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4.1 指数
一、n次方根的定义
1、定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且
2、个数：
（1）当n是奇数时，，的值仅有一个，记为；
（2）当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为；
②时，不存在
二、根式
1、定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2、性质：（，且）
a；
三、分数指数幂的意义
1、分数指数幂的意义
（1）正分数指数幂：规定：
（2）负分数指数幂：规定：
（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2、分数指数幂的注意事项：
（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
（2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．
（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如有意义，但就没有意义．
四、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
五、实数指数幂的运算性质
①．
②．
③．
六、条件求值问题的解题思路：
1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；
2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；
3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。
题型一 根式的概念
【例1】下列等式中成立的个数是（ ）
①（且）；
②（为大于的奇数）；
③（为大于零的偶数）.
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】对于①，当且时，，①对；
对于②，当为大于的奇数时，，②对；
对于③，当为大于零的偶数时，，③对.
故选：D.
【变式1-1】等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】等式成立的条件是，即.故选：D
【变式1-2】，则实数a的取值范围_________
【答案】
【解析】由题设得，
，
所以，所以，．
【变式1-3】（多选）下列等式中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，， 故A不正确；
对于B， ，故B不正确；
对于C， 中，故C不正确；
对于D， ，故D正确．
故选：ABC
题型二 利用根式的性质化简求值
【例2】化简并求值.
【答案】3.
【解析】.
【变式2-1】求下列各式的值；
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）= ．
（2）原式=
因为，所以，
当，即时，
当，即时，,
所以.
【变式2-2】把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，即 ， ，
.
故选：A .
【变式2-3】求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
题型三 多重根式的化简
【例3】求值_______．
【答案】4
【解析】.
【变式3-1】化简________.
【答案】6
【解析】.
【变式3-2】化简（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】，故选：D．
【变式3-3】化简=_________.
【答案】
【解析】=
因为，所以.所以原式
题型四 根式与分数指数幂的互化
【例4】下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A：，故选项A错误；
对B：，故选项B正确；
对C：，不能化简为，故选项C错误；
对D：因为，所以，故选项D错误.
故选：B.
【变式4-1】化成分数指数幂为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．故选：B.
【变式4-2】已知，则化为（ ）
A． B． C．m D．1
【答案】C
【解析】，，故选：C．
【变式4-3】将下列各式用分数指数幂的形式表示：
（1）； （2）； （3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
题型五 利用指数幂的性质化简
【例5】已知，，且，则______．
【答案】
【解析】由题意，，
所以.
【变式5-1】计算：______．
【答案】
【解析】．
【变式5-2】化简（式中字母都是正数）：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）
【变式5-3】化简或求值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（且）.
【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4）
【解析】（1）原式=.
（2）
=21.
（3）
.
（4）.
题型六 条件求值问题
【例6】已知，则______．
【答案】3
【解析】由，可得，，
．
【变式6-1】已知＝5，则的值为_________．
【答案】23
【解析】因为＝5，
所以.
【变式6-2】已知，求下列各式的值.
（1）； （2）； （3）.
【答案】（1）7；（2）47；（3）
【解析】（1）将两边平方，得，
所以．
（2）将两边平方，得，
所以．
（3）∵，，，
∴，
∴．
【变式6-3】若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设，，即，
又，且，
所以，故选：A.
【变式6-4】已知，，且，则______．
【答案】
【解析】由题意，，
所以，
故答案为：.4.1 指数
一、n次方根的定义
1、定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且
2、个数：
（1）当n是奇数时，，的值仅有一个，记为；
（2）当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为；
②时，不存在
二、根式
1、定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
2、性质：（，且）
a；
三、分数指数幂的意义
1、分数指数幂的意义
（1）正分数指数幂：规定：
（2）负分数指数幂：规定：
（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
2、分数指数幂的注意事项：
（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．
在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．
（2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．
（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，
如有意义，但就没有意义．
四、无理数指数幂
一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：
①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
五、实数指数幂的运算性质
①．
②．
③．
六、条件求值问题的解题思路：
1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；
2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；
3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。
题型一 根式的概念
【例1】下列等式中成立的个数是（ ）
①（且）；
②（为大于的奇数）；
③（为大于零的偶数）.
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1-1】等式成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】，则实数a的取值范围_________
【变式1-3】（多选）下列等式中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 利用根式的性质化简求值
【例2】化简并求值.
【变式2-1】求下列各式的值；
（1）； （2）．
【变式2-2】把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
题型三 多重根式的化简
【例3】求值_______．
【变式3-1】化简________.
【变式3-2】化简（ ）
A． B． C．2 D．
【变式3-3】化简=_________.
题型四 根式与分数指数幂的互化
【例4】下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】化成分数指数幂为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知，则化为（ ）
A． B． C．m D．1
【变式4-3】将下列各式用分数指数幂的形式表示：
（1）； （2）； （3）
题型五 利用指数幂的性质化简
【例5】已知，，且，则______．
【变式5-1】计算：______．
【变式5-2】化简（式中字母都是正数）：
（1）； （2）．
【变式5-3】化简或求值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）（且）.
题型六 条件求值问题
【例6】已知，则______．
【变式6-1】已知＝5，则的值为_________．
【变式6-2】已知，求下列各式的值.
（1）； （2）； （3）.
【变式6-3】若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】已知，，且，则______．

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