分别为
x 距离是2
y1 , y2 ,则 y1 y2 的值为 . 16.(2022 娄底)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,
13.(2013 江西 4 题 3 分)如图,直线 y x a 2与双 已知点 P(m,1)、Q(1,m) ( m 0且m 1 ),过点 P ,
4 Q 的直线与两坐标轴相交于 A , B 两点,连接OP ,
曲线 y 交于 A , B 两点,则当线段 AB 的长度取
x OQ ,则下列结论中成立的有( )
最小值时, a 的值为( )
m
①点 P ,Q 在反比例函数 y 的图象上
x
② AOB 为等腰直角三角形
③0 POQ 90
④ POQ 的值随m 的增大而增大.
A.②③④ B.①③④
A. 0 B.1 C. 2 D.5
C.①②④ D.①②③
45
第 8 讲 反比例函数解析式的确定及 k的几何意义
(10 年 9 考，主要在解答题中涉及)
考向 1 待定系数法确定解析式 k
在反比例函数 y (k 0, x 0)的图象上,其纵坐
1 x
1.在反比例函数图象上有一点, (k, k 2 ) ,且在图象
4 标为 2 ,过点 P 作 PQ / / y 轴,交 x 轴于点Q ,将线段
的每一支上, y 都随 x 的增大而减小 若整式 x
2
, kx QP 绕点Q 顺时针旋转60 得到线段QM .若点M
4 是一个完全平方式 ,则该反比例函数的解析式 也在该反比例函数的图象上,求 k 的值.
为 .
2.(2021 益阳改编)已知点 A是一次函数 y 2x 4
的图象与 x 轴的交点,将点 A 向上平移 2 个单位后
所得点 B 落在某反比例函数图象上,则点 A 的坐标
为 ,该反比例函数的解析式为 .
3.(2022 陕西)已知点 A( 2,m)在一个反比例函数的
图象上,点 A 与点 A 关于 y 轴对称.若点 A 在正比
1
例函数 y x 的图象上,则这个反比例函数的表达
2
式为 .
4.(2022 黔东南州)如图,在平面直角坐标系中,等腰直 考向 2 根据 k的几何意义确定解析式
角三角形 ABC 的斜边 BC x 轴于点 B ,直角顶点 7.(2022 怀化改编)如图,直线 AB 交 x 轴于点C ,交反
k
A 在 y 轴上 双曲线 y (k 0) 经过 AC 边的中 a 1, 比例函数 y (a 1)的图象于 A , B 两点,过点
x x
点 D ,若BC 2 2 ,则 k . B 作 BD y 轴 ,垂足为点 D ,若 S BCD 5 ,则
a .
5.(2022 威海)正方形 ABCD在平面直角坐标系中的
位置如图所示 8.(2022 株洲)如图所示,矩形 ABCD顶点 ,,点 A 的坐标为 (2,0) ,点 B 的坐标为 A D 在 y
k 轴上,顶点C 在第一象限, x 轴为该矩形的一条对称
(0,4) .若反比例函数 y (k 0)的图象经过点C ,
x k
轴,且矩形 ABCD的面积为 6 .若反比例函数 y
则 k 的值为 . x
6.(2022 长春改编)如图,在平面直角坐标系中,点 P 的图象经过点C ,则 k 的值为 .
46
k 13.(2022 龙东改编)如图,在平面直角坐标系中,点O
9.(2022 齐齐哈尔)如图,点 A 是反比例函数 y
x 为坐标原点,平行四边形OBAD 的顶点 B 在反比例
(x 0) 图象上一点,过点 A作 AB y 轴于点 D ,且 3 k
函数 y 的图象上,顶点 A 在反比例函数 y
点 D 为线段 AB 的中点.若点C 为 x 轴上任意一点, x x
且 ABC的面积为4 ,则 k . 的图象上,顶点 D 在 x 轴的负半轴上.若平行四边形
OBAD 的面积是5 ,则 k 的值是 .
10.(2022 内江)如图,在平面直角坐标系中,点M 为 x 14.(2022 广元)如图,已知在平面直角坐标系中,点 A
轴正半轴上一点,过点 M 的直线 l / / y 轴,且直线 l 在 x 轴负半轴上 ,点 B 在第二象限内 ,反比例函数
8 k k
分别与反比例函数 y 和 y 的图象交于 P , y 的图象经过 OAB 的顶点 B 和边 AB 的中
x x x
Q两点.若 S POQ 15 ,则 k 的值为( ) 点C ,如果 OAB 的面积为6 ,那么 k 的值是 .
A.38 B. 22 C. 7 D. 22 考向 3 与 k的几何意义有关的计算
11.(2016 江西 11 题 3 分)如图,直线 l x轴于点 P , 2
15.(2022 郴州改编)如图,在函数 y (x 0)的图
k
且与反比例函数 y 1
k x
1 (x 0) 及 y
2
2 (x 0)
x x 象上任取一点 A ,过点 A 作 y 轴的垂线交函数
的图象分别交于点 A , B ,连接 OA , OB ,已知
8
y (x 0) 的图象于点 B ,连接 OA , OB ,则
OAB 的面积为2 ,则 k1 k2 . x
AOB 的面积是 .
