资源简介

1.1 集合的概念
一、元素与集合的概念及表示
1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，
元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，
集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
二、元素的特性
1、确定性
给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。
例如：著名的科学家、比较高的人、好人、、很难的题目等
2、互异性
一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
简记为“互异性”．
利用集合中元素的特异性求参数：
（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；
（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．
（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．
3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
三、元素与集合的关系
1、属于与不属于概念：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
2、元素与集合关系的判断方法：
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
四、常用的数集及其记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 或
五、列举法
把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
六、描述法
1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
2、用描述法表示集合
（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．
一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．
（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
题型一 判断元素能否构成集合
【例1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人
C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
【答案】D
【解析】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于C，的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，
故不能构成集合；
对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；故选：D.
【变式1-1】下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【答案】B
【解析】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，
故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.故选：B.
【变式1-2】面各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．所有的直角三角形 B．一次函数
C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数
【答案】C
【解析】所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，
一次函数，元素是确定的，可以形成集合，
大于2的所有实数，能形成集合，
而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，
这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，故选：C
【变式1-3】给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【解析】① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合.
② 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合.
③ 方程的实数根是确定，所以能构成集合.
④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合. 故选：A
【变式1-4】下面能构成集合的是（ ）
A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数
C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生
【答案】B
【解析】由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于B，大于5小于11的偶数为，可以构成集合；
对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.故选：B.
题型二 判断元素与集合的关系
【例2】下列关系中正确的个数是（ ）
①， ②， ③， ④
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①不是整数，故错误
②是实数，故正确
③不是正整数，故错误
④是无理数，故正确。故选：B
【变式2-1】给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】是实数，①正确；是无理数，②错误；
－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.
所以正确的个数为2.故选：B.
【变式2-2】给出下列四个关系：π∈R， 0 Q ，0.7∈N， 0∈ ，其中正确的关系个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】∵R表示实数集，Q表示有理数集，N表示自然数集， 表示空集，
∴π∈R，0∈Q，0.7 N，0 ，
∴正确的个数为1，故选:D.
【变式2-3】（多选）下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为是整数集，故，所以A正确；
因为是实数集，故，所以B错误；
因为是有理数集，故，所以C错误；
因为是自然数集，故，所以D正确，故选：AD.
题型三 利用元素的互异性求参数
【例3】如果有一集合含有两个元素：x，，则实数x的取值范围是________．
【答案】且
【解析】由集合元素的互异性可得，解得且.
故答案为：且.
【变式3-1】已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________.
【答案】－1
【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.
当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．
∴a＝－1.
【变式3-2】已知集合由，，组成，且，求__．
【答案】
【解析】根据题意，，，，因，于是有：
若，则，
此时集合中元素为，，2，不满足集合元素的互异性，不符合题意，
若，即，解得或，
时，此时集合中元素为，，，符合题意，
显然不符合题意；
若，无解，
综上得：．
【变式3-3】由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】当时，，
当时，三个数分别为2，4，1，符合元素的互异性；
当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；
当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；
当时，三个数分别为5，5，2，不符合元素的互异性.
所以实数a的值可能为1，只有一个.故选：A
题型四 用列举法表示集合
【例4】已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（ ）
A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3}
【答案】D
【解析】由于集合是由三个元素构成，
所以.故选：D
【变式4-1】设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（ ）
A．{长江，黄河} B．{长江，黑龙江}
C．{长江，珠江} D．{长江，黄河，黑龙江，珠江}
【答案】D
【解析】∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，
∴M ={长江，黄河，黑龙江，珠江}.故选：D.
【变式4-2】方程的所有实数根组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，解得或，
所以方程的所有实数根组成的集合为；故选：C
【变式4-3】方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得：或.
所以方程组的解集是.故选：A
【变式4-4】（多选）下列集合中，可以表示为的是（ ）
A．方程的解集 B．最小的两个质数
C．大于1小于4的整数 D．不等式组的整数解
【答案】BCD
【解析】对于A，方程的解集为，不符合；
对于B，最小的两个质数构成的集合，符合；
对于C，大于1小于4的整数构成的集合，符合；
对于D，由，可得，即，故整数解集为，符合.
故选：BCD
题型五 用描述法表示集合
【例5】用描述法表示下列集合：
（1）比1大又比10小的实数组成的集合；
（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合．
【答案】（1）{xR|10}；（3）{x|x＝3n＋1，nN}.
【解析】（1）{xR|1（2）集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}；
（3）{x|x＝3n＋1，nN}．
【变式5-1】对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ）
A．{ x |是小于18的正奇数} B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A：{ x |是小于18的正奇数}=，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.故选：D
【变式5-2】集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示为（ ）
A．{x|x=2n±1，n∈Z} B．{x|x=2n+1，n∈Z}
C．{x|x=2n+1，n∈N*} D．{x|x=2n+1，n∈N}
【答案】D
【解析】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
【变式5-3】用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______．
【答案】
【解析】被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，
因此．
【变式5-4】用描述法表示下图中的阴影部分可以是________．
【答案】
【解析】可以用来表示图中阴影部分.1.1 集合的概念
一、元素与集合的概念及表示
1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，
元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，
集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
二、元素的特性
1、确定性
给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。
例如：著名的科学家、比较高的人、好人、、很难的题目等
2、互异性
一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．
简记为“互异性”．
利用集合中元素的特异性求参数：
（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；
（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．
（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．
3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
三、元素与集合的关系
1、属于与不属于概念：
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
2、元素与集合关系的判断方法：
（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．
（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．
四、常用的数集及其记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 或
五、列举法
把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
六、描述法
1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
2、用描述法表示集合
（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．
一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．
（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
题型一 判断元素能否构成集合
【例1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人
C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
【变式1-1】下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【变式1-2】面各组对象中不能形成集合的是（ ）
A．所有的直角三角形 B．一次函数
C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数
【变式1-3】给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【变式1-4】下面能构成集合的是（ ）
A．中国的小河流 B．大于5小于11的偶数
C．高一年级的优秀学生 D．某班级跑得快的学生
题型二 判断元素与集合的关系
【例2】下列关系中正确的个数是（ ）
①， ②， ③， ④
A． B． C． D．
【变式2-1】给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-2】给出下列四个关系：π∈R， 0 Q ，0.7∈N， 0∈ ，其中正确的关系个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2-3】（多选）下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型三 利用元素的互异性求参数
【例3】如果有一集合含有两个元素：x，，则实数x的取值范围是________．
【变式3-1】已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________.
【变式3-2】已知集合由，，组成，且，求__．
【变式3-3】由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型四 用列举法表示集合
【例4】已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（ ）
A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3}
【变式4-1】设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（ ）
A．{长江，黄河} B．{长江，黑龙江}
C．{长江，珠江} D．{长江，黄河，黑龙江，珠江}
【变式4-2】方程的所有实数根组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】方程组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（多选）下列集合中，可以表示为的是（ ）
A．方程的解集 B．最小的两个质数
C．大于1小于4的整数 D．不等式组的整数解
题型五 用描述法表示集合
【例5】用描述法表示下列集合：
（1）比1大又比10小的实数组成的集合；
（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合．
【变式5-1】对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ）
A．{ x |是小于18的正奇数} B．
C． D．
【变式5-2】集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示为（ ）
A．{x|x=2n±1，n∈Z} B．{x|x=2n+1，n∈Z}
C．{x|x=2n+1，n∈N*} D．{x|x=2n+1，n∈N}
【变式5-3】用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______．
【变式5-4】用描述法表示下图中的阴影部分可以是________．

展开更多......

收起↑