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5.7 三角函数的应用
一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义
1、简谐运动的振幅就是A.
2、简谐运动的周期T＝.
3、简谐运动的频率f＝＝.
4、ωx＋φ称为相位．
5、x＝0时的相位φ称为初相．
二、三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．
三、建立函数模型的一般步骤
四、运用三角函数模型解决问题的几种类型
1、由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．
2、由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．
3、利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．
五、解三角函数应用问题的基本步骤
六、建立三角函数拟合模型的注意事项
1、在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数．
2、在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．
3、在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．
题型一 三角函数在物理中的应用
【例1】将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（ ）
A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm
【答案】C
【解析】由，得.
由函数的图象可知函数的周期为，
所以，即.故选：C.
【变式1-1】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，
则，周期为，则，初相位为，，
所以噪声的声波曲线的解析式为，
所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．故选：A.
【变式1-2】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）为（ ）
A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2
【答案】A
【解析】因为距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，
所以单摆来回摆动的振幅为3和一次所需的时间为，故选：A
【变式1-3】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（ ）
A．小球在开始振动即时的位置在
B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为
C．小球往复运动一次所需时间为
D．每秒钟小球能往复振动次
【答案】D
【解析】对于A,由题意可得当时，，
故小球在开始振动时的位置在；故A正确；
对于B,由解析式可得振幅,故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为；
故B正确；
对于C,可得函数的周期为，故小球往复运动一次需；故C正确；
对于D,由C可知，，可得频率为（），
即每秒钟小球能往复振动次，故D不正确.故选：D．
【变式1-4】如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间对应的函数图象如图所示，其变化规律可以用求刻画.
（1）求此弹簧振子运动的周期；
（2）求时弹簧振子所处的位置距离初始位置（）的距离是多少？
【答案】（1）s；（2）
【解析】（1）由图可知，函数，
故函数的图象关于对称，
故，,即弹簧振子运动的周期为4.8s.
（2）由图知，，故，
，因为，
由，所以，所以，
故，而，
所以时，该弹簧振子离时刻的距离是.
题型二 三角函数在生活中的应用
【例2】（多选）血压(blood pressure，BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t=0)，他的血压p（t）(mmHg)与经过的时间t（h）满足关系式，则（ ）
A．当天早晨6~7点，陈华的血压逐渐上升
B．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C．当天陈华没有高血压
D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
【答案】ABD
【解析】由已知，选项A，当天早晨6~7点，则t∈[0，1]，t+∈[]，
所以函数p（t）在[0，1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；
选项B，当t=3时，p（t）=115+20sin=125，
所以当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg，故该选项正确；
选项C、选项D，因为p（t）的最大值为115+20=135，最小值为115-20=95≥90，
所以陈华的收缩压为135 mmHg，舒张压为95 mmHg，
因此陈华有高血压，故选项C错误
且他的收缩压与舒张压之差为40 mmHg，故选项D正确.
故选：ABD.
【变式2-1】某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.
【答案】20.5
【解析】据题意得 ， 解得 ，
所以
令 得 .
故答案为：20.5
【变式2-2】建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
（1）求的表达式；
（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【答案】（1） ，;（2） 8小时.
