资源简介

1.4 充分条件与必要条件
一、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
【注意】
（1）前提p q，有方向，条件在前，结论在后；
（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；
（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；
“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”．
二、充分必要条件与集合的关系
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A B可得，p是q的充分条件，
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；
若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
题型一 充分条件、必要条件的判断
【例1】是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】首先，
其次或，则，
所以：是的充分不必要条件，故选A.
【变式1-1】已知，，则是的()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设命题:对应的集合为,
命题 :对应的集合为,
因为AB,所以命题 是命题的充分不必要条件.
【变式1-2】使得成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】由“”的充要条件为“或”，
对于选项A,C，“”，“”是“”
即不充分也不必要条件，即A，C不合题意；
对于选项B，“”的充要条件为“且”，
又“且”是“或”的充分不必要条件，
则“”是“”的一个充分不必要条件；
对于选项D，显然“且”是“”的充要条件，即D不合题意，故选：B.
【变式1-3】“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】等边三角形是是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，
“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件.故选:A
【变式1-4】“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为烟台是山东省的一个地级市，
所以如果甲在烟台市，那么甲必在山东省，反之不成立，
故“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的充分不必要条件故选：A.
【变式1-5】华夏文明五千多年，孕育出璀璨的诗歌篇章，诗歌“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”一句引自王昌龄的《从军行七首（其四）》，楼兰，汉时西域国名．据《汉书》载：汉武帝时，曾使通大宛国，楼兰王阻路，攻截汉朝使臣．汉昭帝元凤四年（公元前77）霍光派傅介子去楼兰，用计斩杀楼兰王．唐时与吐蕃在此交战颇多，王昌龄诗中借用傅介子斩楼兰王典故，表明征战将士誓平边患的决心．那么，“不破楼兰终不还”中，“还”是“破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“还”能推出“破楼兰”，所以是充分条件，
“破楼兰”不一定能推出“还”，所以是不必要条件，
所以“还”是“破楼兰”的充分不必要条件，故选：A.
题型二 利用充分条件、必要条件求参数范围
【例2】若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】因为“”是“”的充分不必要条件， ∴． 故答案为：．
【变式2-1】已知:或，:，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设表示的集合为或，表示的集合为，
由是的充分不必要条件，可得是的真子集，利用数轴作图如下：
所以，故选：D.
【变式2-2】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围
【答案】
【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，所以，
当，即时，，满足；
当，即时，，解得，
综上所述：.
【变式2-3】已知P＝{x|a－4【答案】{a|－1≤a≤5}
【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P。
所以解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}。
【变式2-4】设.
（1）若是的必要不充分条件，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围；
（3）若是方程的根，判断是的什么条件.
【解析】设.
（1）若是的必要不充分条件，则有，所以.
（2）若是的充分不必要条件，则有，所以.
（3）因为方程的根为3，则有，
所以是的充要条件.
题型三 充分性与必要性的证明
【例3】已知，求证：的充要条件是．
【答案】见解析
【解析】证明必要性：
因为，所以．
所以
．
证明充分性：
因为，
即，
又，所以且．
因为，所以，即．
综上可得当时，的充要条件是．
【变式3-1】求证：关于的方程有一个根为的充要条件是．
【答案】证明见解析
【解析】充分性：，，
代入方程得，即．
关于的方程有一个根为；
必要性：方程有一个根为，满足方程，
，即．
故关于的方程有一个根为的充要条件是．
【变式3-2】设a，b，．求证：，，的充要条件是，，．
【答案】证明见解析
【解析】（必要性）由，，，显然有，，．
（充分性）用反证法：假设，，不成立，
则a，b，c中至少有一个不大于0．
由a，b，c的对称性，不妨设
由得，从而由，得，即
故，于是．这与矛盾，于是假设不成立．
因此，，，．
【变式3-3】已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.
【答案】见解析
【解析】必要性：由，得，即，
又由，得，所以.
充分性：由及，得，即.
综上所述，的充要条件是1.4 充分条件与必要条件
一、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
【注意】
（1）前提p q，有方向，条件在前，结论在后；
（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；
（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；
“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”．
二、充分必要条件与集合的关系
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A B可得，p是q的充分条件，
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；
若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
题型一 充分条件、必要条件的判断
【例1】是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
【变式1-1】已知，，则是的()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-2】使得成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．或
【变式1-3】“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-4】“游客甲在烟台市”是“游客甲在山东省”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1-5】华夏文明五千多年，孕育出璀璨的诗歌篇章，诗歌“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”一句引自王昌龄的《从军行七首（其四）》，楼兰，汉时西域国名．据《汉书》载：汉武帝时，曾使通大宛国，楼兰王阻路，攻截汉朝使臣．汉昭帝元凤四年（公元前77）霍光派傅介子去楼兰，用计斩杀楼兰王．唐时与吐蕃在此交战颇多，王昌龄诗中借用傅介子斩楼兰王典故，表明征战将士誓平边患的决心．那么，“不破楼兰终不还”中，“还”是“破楼兰”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型二 利用充分条件、必要条件求参数范围
【例2】若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.
【变式2-1】已知:或，:，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围
【变式2-3】已知P＝{x|a－4【变式2-4】设.
（1）若是的必要不充分条件，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围；
（3）若是方程的根，判断是的什么条件.
题型三 充分性与必要性的证明
【例3】已知，求证：的充要条件是．
【变式3-1】求证：关于的方程有一个根为的充要条件是．
【变式3-2】设a，b，．求证：，，的充要条件是，，．
【变式3-3】已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.

展开更多......

收起↑