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5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦：
:
:
2、两角和与差的余弦：
:
:
3、两角和与差的正切：
:.
:.
注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
②公式的变形：；
二、二倍角公式
1、二倍角的正弦（）：；变形
2、二倍角的余弦（）：.
3、二倍角的正切（）：
三、三角函数给角求值与给值求值问题
“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
1、关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
2、常见的配角技巧：，，
，等．
四、三角函数给值求角问题
实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
若角的范围是，选正、余弦皆可；
若角的范围是，选余弦较好；
若角的范围是，选正弦较好.
题型一 两角和与差的正（余）弦公式
【例1】求值________.
【答案】
【解析】.
故答案为：.
【变式1-1】等于（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】C
【解析】由两角和的余弦公式得：
，
故选：C
【变式1-2】（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】；
；
原式.故选：C
【变式1-3】（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
.故选：B
【变式1-4】（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
原式．故选：B
题型二 两角和与差的正切公式
【例2】（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C.
【变式2-1】（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为；
故，故选：D
【变式2-2】（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
．故选：A
【变式2-3】（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】C
【解析】因为，
所以可得
同理可得
故选：C
【变式2-4】______．
【答案】
【解析】．
故答案为：.
【变式2-5】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，故，
故，同理，
故，故B成立.
而
故，故A错误.
而，故
因，故，所以，
又若，则， 解得，
因为，
，故无解，故D错误.
若，则，则，
这与矛盾，故D错误.故选：B.
题型三 二倍角公式的简单应用
【例3】已知求
【答案】；；
【解析】由可得
则
【变式3-1】的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
.故选：B
【变式3-2】若为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
两边平方得, ，
所以，，
所以，．故选：D.
【变式3-3】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
．故选：A.
【变式3-4】化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原式
.故选：D.
【变式3-5】求值：
（1）；
（2）；
（3）结论：一般地，______________．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因为，所以原式．
（2），
由（1）得原式．
（3）
题型四 公式综合应用：给角求值
【例4】（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选：A.
【变式4-1】 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】故选：D
【变式4-2】（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．故选：B．
【变式4-3】（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选：A.
【变式4-4】求值：______.
【答案】
【解析】原式
，
，
原式
故答案为：.
题型五 公式综合应用：给值求值
【例5】已知锐角满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为锐角，，，
又，
，故选：A.
【变式5-1】已知，，且，，则（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【答案】B
【解析】因为，,
所以，,
因为，所以,
因为，所以,
所以
,故选：B
【变式5-2】已知，，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以.故选：A.
【变式5-3】已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，则，所以，，
所以，.故选：B.
【变式5-4】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】．故选：A
【变式5-5】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令可得，故，
则故选：C
题型六 公式综合应用：给值求角
【例6】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】∵，，，
∴，，
∴.
又∵，∴，
∴，
∴.故选：A.
【变式6-1】已知，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】因为，，，
所以，，
所以，
所以
因为，所以故选：B
【变式6-2】已知，，，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
若，则，
即，，
则，所以，，即
又，所以.故选：C
【变式6-3】已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
故，
由，所以，
又，所以，
故，所以.故选：A.
【变式6-4】已知，若是方程的两根，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是方程的两根可得：
.
所以均为正数，
又,故
所以.
又.故.故选：C5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦：
:
:
2、两角和与差的余弦：
:
:
3、两角和与差的正切：
:.
:.
注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
②公式的变形：；
二、二倍角公式
1、二倍角的正弦（）：；变形
2、二倍角的余弦（）：.
3、二倍角的正切（）：
三、三角函数给角求值与给值求值问题
“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
1、关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
2、常见的配角技巧：，，
，等．
四、三角函数给值求角问题
实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.
遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；
若角的范围是，选正、余弦皆可；
若角的范围是，选余弦较好；
若角的范围是，选正弦较好.
题型一 两角和与差的正（余）弦公式
【例1】求值________.
【变式1-1】等于（ ）
A． B．1 C．0 D．
【变式1-2】（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（ ）
A． B． C． D．1
【变式1-4】（ ）
A． B． C． D．
题型二 两角和与差的正切公式
【例2】（ ）
A． B．1 C． D．
【变式2-1】（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【变式2-3】（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【变式2-4】______．
【变式2-5】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
题型三 二倍角公式的简单应用
【例3】已知求
【变式3-1】的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】若为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-5】求值：
（1）；
（2）；
（3）结论：一般地，______________．
题型四 公式综合应用：给角求值
【例4】（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】求值：______.
题型五 公式综合应用：给值求值
【例5】已知锐角满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知，，且，，则（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【变式5-2】已知，，则（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【变式5-3】已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】若，则（ ）
A． B． C． D．
题型六 公式综合应用：给值求角
【例6】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．或
【变式6-1】已知，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式6-2】已知，，，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】已知，若是方程的两根，则（ ）
A．或 B． C． D．

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