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3.2.1 单调性与最大（小）值
一、函数的单调性
1、单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。
2、单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
3、函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
二、函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．
2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)．
3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
三、单调性定义的等价形式:
（1）函数在区间上是增函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
（2）函数在区间上是减函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
四、定义法证明函数单调性的步骤
①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2
②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论
④判断：根据定义做出结论。
五、函数单调性的性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
六、常见简单函数的单调性
函数 单调性
一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减.
反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增.
二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减.
题型一 单调性定义的理解
【例1】若函数的定义域为，且满足，则函数在上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定
【变式1-1】设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】定义在上的函数对任意两个不相等的实数，，总有，则必有（ ）
A．函数先增后减 B．函数是上的增函数
C．函数先减后增 D．函数是上的减函数
【变式1-4】下列说法中正确的个数为（ ）
①定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上为增函数；
②如果函数在区间上为减函数，在区间上也为减函数，那么在区间上就一定是减函数；
③对任意的，且，当时，在上是减函数；
④对任意的，且，当时，在上是增函数.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
题型二 定义法证明函数的单调性
【例2】证明在其定义域上是增函数.
【变式2-1】求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.
【变式2-2】函数，且.判断并证明在区间上的单调性；
【变式2-3】利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．
题型三 求函数的单调性及单调区间
【例3】定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】求函数y的单调递增区间．
【变式3-2】求函数的单调区间.
【变式3-3】函数的单调递减区间为（ ）
A．（–∞，2] B．[2，+∞） C．[0，2] D．[0，+∞）
【变式3-4】函数的单调增区间是________.
【变式3-5】下列有关函数单调性的说法，不正确的是（ ）
A．若为增函数，为增函数，则为增函数
B．若为减函数，为减函数，则为减函数
C．若为增函数，为减函数，则为增函数
D．若为减函数，为增函数，则为减函数
题型四 已知单调性求参数范围
【例4】已知函数的图象如图所示，若在上单调递增，则的取值范围为_____.
【变式4-1】函数在上是减函数．则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知在为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]
【变式4-6】已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五 利用单调性解不等式
【例5】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
【变式5-2】函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知偶函数的定义域为R，当时，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】已知函数对、，总有，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六 利用单调性比较大小
【例6】定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】已知函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】设函数是上的减函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知函数，若，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型七 函数的最值问题
【例7】函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．，0 B．0，2 C．，2 D．，2
【变式7-1】当时，求函数y＝﹣x2﹣x+1值域．
【变式7-2】函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
【变式7-4】求函数的值域。3.2.1 单调性与最大（小）值
一、函数的单调性
1、单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。
当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。
2、单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
3、函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
二、函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．
2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)．
3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
三、单调性定义的等价形式:
（1）函数在区间上是增函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
（2）函数在区间上是减函数:
任取，且，都有；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，.
四、定义法证明函数单调性的步骤
①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2
②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论
④判断：根据定义做出结论。
五、函数单调性的性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
六、常见简单函数的单调性
函数 单调性
一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减.
反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增.
二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减.
题型一 单调性定义的理解
【例1】若函数的定义域为，且满足，则函数在上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定
【答案】D
【解析】根据函数单调性的定义：
必须是给定区间上的任意两个变量对应的函数值之间都相应恒有的大小关系.
∴由，几个特殊函数值的大小关系，
不能判断函数的单调性．故选：D
【变式1-1】设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】函数在区间上单调递增，
则任意两个不相等的实数，与应该同号，
所以，故选：C.
【变式1-2】若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数的单调性定义知，
若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，
由此可知，选项A，B，D都正确.
若，则，故选项C不正确.故选：C.
【变式1-3】定义在上的函数对任意两个不相等的实数，，总有，则必有（ ）
A．函数先增后减 B．函数是上的增函数
C．函数先减后增 D．函数是上的减函数
【答案】B
【解析】若，由得： 在上单调递增
若，由得：在上单调递增
综上所述：在上是增函数
【变式1-4】下列说法中正确的个数为（ ）
①定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上为增函数；
②如果函数在区间上为减函数，在区间上也为减函数，那么在区间上就一定是减函数；
③对任意的，且，当时，在上是减函数；
④对任意的，且，当时，在上是增函数.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】B
【解析】①不正确，函数单调性的定义强调了的任意性，
“无穷多个”不能代表“所有”、“任意”；
②不正确，一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，
不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接.
③正确，因为，等价于或，
所以或，即在上是减函数；
④正确，同③.
题型二 定义法证明函数的单调性
【例2】证明在其定义域上是增函数.
【答案】证明见解析；
【解析】函数的定义域为，设且，
因为，所以，
所以，即
所以在其定义域上是增函数.
【变式2-1】求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.
【答案】证明见详解.
【解析】在区间上任取，
则
因为，故可得；
又因为，故可得.
故，即.
故在区间上单调递增.
【变式2-2】函数，且.判断并证明在区间上的单调性；
【证明】在区间上为减函数.任取，
，
由于，，，
所以，
所以在上递减.
