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5.4.3 正切函数的性质与图象
一、正切函数的图象：
二、正切函数的性质
1．定义域：，
2．值域：R
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．
5．单调性：在开区间内，函数单调递增
三、正切函数型的性质
1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．
2、值域：
3、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．
4、周期：
四、已知单调性求参数的范围
子集法 求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
题型一 正切函数的定义域问题
【例1】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正切函数的定义域，令，，即，
所以函数的定义域为.故选:D．
【变式1-1】函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数，
令，，解得，
所以函数的定义域是．故选：D
【变式1-2】函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】A
【解析】由题可得，解得，
∴函数的定义域为.故选：A.
【变式1-3】求下列函数的定义域：
（1） ；（2） .
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）要使函数有意义， 必须使 与 都有意义，
所以 ，
所以函数的定义域为 ；
（2）要使函数有意义，必须使 有意义，且分母 ，
所以 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：，.
题型二 正切函数的值域问题
【例2】函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，因为，所以．
因为正切函数在上单调递增，且，，
所以．故选：A．
【变式2-1】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，且函数在上为增函数，
∴．即．故选：C．
【变式2-2】函数的最大值为________．
【答案】
【解析】∵，∴，由题意得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．
故答案为：
【变式2-3】函数，的值域为______．
【答案】
【解析】因为，所以，
，
则当时，，当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
【变式2-4】当时，的值总不大于零，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】，，.
∵对任意的，都有，即，
，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式2-5】已知在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，即，
又，所以，所以，
所以，．故选：A．
题型三 正切函数的图象问题
【例3】函数的图象大致是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵f(x)定义域[－1，1]关于原点对称，且，
∴f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故AC不符题意；
在区间上，，，则有，故D不符题意，B正确.故选：B．
【变式3-1】（多选）与函数的图象相交的直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，当时，，
所以直线与函数交于点，
对于B，由正切函数的图象可知直线与函数的图象相交，
对于C，当时，，
所以直线与函数交于点，
对于D，当时，无意义，
所以直线 与函数的图象无交点，
故选：ABC
【变式3-2】函数y=|tanx|，y=tanx，y=tan(-x)，y=tan|x|在上的大致图象依次是___________(填序号).
【答案】①②④③
【解析】∵|tanx|≥0，∴图象在x轴上方，∴y=|tanx|对应①；
∵tan|x|是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴y=tan|x|对应③；
而y=tan(-x)与y=tanx关于y轴对称，
∴y=tan(-x)对应④，y=tanx对应②，
故四个图象依次是①②④③.
故答案为：①②④③
【变式3-3】函数（）的部分图像如下图，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图知，
由，解得
所以当时，.故选：A
【变式3-4】函数在区间上的零点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】由可得，
则函数在区间上的零点个数
即为函数和函数在区间上的图象的交点个数，
如下图所示：
由图象可知，函数和函数在区间上的图象有两个交点.
因此，函数在区间上的零点个数为.故选：B.
题型四 正切函数的单调性及应用
【例4】函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间，
令 ，，解得 ，，
所以函数的单调递增区间为，，故选：A.
【变式4-1】求函数y＝3tan的单调递减区间．
【答案】(k∈Z)
【解析】y＝3tan可化为y＝－3tan，
由kπ－故函数的单调递减区间为(k∈Z)．
【变式4-2】若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，解得，即．
故答案为：
【变式4-3】已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在区间内单调递减，
所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，所以或，
当时，，又，所以，
当时，.
综上所述：.故选：C.
题型五 正切函数的奇偶性问题
【例5】函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数
【答案】B
【解析】由正切函数性质知：的最小正周期为，
定义域关于原点对称且，即为奇函数.
所以是周期为的奇函数.故选：B
【变式5-1】判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）.
【答案】（1）既不是偶函数，也不是奇函数；（2）奇函数
【解析】（1）由得的定义域为且，
由于的定义域不关于原点对称，所以函数既不是偶函数，也不是奇函数；
（2）由题知函数的定义域为且，定义域关于原点对称，
又，
所以函数是奇函数.
