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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、一元二次不等式的相关概念
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）
3、一元二次不等式的解集
使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解；
一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。
二、一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1四、解一元二次不等式的步骤
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
第二步：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集.
五、含参数的一元二次不等式讨论依据
1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；
2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；
3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。
题型一 解不含参数一元二次不等式
【例1】的解集为（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】B
【解析】因为时，解得或，
所以的解集为或.故选：B.
【变式1-1】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，解得：.故选：C.
【变式1-2】不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
【答案】B
【解析】由题意得所求，令，为开口向上的抛物线，
，
所以恒成立，
所以不成立，故的解集为.故选：B
【变式1-3】不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【解析】原式化为，即，故不等式的解集为.故选:D
【变式1-4】不等式的解集为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】依题意可得，故，解得或，
所以不等式的解集为或故选：B．
【变式1-5】求下列不等式的解集：
（1）； （2）； （3）；
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1），解得：
不等式解集为：.
（2），整理得：，即
解得：，不等式解集为：.
（3），整理得：
，故不等式再实数范围内无解
不等式解集为：.
题型二 解含参数一元二次不等式
【例2】解关于的不等式：
【解析】方程的解为，，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【变式2-1】解关于x的不等式
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】关于x的不等式，可化为
（1）当时，，解得．
（2）当，所以
所以方程的两根为-1和，
当，即时，不等式的解集为或}，
当，即时，不等式的解集为．
当，即时，不等式的解集为或}．
（3）当时，
因为方程的两根为—1和，
又因为，所以．
即不等式的解集是，
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或}.
【变式2-2】（多选）下列关于不等式的解集讨论正确的是（ ）
A．当时，的解集为
B．当时，的解集为
C．当时，的解集为
D．无论a取何值时，的解集均不为空集
【答案】CD
【解析】对于A，当时，原不等式为，解得，故A不正确；
对于B，当时，原不等式为，
解得或，故B不正确；
对于C，当时，原不等式为，
解得或，故C正确；
对于D，由二次函数，开口向上，
所以无论a取何值时，不等式均有解，故D正确；
故选：CD.
【变式2-3】（多选）已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】不等式变形为，又，所以，
时，不等式解集为空集；
，，
时，，
因此解集可能为ABD．
【变式2-4】设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的解集为，
则的解集为R.
的解集为，
则的解集为，
转化为
所以不等式的解集为.故选：B.
题型三 由一元二次不等式的解确定参数
【例3】关于的不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】因不等式的解集为空集，
则当时，不成立，因此，满足题意，
当时，必有，解得，
综上得，所以实数k的取值范围是：.故选：A
【变式3-1】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】B
【解析】由题意得，即，
所以，即，解得．故选：B
【变式3-2】若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．－1
【答案】A
【解析】由题意知，解得，故选：A．
【变式3-3】已知关于x的不等式的解集为M，若，则a的取值范围为（ ）
A．[－2，4] B．（－2，4） C． D．
【答案】A
【解析】由于，所以，
即，解得，
所以的取值范围是.故选：A
【变式3-4】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，
这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，
这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．故选：C
题型四 一元二次不等式恒成立与有解问题
【例4】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，该不等式为，成立；
当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，
只需，解得，
综上所述，的取值范围是，故选：A.
【变式4-1】若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为恒成立
所以恒成立
恒成立
恒成立
故，解之得：故选：A
【变式4-2】对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，由得：，
（当且仅当，即时取等号），
，解得：，
即的取值范围为.故选：D.
【变式4-3】命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由于“存在，”为假命题，
所以“”，为真命题，
所以在区间上恒成立，
在区间上，当时，取得最大值为，
所以.
【变式4-4】已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（ ）
A． B． C．） D．
【答案】D
【解析】由题意，命题“，”是真命题
故，解得或.
则实数的取值范围是故选：D.
【变式4-5】若不等式在上有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为，所以不等式化为，
又在上单调递减，所以当时，有最小值．
所以a的取值范围是．故选：B．2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
一、一元二次不等式的相关概念
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）
3、一元二次不等式的解集
使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫作这个一元二次不等式的解；
一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的解集；
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形。
二、一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
三、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1四、解一元二次不等式的步骤
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
第二步：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集.
五、含参数的一元二次不等式讨论依据
1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；
2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；
3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。
题型一 解不含参数一元二次不等式
【例1】的解集为（ ）
A． B．或 C． D．
【变式1-1】不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
【变式1-3】不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
【变式1-4】不等式的解集为（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式1-5】求下列不等式的解集：
（1）； （2）； （3）；
题型二 解含参数一元二次不等式
【例2】解关于的不等式：
【变式2-1】解关于x的不等式
【变式2-2】（多选）下列关于不等式的解集讨论正确的是（ ）
A．当时，的解集为
B．当时，的解集为
C．当时，的解集为
D．无论a取何值时，的解集均不为空集
【变式2-3】（多选）已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型三 由一元二次不等式的解确定参数
【例3】关于的不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【变式3-1】已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【变式3-2】若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．－1
【变式3-3】已知关于x的不等式的解集为M，若，则a的取值范围为（ ）
A．[－2，4] B．（－2，4） C． D．
【变式3-4】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四 一元二次不等式恒成立与有解问题
【例4】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】命题“存在，”为假命题，则实数a的取值范围是___________.
【变式4-4】已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（ ）
A． B． C．） D．
【变式4-5】若不等式在上有解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

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