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1.2 集合间的基本关系
一、子集与真子集的定义与表示
1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)
【注意】
（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．
（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系．
例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2 B，所以A不是B的子集；
同理，因为3∈B，但3 A，所以B也不是A的子集．
二、空集
1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，
并规定：空集是任何集合的子集．
在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：
（1）空集只有一个子集，即它本身；
（2）空集是任何非空集合的真子集．
2、0，{0}， ，{ }的关系
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； { }含一个元素，该元素是
关系 0 {0} { }或 ∈{ }
三、子集的性质
（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有 A.
（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A A.
（3）如果A B，B C，则A C.
（4）如果AB，BC，则AC.
【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．
四、子集的个数
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
五、韦恩图
在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。
【注意】
（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。
（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。
题型一 判断集合间的包含关系
【例1】已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，
所以根据子集的定义可知，故选：C.
【变式1-1】设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为( )
A．A∈B B．B∈A C．A B D．B A
【答案】C
【解析】∵0<2，∴0∈B.又∵1<2，∴1∈B，∴A B.
【变式1-2】设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )
A．P N M Q B．Q M N P C．P M N Q D．Q N M P
【答案】B
【解析】正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形，故选B.
【变式1-3】下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；
⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】A
【解析】中，是集合{a}中的一个元素，，所以错误；
空集是任一集合的子集，所以正确；
是的子集，所以错误；
任何集合是其本身的子集，所以正确；
a是的元素，所以正确.故选：A.
【变式1-4】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由且，即，
而，
所以为的子集，则.故选：A
题型二 确定集合的子集和真子集
【例2】集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.故选：B.
【变式2-1】已知集合，则A的子集共有（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．16个
【答案】C
【解析】由，得集合
所以集合A的子集有个，故选： C
【变式2-2】设集合，且，则满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，由题意可知，集合为的子集，
则满足条件的集合的个数为.故选：B.
【变式2-3】已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【解析】∵，∴，解得，
∵，∴，
则集合的子集个数为.故选：B.
【变式2-4】满足的所有集合共有__________ 个.
【答案】
【解析】由题意可得，或或或，即集合M共有个
【变式2-5】适合条件{1} A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )
A．15 B．16 C．31 D．32
【答案】A
【解析】这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，
{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．
【变式2-6】满足的集合M共有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．15个
【答案】B
【解析】，可按元素个数分类依次写出集合M为
，，，，，，，共7个.
题型三 集合相等及其应用
【例3】下列集合中表示同一集合的是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【解析】因为有序数对与不相同，所以A错误；
由于集合中的元素具有无序性，所以集合与集合是同一集合，故B正确；
因为集合M表示的是当时，所得的有序实数对所构成的集合，
而集合N是当时所得的y值所构成的集合，所以C错误；
因为，，所以D错误
【变式3-1】设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
【答案】C
【解析】因为，所以，解得或，
∴的取值集合为，故选：C
【变式3-2】若，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．7
【答案】C
【解析】因为，
所以，解得，所以.故选：C.
【变式3-3】集合，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【答案】B
【解析】因为，且，所以，即，
所以，，
又因为，所以，
所以，故选B.
【变式3-4】若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以或，
由可解得（不符合，舍去）或，
由可解得，
综上，，则.故选：C.
题型四 根据集合的包含关系求参数
【例4】已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B A，则实数m＝________.
【答案】4
【解析】由B A可知，m＝4.
【变式4-1】，，若，则实数a的值构成的集合M=________
【答案】
【解析】∵，
若，则，满足题意，
当，，，
∴或，
∴或
∴
∴综上所述
【变式4-2】（多选）已知集合，.若，则实数的值可能是( )
A． B．1 C．2 D．5
【答案】AB
【解析】∵，∴，∴可能取；
【变式4-3】已知集合，，且A B，求实数a的取值范围．
【解析】当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝ A，符合题意；
当a<1时，要使A B，需满足，解得
综上，实数a的取值范围是．
【变式4-4】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，即当时，，合乎题意；
当时，即当时，由可得，解得，此时.
综上所述，.故选：A.1.2 集合间的基本关系
一、子集与真子集的定义与表示
1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A B(或B A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．
2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)
【注意】
（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．
（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系．
例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2 B，所以A不是B的子集；
同理，因为3∈B，但3 A，所以B也不是A的子集．
二、空集
1、定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 ，
并规定：空集是任何集合的子集．
在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：
（1）空集只有一个子集，即它本身；
（2）空集是任何非空集合的真子集．
2、0，{0}， ，{ }的关系
与0 与{0} 与{ }
相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合
不同点 是集合； 0是实数 中不含任何元素； {0}含一个元素0 不含任何元素； { }含一个元素，该元素是
关系 0 {0} { }或 ∈{ }
三、子集的性质
（1）规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有 A.
（2）任何一个集合A都是它本身的子集，即A A.
（3）如果A B，B C，则A C.
（4）如果AB，BC，则AC.
【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A＝ 和A≠ 两种情况，前者常被忽视1，造成思考问题不全面．
四、子集的个数
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个．
（2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个．
（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
五、韦恩图
在数学中，我们经常用平面上的封闭曲线的内部表示集合，这种图叫做Venn图。
【注意】
（1）表示集合的韦恩图是是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。
（2）维恩图的有点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图时要注意区分大小关系。
题型一 判断集合间的包含关系
【例1】已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为( )
A．A∈B B．B∈A C．A B D．B A
【变式1-2】设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )
A．P N M Q B．Q M N P C．P M N Q D．Q N M P
【变式1-3】下面五个式子中：①；②；③{a }{a，b}；④；
⑤a {b，c，a}；正确的有（ ）
A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤
【变式1-4】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 确定集合的子集和真子集
【例2】集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式2-1】已知集合，则A的子集共有（ ）
A．3个 B．4个 C．8个 D．16个
【变式2-2】设集合，且，则满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【变式2-4】满足的所有集合共有__________ 个.
【变式2-5】适合条件{1} A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是( )
A．15 B．16 C．31 D．32
【变式2-6】满足的集合M共有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．15个
题型三 集合相等及其应用
【例3】下列集合中表示同一集合的是( )
A., B.,
C., D.,
【变式3-1】设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
【变式3-2】若，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．7
【变式3-3】集合，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【变式3-4】若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
题型四 根据集合的包含关系求参数
【例4】已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B A，则实数m＝________.
【变式4-1】，，若，则实数a的值构成的集合M=________
【变式4-2】（多选）已知集合，.若，则实数的值可能是( )
A． B．1 C．2 D．5
【变式4-3】已知集合A＝{x|-5≤x≤2}，B＝{x|2a－3【变式4-4】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

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