【变式5-2】已知函数（，为常实数），且，则_____．
【答案】
【解析】因为，定义域关于原点对称，
设，
，
则是奇函数，
因为，所以，所以．
故答案为：.
【变式5-3】“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，此时为奇函数，
当函数为奇函数，,
故即，此时推不出，
故“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件，故选：A.
【变式5-4】已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】关于轴对称，则关于原点对称，
故，，故是可以推出，，
但，推不出，
故函数的图象关于轴对称是的必要不充分条件故选：B
题型六 正切函数的周期性问题
【例6】函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的最小正周期为，故选：A
【变式6-1】若函数的图象与直线的两相邻交点间的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正切型函数的性质可知，函数的最小正周期为，
因此，.故选：B.
【变式6-2】函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
且，
.故选：C.
【变式6-3】函数的最小正周期是______．
【答案】
【解析】由正切函数的图象与性质知：与的最小周期均为，
与的图象如图所示，
所以函数与最小正周期也一样，
函数的最小正周期是，
的最小正周期也是．
故答案为：
【变式6-4】若，则等于（ ）
A．- B． C．0 D．-2
【答案】C
【解析】，；
，，，
， ， ，；
故选：．
题型七 正切函数的对称性问题
【例7】函数的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以为图象的一个对称中心，故选：D
【变式7-1】（多选）关于函数的说法中正确的是（ ）
A．定义域是， B．图像关于点对称
C．图像关于直线对称 D．在区间上单调递增
【答案】AB
【解析】对于A，因为函数，由，，
得，，故A正确；
对于B，函数，因为，所以图像关于点对称，故B正确；
对于C，函数，所以函数不存在对称轴，故C错误；
对于D，函数，因为，所以，
又区间不是函数的单调递增区间，故D错误．
故选：AB.
【变式7-2】（多选）下列函数的图像中，与曲线有完全相同的对称中心的是( )
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】设k∈Z，
对于，由；
对于A：由；
对于B：由；
对于C：由；
对于D：由；
则B和D的函数与题设函数有完全相同的对称中心．故选：BD．
【变式7-3】“点的坐标是，”是“的图象关于点对称”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若的图象关于点对称，可得点的坐标是，，
若点的坐标是，，可得的图象关于点对称，
故“点的坐标是，”是“的图象关于点对称”的充要条件.
故选：A.
【变式7-4】已知函数的图象关于点中心对称，则的一个值可以是___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为的图象关于点中心对称，
所以，，则，.
当时，
故答案为：
题型八 解含正切函数的不等式
【例8】等式|的解集是_________.
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以，解得，
故解集为：
故答案为：.
【变式8-1】若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为直线与函数的图象无公共点，且，
所以，所以，
故可化为，
所以解得
所以不等式的解集为，故选：B．
【变式8-2】已知且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为在上单调递增，
当时，则即，解得，所以，
当时，则即，解得，
所以，
当时，此时无意义，故舍去，
综上可得.故选：B
【变式8-3】函数的定义域为___________.
【答案】
【解析】由题意得：，解得.
故答案为：.
【变式8-4】已知定义在R上的偶函数f（x），当时，函数，则满足的x的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵当时，函数，
∴函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，
不等式可化为，
又∵函数f（x）为定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（|x|），
∴不等式可化为，
∴，
∴，
∴，
即满足的x的取值范围是.
故答案为：
题型九 比较正切值的大小
【例9】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，，，
故.故选：D.
【变式9-1】设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，函数在上单调递增且，在上单调递增且，
因为，
所以，所以.故选：A.
【变式9-2】，，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由，，
因为在上单调递增，
所以，即
又，
所以.故选：B.
【变式9-3】下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，因为，函数在上单调递增，
所以．故A正确；
对于B, ．故B不正确；
对于C，，．
又，函数在上单调递增，所以，
即．故C不正确；
对于D，，．
又，函数在上单调递增，
所以，即．故D正确.故选：AD.
【变式9-4】若，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，则，
因为，故，故.故选：C.