【变式2-3】利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．
【答案】证明见解析
【解析】设x1，x2是区间上任意两个实数且，
则，
∵，∴，，．
∴．
即，．
∴在上是减函数．
题型三 求函数的单调性及单调区间
【例3】定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，
所以的单调递减区间为.故选：B
【变式3-1】求函数y的单调递增区间．
【答案】[﹣1，2]
【解析】设t＝﹣x2+4x+5，由t＝﹣x2+4x+5≥0，得x2﹣4x﹣5≤0，即﹣1≤x≤5，
则函数t＝﹣x2+4x+5的对称轴为x＝2，
∴当﹣1≤x≤2时，t＝﹣x2+4x+5单调递增，此时y也单调递增，
∴由复合函数单调性的性质可知函数y此时单调递增，
当2≤x≤5，t＝﹣x2+4x+5单调递减，此时y单调递增，
∴由复合函数单调性的性质可知函数y此时单调递减，
即函数y的单调递增区间是[﹣1，2]．
【变式3-2】求函数的单调区间.
【答案】单调递增区间为和,无减区间
【解析】函数的定义域为.
∵函数与函数在和上均为增函数
∴函数在和上是增函数
∴函数的单调递增区间为和,无减区间.
【变式3-3】函数的单调递减区间为（ ）
A．（–∞，2] B．[2，+∞） C．[0，2] D．[0，+∞）
【答案】B
【解析】∵，
∴函数的单调递减区间是（–∞，2]，增区间为[2，+∞），
∴的单调递减区间是[2，+∞），故选：B．
【变式3-4】函数的单调增区间是________.
【答案】，
【解析】；
的图像是由的图像沿轴向右平移个单位，
然后沿轴向下平移一个单位得到；
而的单调增区间为，；
的单调增区间是，．
故答案为：，
【变式3-5】下列有关函数单调性的说法，不正确的是（ ）
A．若为增函数，为增函数，则为增函数
B．若为减函数，为减函数，则为减函数
C．若为增函数，为减函数，则为增函数
D．若为减函数，为增函数，则为减函数
【答案】C
【解析】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变，选项A,B正确；
选项D：为增函数，则为减函数，
为减函数，为减函数，选项D正确；
选选C：若为增函数，为减函数，则的增减性不确定.
例如为上的增函数，当时，
在上为增函数；
当时，在上为减函数，
故不能确定的单调性.故选:C
题型四 已知单调性求参数范围
【例4】已知函数的图象如图所示，若在上单调递增，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】由图可知，的单调递增区间为.由题意得即.
【变式4-1】函数在上是减函数．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，函数在上是减函数，
则有，解可得，
【变式4-2】若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的对称轴为，开口向上，
依题意可得，解得，即；故选：D
【变式4-3】已知在为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在上单调递减，在上单调递增，
故要想在为单调函数，需满足，故选：D
【变式4-4】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数是定义在R上的增函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为.故选：B.
【变式4-5】函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]
【答案】D
【解析】因为对任意，都有成立，所以是减函数，
则，解得．故选：D．
【变式4-6】已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则，
所以，即，
因为时等价于，
即.
令，则在上单调递减，
所以或，解得或，即.故选：A
题型五 利用单调性解不等式
【例5】若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在上单调递增，，
，解得：，
实数的取值范围为.故选：C.
【变式5-1】已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
【答案】A
【解析】因为在定义域上是减函数，
所以由，故选：A
【变式5-2】函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数为上单调递减，
则可变形为，
则，解得，
所以的取值范围为，,故选：C
【变式5-3】已知偶函数的定义域为R，当时，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得在上单调递减，
又，所以，
所以，解得或．故选：D
【变式5-4】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，不妨设，
故，即，
令，则，
故在上单调递减，，
不等式两边同除以得：，
因为，所以，即，
根据在上单调递减，故，
综上：故选：B
【变式5-5】已知函数对、，总有，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设，由可得，
所以，函数是上的增函数，
由不等式在上恒成立
可得到在上恒成立，
所以在上恒成立，
故有，即，
解得或.故选：D.
题型六 利用单调性比较大小
【例6】定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】定义域在上的函数满足：
对任意的，，有，
可得函数是定义域在上的增函数，
所以．故选：．
【变式6-1】已知函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递增且关于直线对称，
所以，
所以，即．故选：A．
【变式6-2】设函数是上的减函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，即，
函数单调递减，故.
取，则，A错误；
取得到，B错误；故选：C.
【变式6-3】已知函数，若，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题目中式子结构，构造函数，
函数在上单调递增，
所以.故选：B.
题型七 函数的最值问题
【例7】函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．，0 B．0，2 C．，2 D．，2
【答案】C
【解析】由图可得，函数在处取得最小值，在处取得最大值2，故选：C
【变式7-1】当时，求函数y＝﹣x2﹣x+1值域．
【答案】
【解析】，对称轴为，
故当时，函数单调递减，
，，
故函数值域为．
【变式7-2】函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数、在区间上均为增函数，
故函数在上为增函数，
当时，.故选：B.
【变式7-3】设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
【答案】C
【解析】因为，
所以在[3，4]上是减函数.
所以，.
所以.故选：C.
【变式7-4】求函数的值域：
【答案】
【解析】换元法：令，，
则，
当时取等号，故其值域为

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