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3.2.2 奇偶性
一、函数奇偶性的定义
1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称
2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。
偶函数的性质：，可避免讨论．
二、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立.
3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
5、分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
三、定义法判断函数奇偶性
判断与的关系时，也可以使用如下结论：
如果或，则函数为偶函数；
如果或，则函数为奇函数．
题型一 函数奇偶性的判断
【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1）． （2）．
（3）． （4）
【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；
（3）偶函数；（4）奇函数.
【解析】（1）由得，∴函数的定义域为，
不关于原点对称．故既不是奇函数也不是偶函数．
（2）由得，即．
∴函数的定义域是，关于原点对称．
又，∴既是奇函数又是偶函数．
（3）函数的定义域为，关于原点对称．
又∵，
∴是偶函数．
（4）当时，，则，
当时，，则
综上，对，都有．
∴为奇函数．
【变式1-1】判断下列函数的奇偶性:
（1）; （2）;
【答案】（1）非奇非偶函数 （2）奇函数
【解析】（1）函数的定义域为，不关于原点对称，
所以该函数是非奇非偶函数;
（2）函数的定义域为，关于原点对称.
∵
∴该函数是奇函数。
【变式1-2】已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
【答案】B
【解析】F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)关于原点对称，得F(x)是偶函数.
【变式1-3】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【解析】设，则，
因为是奇函数，是偶函数，
故，
即是奇函数，选C．
题型二 利用奇偶性求值
【例2】已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
，
函数为奇函数，则.故选：B.
【变式2-1】已知函数是定义在上的奇函数，当0时，，则（ ）
A．3 B．-3 C．-2 D．-1
【答案】B
【解析】是定义在上的奇函数，且时，，
，，，则.故选：B.
【变式2-2】已知函数为奇函数，若，则___________．
【答案】
【解析】由题知：，
又为奇函数，
则，
故.
【变式2-3】已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】为奇函数，为偶函数，且，
，即，
，则，故选：A.
【变式2-4】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，
设，则为奇函数，，
即，.故选：C
题型三 利用奇偶性求参数
【例3】若函数为偶函数，则_________.
【答案】1
【解析】∵函数为偶函数，∴
∴ ∴
∴，解之得:.
【变式3-1】设为常数，函数.若为偶函数，则_________.
【答案】2
【解析】解法一:∵∴
∵为偶函数 ∴其图象的对称轴为轴，∴，解之得:.
解法二:，其图象的对称轴为直线.
∵为偶函数∴，即
∴函数的图象关于直线对称.∴.
【变式3-2】设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
【答案】
【解析】因为函数f(x)＝为奇函数，
，
经检验符合题意.故答案为.
【变式3-3】已知函数是奇函数，则_________.
【答案】2
【解析】当时，，∴
∵函数是奇函数 ∴
∴（） ∴.
题型四 利用奇偶性求解析式
【例4】已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______.
【答案】
【解析】因为是定义在上的奇函数,所以,
当时,,所以,
当时,,
所以.
【变式4-1】已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．
【答案】
【解析】根据题意，设，则，有，
又由为偶函数，
则，即．
【变式4-2】已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【答案】B
【解析】因为①，所以
因为分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以②
所以由①、②可得，
所以故选：B
【变式4-3】若函数是偶函数，函数是奇函数，且，求函数的解析式.
【答案】
【解析】∵函数是偶函数，函数是奇函数
∴，
∵
∴，
解方程组得:.
∴函数的解析式为.
题型五 奇偶性与单调性结合
【例5】已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
【答案】(－2,0)∪(2,5)
【解析】因为函数y＝f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于原点对称．
由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
【变式5-1】已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意是偶函数，且在上单调递增，
∴不等式可变为，
∴，解得．故选：B．
【变式5-2】已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，．
由得或，
解得或，即．
所以不等式的解集为.故选：A.
【变式5-3】函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】为奇函数，.
，.
故由，得.
又在单调递减，，
.故选：D
【变式5-4】已知奇函数，是减函数，解不等式.
【答案】
【解析】∵
∴
∵是奇函数
∴
∴
由题意可得:，解之得:.
∴不等式的解集为.
【变式5-5】设定义在上的函数和满足：①对任意的，和恒成立；②在上单调递增． 若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，所以，
故在R上为奇函数，
由在上单调递增，故在R上单调递增，
在上也单增，
由可得，
即，，解得.故选：A.
【变式5-6】函数是定义域为的奇函数，且对于任意的，都有成立.如果，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对于任意的，都有，
当时，即，
当时，即，
即在定义域上单调递减，
又是定义域为的奇函数，所以，
所以，
则，即，即，所以，
即不等式的解集为；故选：C3.2.2 奇偶性
一、函数奇偶性的定义
1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称
2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。
偶函数的性质：，可避免讨论．
二、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立.
3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
5、分段函数奇偶性的判断
通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
三、定义法判断函数奇偶性
判断与的关系时，也可以使用如下结论：
如果或，则函数为偶函数；
如果或，则函数为奇函数．
题型一 函数奇偶性的判断
【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1）． （2）．
（3）． （4）
【变式1-1】判断下列函数的奇偶性:
（1）; （2）;
【变式1-2】已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
【变式1-3】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
题型二 利用奇偶性求值
【例2】已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】已知函数是定义在上的奇函数，当0时，，则（ ）
A．3 B．-3 C．-2 D．-1
【变式2-2】已知函数为奇函数，若，则___________．
【变式2-3】已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-4】已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型三 利用奇偶性求参数
【例3】若函数为偶函数，则_________.
【变式3-1】设为常数，函数.若为偶函数，则_________.
【变式3-2】设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
【变式3-3】已知函数是奇函数，则_________.
题型四 利用奇偶性求解析式
【例4】已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______.
【变式4-1】已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．
【变式4-2】已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【变式4-3】若函数是偶函数，函数是奇函数，且，求函数的解析式.
题型五 奇偶性与单调性结合
【例5】已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
【变式5-1】已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】已知奇函数，是减函数，解不等式.
【变式5-5】设定义在上的函数和满足：①对任意的，和恒成立；②在上单调递增． 若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-6】函数是定义域为的奇函数，且对于任意的，都有成立.如果，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．

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