12.(2022 乐山)如图,平行四边形 ABCD的顶点 A在
8
16.(2022 济宁)如图, A 是双曲线 y (x 0)上的
k
x 轴上,点 D 在 y (k 0) 上,且 AD x轴, CA x
x
一点,点C 是OA的中点,过点C 作 y 轴的垂线,垂足
3
的延长线交 y 轴于点 E .若 S ,则 k . ABE 为 D ,交双曲线于点 B ,则 ABD 的面积是 .
2
47
第 9 讲 反比例函数与一次函数综合题(10 年 7 考)
1.(2022 无锡改编)一次函数 y mx n 的图象与反 k
5.(2022 江西样卷六)已知函数 y (k 0, x 0)
m x
比例函数 y 的图象交于点 A , B ,点 A , B 的坐
x 的图象如图所示.若此函数经过 A , B(2,2) 两点,过
1
标 为 A( , 2m) , B(m,1) , 则 点 B 的 坐 标 点 B 作 BD y 轴于点 D ,过点 A 作 AC x 轴于
m
点 C , 线 段 AC 与 BD 交 于 点 F . 一 次 函 数
是 .
2.(2022 梧州)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y ax b(a 0) 的图象经过点 A , D ,与 x 轴的负
m BC / /AE
y kx b 半轴交于点 ,且 . 的图象与反比例函数 y 的图象交 E1 2
x
(1)请补充完整图形,并求出点 A的坐标
于点 A( 2,2) , B(n, 1) .当 y y 时, x 的取值范围1 2 (2)求一次函数 y ax b(a 0) 的解析式.
是 .
k
3.(2022 鄂州)如图,已知直线 y 2x与双曲线 y
x
( k 为大于零的常数 , 且 x 0 ) 交于点 A , 若
OA 5 ,则 k 的值为 .
4.(2022乐山)如图,已知直线 l : y x 4 与反比例函
k
数 y (x 0) 的图象交于点 A( 1,n) ,直线 l 经
x
过点 A ,且与 l 关于直线 x 1对称.
(1)求反比例函数的解析式
(2)求图中阴影部分的面积.
48
4 7.(2022 江西 18 题 8 分)如图,点 A(m,4)在反比例函
6.如图,直线 y1 x b与反比例函数 y2 (x 0)
x
k
数 y (x 0) 的图象上,点 B 在 y 轴上, OB 2 ,
4 x
的图象交于点 A ,与反比例函 y2 (x 0) 关于 x
x
将线段 AB 向右下方平移,得到线段CD ,此时点C
轴对称的图象 y 有唯一的交点 . 2 B 落在反比例函数的图象上,点 D 落在 x 轴正半轴上,
(1)求b 的值及点 B 的坐标 且OD 1 .
(2)将直线 y 向下平移 m 个单位长度,平移后与反比 (1)点 B 的坐标为 ,点D 的坐标为 ,点C1
的坐标为 (用含m 的式子表示)
例函数 y2 , y 的图象从左到右依次交于点 M , N ,2
(2)求 k 的值和直线 AC 的表达式.
C ,若MN NC ,求m 的值.
49
微专题 反比例函数与几何图形综合题(10 年 7 考)
类型 1 与几何图形基本性质结合 2.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的对角 线
1.(2022 江西 5 行卷)如图,在等边三角形 AOB中, OB , AC 相交于点 D ,且 BE / /AC , AE / /OB .
AB 6 ,顶点O 是平面直角坐标系的原点,顶点 A (1)求证:四边形 AEBD 是菱形
k (2)若OA 3 , OC 2 ,求经过点 E 的反比例函数解
在反比例函数 y (x 0) 的图象上.
x 析式.
(1)求反比例函数的解析式
(2)过点 B 作 BP AB ,交反比例函数的图象于点
P ,过点 P 作 PC OB ,垂足为C ,求 BPC的面积.
50
3.(2022 江西 5 行卷)如图,在 AOB 中, ABO 4.(2021 江西 17 题 6 分)如图,正比例函数 y x 的图
6 k
90 , OB 在 x 轴上,反比例函数 y 的图象经过 象与反比例函数 y (x 0) 的图象交于点 A(1,a) .
x x
在 ABC 中, ACB 90 , CA CB ,点C 坐标为
OA的中点M ,与 AB 相交于点 N ,已知 S AOB 12 ,
( 2,0) .
9
AN .
2 (1)求 k 的值
(1)求点 N 的坐标 (2)求 AB 所在直线的解析式.
(2)过点M , N 作直线,求直线MN 的解析式.
51
k 类型 2 与几何图形的变换结合
5.(2022 江西样卷五)反比例函数 y (x 0) 的图1
x 6.(2022 江西样卷三 )在平面直角坐标系中 ,将
Rt OBC 按如图所示方式放置 ,已知 OB 3 ,
象与 y2 的图象关于 y 轴对称,直线 l : y m与 y1 ,
BC 2 , OBC 90 .将 OBC 先向右平移 2 个
y 的图象均有交点,如图①.当m 3时,设此时直线 单位,再向上平移m(m 0) 个单位后得到 DEF . 2
(1)直接写出 D , F 两点的坐标(用含 m 的代数式表
l 与 y1 , y2 图象的交点分别为点 A , B ,且 OAB 为
示)
等边三角形,如图②. k
(2)若点 D , F 均落在反比例函数 y 的图象

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