题型十 正切函数图象的综合应用
【例10】设函数．
（1）求函数的定义域和单调区间;
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）定义域为；无单调递减区间；
单调递增区间为（2）
【解析】（1）由题意得：，解得：，
的定义域为；
令，解得：，
的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）由得：，
解得：，
则的解集为.
【变式10-1】已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．
【答案】（1）最小值，最大值；（2）
【解析】（1）当时，，对称轴为
因为，所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值,
所以函数的最大值为，最小值为.
（2）是关于的二次函数，
它的图象的对称轴为直线．
因为在区间上是单调函数，
所以或，即或，
又，
所以的取值范围是.
【变式10-2】已知函数，其中，
（1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心；
（2）若函数在上严格递增，求的取值范围；
（3）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2021，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）；（3）.
【解析】（1）由于，，，
的最小正周期为，
令，求得，，
故的图象的对称中心为，，．
（2）若函数在，上严格递增，则，
求得，即的范围为．
（3）方程在，上至少存在2021个根，
故当，时，至少有2021个根，
即，，至少有2021个根，
即当，时， 至少有2021个根．
且在所有满足上述条件的，中，的最小值不小于2021，
故至少包含2020个周期，即，
所以．5.4.3 正切函数的性质与图象
一、正切函数的图象：
二、正切函数的性质
1．定义域：，
2．值域：R
3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是
4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．
5．单调性：在开区间内，函数单调递增
三、正切函数型的性质
1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．
2、值域：
3、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．
4、周期：
四、已知单调性求参数的范围
子集法 求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子集法 由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期性法 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解
题型一 正切函数的定义域问题
【例1】函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．且
【变式1-3】求下列函数的定义域：
（1） ；（2） .
题型二 正切函数的值域问题
【例2】函数，的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】函数的最大值为________．
【变式2-3】函数，的值域为______．
【变式2-4】当时，的值总不大于零，则实数的取值范围是_____.
【变式2-5】已知在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
题型三 正切函数的图象问题
【例3】函数的图象大致是( )
A． B． C． D．
【变式3-1】（多选）与函数的图象相交的直线是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】函数y=|tanx|，y=tanx，y=tan(-x)，y=tan|x|在上的大致图象依次是___________(填序号).
【变式3-3】函数（）的部分图像如下图，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】函数在区间上的零点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
题型四 正切函数的单调性及应用
【例4】函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C． ， D． ，
【变式4-1】求函数y＝3tan的单调递减区间．
【变式4-2】若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______．
【变式4-3】已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五 正切函数的奇偶性问题
【例5】函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数
【变式5-1】判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）.
【变式5-2】已知函数（，为常实数），且，则_____．
【变式5-3】“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式5-4】已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型六 正切函数的周期性问题
【例6】函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】若函数的图象与直线的两相邻交点间的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】函数的最小正周期是______．
【变式6-4】若，则等于（ ）
A．- B． C．0 D．-2
题型七 正切函数的对称性问题
【例7】函数的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（多选）关于函数的说法中正确的是（ ）
A．定义域是， B．图像关于点对称
C．图像关于直线对称 D．在区间上单调递增
【变式7-2】（多选）下列函数的图像中，与曲线有完全相同的对称中心的是( )
A． B．
C． D．
【变式7-3】“点的坐标是，”是“的图象关于点对称”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式7-4】已知函数的图象关于点中心对称，则的一个值可以是___________.
题型八 解含正切函数的不等式
【例8】等式|的解集是_________.
【变式8-1】若直线（）与函数的图象无公共点，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】已知且，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
综上可得.故选：B
【变式8-3】函数的定义域为___________.
【变式8-4】已知定义在R上的偶函数f（x），当时，函数，则满足的x的取值范围是________．
题型九 比较正切值的大小
【例9】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】，，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-3】（多选）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-4】若，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型十 正切函数图象的综合应用
【例10】设函数．
（1）求函数的定义域和单调区间;
（2）求不等式的解集．
【变式10-1】已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．
【变式10-2】已知函数，其中，
（1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心；
（2）若函数在上严格递增，求的取值范围；
（3）若函数在（且）满足：方程在上至少存在2021个根，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2021，求的取值范围．

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