资源简介

5.5.2 简单的三角恒等变换
一、升（降）幂缩（扩）角公式
利用余弦的二倍角公式变形可得：
升幂公式：，
降幂公式：，
二、半角公式（只要求推导，不要求记忆）
＝±， ＝±，
以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．
；
以上两个公式称作半角正切的有理式表示．
三、积化和差与和差化积公式
1、积化和差
2、和差化积
四、辅助角公式
对于形如的式子，可变形如下：
=
由于上式中和的平方和为1，
故令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
或由和共同确定．
五、万能公式
； ；
六、三角函数化简“三看”原则
七、三角恒等变换综合应用的解题思路
（1）将化为的形式；
（2）构造
（3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)；
（4）利用研究三角函数的性质；
（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
题型一 半角公式与万能公式的应用
【例1】已知，，则（ ）
A．3 B． C． D．
【变式1-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】若，则的值为________.
题型二 积化和差与和差化积的应用
【例2】利用和差化积公式，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【变式2-1】利用积化和差公式，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【变式2-2】下列关系式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】若， ，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】求值：.
【变式2-5】在中，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 辅助角公式及其应用
【例3】将下列各式化成的形式：
（1）；
（2）
【变式3-1】求下列函数的最大值和最小值：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【变式3-2】（多选）若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知，则 等于（ ）
A．－ B．± C．－1 D．1
【变式3-4】已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值，以及此时的取值.
题型四 三角恒等变换的化简问题
【例4】化简=（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式4-1】化简（ ）
A． B． C．2 D．
【变式4-2】若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【变式4-3】若，，则_________．
【变式4-4】化简求值：.
【变式4-5】求证：.
题型五 三角形中的三角恒等变换
【例5】在中，若，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式5-1】已知，角所对应的边分别为，且，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
【变式5-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【变式5-3】在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为_________.5.5.2 简单的三角恒等变换
一、升（降）幂缩（扩）角公式
利用余弦的二倍角公式变形可得：
升幂公式：，
降幂公式：，
二、半角公式（只要求推导，不要求记忆）
＝±， ＝±，
以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．
；
以上两个公式称作半角正切的有理式表示．
三、积化和差与和差化积公式
1、积化和差
2、和差化积
四、辅助角公式
对于形如的式子，可变形如下：
=
由于上式中和的平方和为1，
故令，
则==
其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，
或由和共同确定．
五、万能公式
； ；
六、三角函数化简“三看”原则
七、三角恒等变换综合应用的解题思路
（1）将化为的形式；
（2）构造
（3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)；
（4）利用研究三角函数的性质；
（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
题型一 半角公式与万能公式的应用
【例1】已知，，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】由，又，，则，
所以.故选：D
【变式1-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
，，
，
所以.故选：A.
【变式1-2】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，
因为，所以，，
所以，，
所以，
则，故选：B.
【变式1-3】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故选：A
【变式1-4】若，则的值为________.
【答案】
【解析】∵，
∴.
故答案为：.
题型二 积化和差与和差化积的应用
【例2】利用和差化积公式，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）0；（3）.
【解析】（1）.
（2）.
（3）
.
【变式2-1】利用积化和差公式，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由积化和差公式得：
，；
（2）由积化和差公式得：
.
【变式2-2】下列关系式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A中，，A错；
B中，，B错；
C中，，C错；
D中，，D正确.故选：D
【变式2-3】若， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，因为，
所以，
所以，所以，故选：A．
【变式2-4】求值：.
【答案】
【解析】原式
.
【变式2-5】在中，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，，
，则，则，
且有，则，
故.故选：C.
题型三 辅助角公式及其应用
【例3】将下列各式化成的形式：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）
【变式3-1】求下列函数的最大值和最小值：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）最大值为1，最小值为；（2）最大值为，最小值为
（3）最大值为2，最小值为；（4）最大值为2，最小值为
【解析】（1），最大值为1，最小值为；
（2），最大值为，最小值为；
（3），最大值为2，最小值为；
（4），最大值为2，最小值为.
【变式3-2】（多选）若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为，，
故，
故的值可能为．故B，C错误.故选：AD.
【变式3-3】已知，则 等于（ ）
A．－ B．± C．－1 D．1
【答案】D
【解析】，故选：D
【变式3-4】已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值，以及此时的取值.
【答案】（1）；（2）当，最大值为；当，最小值为.
【解析】（1）由函数，
令，解得，
所以函数的单调增区间为.
（2）由（1）知
因为，可得，
当时，即，函数取得最大值，最大值为；
当时，即，函数取得最小值，最小值为.
题型四 三角恒等变换的化简问题
【例4】化简=（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
.故选：C.
【变式4-1】化简（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
，故选：D.
【变式4-2】若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以．
故选：B
【变式4-3】若，，则_________．
【答案】
【解析】因为，，
∴，
∴
.
故答案为：.
【变式4-4】化简求值：.
【答案】.
【解析】
【变式4-5】求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：
所以原等式成立．
题型五 三角形中的三角恒等变换
【例5】在中，若，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解析】因为
所以
所以，所以
因为，所以，即
所以三角形为等腰三角形；故选：D
【变式5-1】已知，角所对应的边分别为，且，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【解析】依题意，，
则有，在中，，即，
因此，又，于是得，即，
所以是直角三角形.故选：A
【变式5-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解析】由知，，
∴＝，
，，
，
∴，
∵在△ABC中，，∴，
∵，∴，即△ABC为直角三角形．故选：C．
【变式5-3】在△ABC中，AB边上的高，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】，，∴，，
，
∵，∴，∴当时，x＋y的最小值为.
故答案为：.

展开更多......

收起↑