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2.1 等式性质与不等式性质
一、等式的基本性质
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
二、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 正数乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
三、比较两个实数（或代数式）大小
1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．
①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．
2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
【注意】
（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。
题型一 利用不等式性质判断真假
【例1】如果那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【变式1-3】若为实数，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】已知，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 比较大小
【例2】设，则的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-1】已知，比较与的大小．
【变式2-2】已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小.
【变式2-3】比较与两个代数式的大小：；
【变式2-4】设，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】已知，，试比较与的大小；
题型三 求代数式的取值范围
【例3】若，则的范围为_______
【变式3-1】（多选）已知，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知，则的取值范围是____________.
【变式3-3】已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四 不等式的证明
【例4】证明不等式 ().
【变式4-1】已知，求证.
【变式4-2】若，，求证：．
【变式4-3】（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：.2.1 等式性质与不等式性质
一、等式的基本性质
1．如果a＝b，那么b＝a.
2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.
4．如果a＝b，那么ac＝bc.
5．如果a＝b，c≠0，那么＝.
二、不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a>b b2 传递性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 正数乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
三、比较两个实数（或代数式）大小
1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．
①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．
②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．
2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：
若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，
此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．
【注意】
（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。
题型一 利用不等式性质判断真假
【例1】如果那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，不等式两边同时减去得，D正确，
若，则AB错误，若，C错误．故选：D．
【变式1-1】若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；
选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；
选项C：由于，所以，所以，所以成立；
选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立
【变式1-2】下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】A.若，则，取 不成立
B.若，则，取 不成立
C. 若，，则，正确
D. 若，，则，取 不成立故答案选C
【变式1-3】若为实数，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，当时，，A错误；
对于B，当，时，，，此时，B错误；
对于C，，，C错误；
对于D，，，
，，，D正确.
【变式1-4】已知，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因，，则a>0，b<0，，A不正确；
，则，B不正确；
又，即，则，，C正确；
由得，D不正确.故选：C
题型二 比较大小
【例2】设，则的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，，.又，故．
综上可得：．故选：.
【变式2-1】已知，比较与的大小．
【答案】
【解析】因为，
．
所以．
所以，
即．
【变式2-2】已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小.
【答案】
【解析】∵
.
又a，b均为正实数，当时，；
当时，，则.
综上所述，.
【变式2-3】比较与两个代数式的大小：；
【答案】；
【解析】，
因此，；
【变式2-4】设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
，
则.
故，当且仅当时，取等号，故选：D
【变式2-5】已知，，试比较与的大小；
【答案】（当且仅当时取等号）
【解析】由
，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
题型三 求代数式的取值范围
【例3】若，则的范围为_______
【答案】
【解析】依题意可知，
由于，由不等式的性质可知.
【变式3-1】（多选）已知，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为，，
所以，，
则，，，
即，，，则；
故AB正确，CD错.
【变式3-2】已知，则的取值范围是____________.
【答案】
【解析】令，
则，解得，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，
所以，
所以的取值范围为，
【变式3-3】已知实数，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，
, 则
又，
因此，故本题选B.
【变式3-4】已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令
则，∴，
又，…∴①，
∴…②∴①②得．
则．故选C．
题型四 不等式的证明
【例4】证明不等式 ().
【答案】证明见解析.
【解析】因为，
所以，
所以
两边同除以4，即得，当且仅当时，取等号.
【变式4-1】已知，求证.
【答案】证明见解析.
【解析】证明： .
由，可知，，
从而，
又，，又，
因此上式分子、分母均小于零，
，即.
【变式4-2】若，，求证：．
【解析】证明：，
，
，
.
【变式4-3】（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）因为，所以.
则.
（2）因为，所以.
又因为，所以，
即，因此.
（3）因为，根据（2）的结论，得.
又因为，则 ，即.

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