【解析】（1）因为图像上最低点坐标为，
与之相邻的最高点坐标为，
所以，，，
所以，解得．
所以，．
（2）由（1）得，，所以，
所以，解得，
因为，所以，．
所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时．
【变式2-3】某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中h为水深（单位：米），t为时间（单位：小时），该函数部分图象如图所示．若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内能在该港口停留多久？
【答案】8小时．
【解析】由图可知：,可得：A＝3，B＝4．
由，得T＝12，所以．
因为，所以，得，
又，所以，所以．
由题意得，得，
得，即，
当k＝0时，，
当k＝1时，，
所以该船一天之内能在该港口停留7－3＋19－15＝8小时．
题型三 三角函数在圆周中的应用
【例3】如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由题意可知，最高点到水面距离为5，故A=5，
由水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，
则周期 ,则，
由题意知,代入解析式中，，
由于，故或，
根据图象可知A处于函数的单调减区间上，故，
所以，，，故选：C
【变式3-1】（多选）如图所示，某摩天轮上一点从摩天轮的最低点处顺时针匀速转动，经过秒后，点第一次位于摩天轮的最高点，且距离地面米，当点距离地面最低点时开始计时，若点在时刻距离地面高度（米）关于（分钟）的解析式为，则以下说法正确的是（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为米
B．摩天轮的转盘直径为米
C．若在时刻，点距离地面的高度相等，则的最小值为
D．，使得点在时刻距离地面的高度均为米
【答案】ABD
【解析】由题意得：，解得：；
摩天轮转一圈需要秒，即分钟，，；
又，，又，，
；
对于A，摩天轮离地面最近的距离为米，A正确；
对于B，摩天轮的转盘直径为米，B正确；
对于C，令，则，
若取最小值，则，关于对称，
，解得：，的最小值为，C错误；
对于D，令，即，
则或，
解得：或，
则当，时，点在时刻距离地面的高度均为米，D正确.
故选：ABD.
【变式3-2】为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从（注：此时）正常开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系式为__________.
【答案】
【解析】设点的纵坐标与时间的函数关系式为，
由初始位置可得函数的初相位为，
又函数周期是秒，且秒针按顺时针旋转，即，所以，即，
所以.
故答案为：.
【变式3-3】某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
（1）当时，求1号座舱与地面的距离；
（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【解析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为
，，，则，，
所以
依题意，所以，
当时，所以，故，
所以，
即当时，求1号座舱与地面的距离为；
（2）令，即，所以，
又，所以，
所以或，解得或，
即或时1号座舱与地面的距离为17米；
（3）依题意，，
所以
令，解，
所以当时取得最大值，
依题意可得
题型四 拟合法建立三角函数模型
【例4】表中给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若该港口的水深y(m)和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数来近似描述，则该港口在11：00的水深为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
【答案】A
【解析】由表格知函数的最大值是7，最小值是3，
则满足，得A＝2，h＝5，
相邻两个最大值之间的距离T＝15－3＝12，即12，则ω，
此时，
当t＝11时，. 故选：A．
【变式4-1】潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的最高的潮叫潮，发生在晚上的最高的潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）．
时刻（t） 0 2 4 6 8 10 12
水深（y）单位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2
时刻（t） 14 16 18 20 22 24
水深（y）单位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0
用函数模型来近似以地描述这些数据，则函数________．
【答案】
【解析】由题知，所生潮的高的最大值为，最小值为，周期为
所以且，解得，，
故，
因为在零时，所生潮的高的最大值为，
所以，，解得，
所以.
故答案为：
【变式4-2】下表是某地一年中10天测量得白昼时间统计表（时间近似0.1小时，一年按365天计）．
日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日
日期位置序号 1 59 80 117 126 172 225 268 298 355
白昼时间（小时） 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
（1）以日期在365一天中得位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，在给定的坐标中，试选用一个形如的函数来近似描述一年中，白昼时间与日期位置序号之间的函数关系；
（2）用（1）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．
【答案】（1），，；（2）121（或122）天
【解析】（1）由散点图知白昼时间与日期序号之间的
函数关系式近似，
由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即，，
所以，，又，所以，
当时， ，所以，
所以，，．
（2）因为，所以，
所以，所以，
即，解得，
所以该地区有121（或122）天白昼时间．
【变式4-3】某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（米）随着时间（，单位：小时）而周期性变化．每天各时刻的浪高数据的平均值如下表：
（时）
（米）
（1）试在图中描出所给点；
（2）观察图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（3）如果确定在一天内的时至时之间，当浪高不低于米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
【答案】（1）散点图见解析；（2）选择更合适，
（3）应在白天点到点之间训练
【解析】（1）散点图如下，
（2）由散点图可知：应选择，
则，，，即，
将代入可得：，解得：，
该模型的解析式为：.
（3）令，则，
，，
或或，
解得：或或，
应在白天点到点之间训练.5.7 三角函数的应用
一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义
1、简谐运动的振幅就是A.
2、简谐运动的周期T＝.
3、简谐运动的频率f＝＝.
4、ωx＋φ称为相位．
5、x＝0时的相位φ称为初相．
二、三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．
三、建立函数模型的一般步骤
四、运用三角函数模型解决问题的几种类型
1、由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质．
2、由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性．
3、利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题．
五、解三角函数应用问题的基本步骤
六、建立三角函数拟合模型的注意事项
1、在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数．
2、在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题．
3、在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题．
题型一 三角函数在物理中的应用
【例1】将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（ ）
A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm
【变式1-1】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）为（ ）
A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2
【变式1-3】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定以为横坐标，为纵坐标，下列说法错误的是（ ）
A．小球在开始振动即时的位置在
B．小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为
C．小球往复运动一次所需时间为
D．每秒钟小球能往复振动次
【变式1-4】如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间对应的函数图象如图所示，其变化规律可以用求刻画.
（1）求此弹簧振子运动的周期；
（2）求时弹簧振子所处的位置距离初始位置（）的距离是多少？
题型二 三角函数在生活中的应用
【例2】（多选）血压(blood pressure，BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t=0)，他的血压p（t）(mmHg)与经过的时间t（h）满足关系式，则（ ）
A．当天早晨6~7点，陈华的血压逐渐上升
B．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C．当天陈华没有高血压
D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
【答案】ABD
【变式2-1】某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.
【变式2-2】建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系．
（1）求的表达式；
（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
【变式2-3】某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中h为水深（单位：米），t为时间（单位：小时），该函数部分图象如图所示．若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内能在该港口停留多久？
题型三 三角函数在圆周中的应用
【例3】如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式3-1】（多选）如图所示，某摩天轮上一点从摩天轮的最低点处顺时针匀速转动，经过秒后，点第一次位于摩天轮的最高点，且距离地面米，当点距离地面最低点时开始计时，若点在时刻距离地面高度（米）关于（分钟）的解析式为，则以下说法正确的是（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为米
B．摩天轮的转盘直径为米
C．若在时刻，点距离地面的高度相等，则的最小值为
D．，使得点在时刻距离地面的高度均为米
【变式3-2】为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从（注：此时）正常开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系式为__________.
【变式3-3】某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．
（1）当时，求1号座舱与地面的距离；
（2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在这段时间内，H恰有三次取得最大值，求的取值范围．
题型四 拟合法建立三角函数模型
【例4】表中给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若该港口的水深y(m)和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数来近似描述，则该港口在11：00的水深为（ ）
A．4m B．5m C．6m D．7m
【变式4-1】潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的最高的潮叫潮，发生在晚上的最高的潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）．
时刻（t） 0 2 4 6 8 10 12
水深（y）单位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2
时刻（t） 14 16 18 20 22 24
水深（y）单位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0
用函数模型来近似以地描述这些数据，则函数________．
【变式4-2】下表是某地一年中10天测量得白昼时间统计表（时间近似0.1小时，一年按365天计）．
日期 1月1日 2月28日 3月21日 4月27日 5月6日 6月21日 8月13日 9月20日 10月25日 12月21日
日期位置序号 1 59 80 117 126 172 225 268 298 355
白昼时间（小时） 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4
（1）以日期在365一天中得位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，在给定的坐标中，试选用一个形如的函数来近似描述一年中，白昼时间与日期位置序号之间的函数关系；
（2）用（1）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．
【变式4-3】某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（米）随着时间（，单位：小时）而周期性变化．每天各时刻的浪高数据的平均值如下表：
（时）
（米）
（1）试在图中描出所给点；
（2）观察图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（3）如果确定在一天内的时至时之间，当浪高不低于米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．

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