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4.3 对数
一、对数的概念
1、定义：一般地，如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数，
记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2、对数的基本性质
①当，且时，．
②负数和0没有对数，即.
③特殊值：1的对数是0，即0（，且）；
底数的对数是1，即（，且）．
二、常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 以10为底的对数叫做常用对数
自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数
三、对数的运算性质
1、运算性质：,且，
（1）；
（2）；
（3）
2、换底公式
(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
3、可用换底公式证明以下结论：
①；
②；
③；
④；
⑤.
题型一 对数的定义理解
【例1】(多选)下列说法正确的有（ ）
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以为底的对数叫做常用对数
D．以为底的对数叫做自然对数
【答案】ACD
【解析】由对数的定义可知A,C,D正确；
对B，当且时，才能化为对数式.故选：ACD.
【变式1-1】若有意义，则式中x的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意，．
故答案为：．
【变式1-2】代数式有意义时，求x的取值范围．
【答案】
【解析】由题意可得
解得．
【变式1-3】使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要使式子有意义，
则，即，解得或，
所以x的取值范围是.故选：D
题型二 对数式与指数式的互化
【例2】（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ACD
【解析】由对数的概念可知：可转化为，故A正确；
由对数的概念可知：可转化为，故B错误；
由对数的概念可知：可转化为，故C正确；
由对数的概念可知：可转化为，故D正确；
故选：ACD.
【变式2-1】将下列指数式与对数式互化：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【答案】（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【解析】（1）因为，所以有：.
（2）因为，所以有：.
（3）因为，所以有：.
（4）因为，所以有：.
（5）因为，所以有：.
（6）因为，所以有：.
【变式2-2】将下列对数式写成指数式：
（1）； （2）； （3）； （4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）因为，化为指数式为；
（2）因为，化为指数式为；
（3）因为，化为指数式为；
（4）因为，化为指数式为.
【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）由对数定义得；
（2）由对数定义得；
（3）由对数定义得；
（4）由对数定义得．
题型三 解对数方程
【例3】方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程，化为：x．故选：D．
【变式3-1】方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】D
【解析】∵，∴，∴.
【变式3-2】已知，则的值为____．
【答案】
【解析】由，得，所以，
即，所以，，所以．
【变式3-3】求下列各式中的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）125；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，所以，解得
（3）因为，所以，所以；
（4）因为，所以，所以.
【变式3-4】求下列各式中的的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由得，
，解得x＝－2；
（2）由可得，
故，∴x＝＝64.
题型四 利用对数运算性质化简
【例4】下列各等式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．（，，）
【答案】D
【解析】A：，错误；
B：，错误；
C：当x，y均为负数时，等式右边无意义，错误；
D：且，，，正确.
故选：D
【变式4-1】化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】A
【解析】
故选：A.
【变式4-2】化简____________
【答案】2
【解析】原式.
【变式4-3】求值
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；；（2）0；；（3）3；；（4）13
【解析】（1）原式=
;
（2）原式==;
（3）原式=;
（4）原式.
题型五 用已知对数表示其他对数
【例5】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B
【变式5-1】设，，把用含，的式子表示，形式为___________.
【答案】.
【解析】.
【变式5-2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选：C
【变式5-3】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由换底公式得：，
，
其中，
，
故
故选：C
【变式5-4】已知，用的代数式表示_______．
【答案】
【解析】，故，
所以．
【变式5-5】（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，
，，
；
（2），，
．
题型六 利用换底公式证明等式
【例6】下列计算恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，所以A不对；
因为，所以B不对；
因为，所以C不对；
因为，D正确.故选D.
【变式6-1】已知，求证：.
【答案】证明见解析.
【解析】设()，
则，，，
故.
【变式6-2】已知a，b，c均为正数，且，求证：；
【答案】证明见解析
【解析】设，则.
∴，
∴，
而，
∴，得证.
【变式6-3】设，且，求证：
【答案】证明见解析.
【解析】设，，则，，.
因为，所以，
即.
所以，即.4.3 对数
一、对数的概念
1、定义：一般地，如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数，
记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2、对数的基本性质
①当，且时，．
②负数和0没有对数，即.
③特殊值：1的对数是0，即0（，且）；
底数的对数是1，即（，且）．
二、常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 以10为底的对数叫做常用对数
自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数
三、对数的运算性质
1、运算性质：,且，
（1）；
（2）；
（3）
2、换底公式
(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．
3、可用换底公式证明以下结论：
①；
②；
③；
④；
⑤.
题型一 对数的定义理解
【例1】(多选)下列说法正确的有（ ）
A．零和负数没有对数
B．任何一个指数式都可以化成对数式
C．以为底的对数叫做常用对数
D．以为底的对数叫做自然对数
【变式1-1】若有意义，则式中x的取值范围为______．
【变式1-2】代数式有意义时，求x的取值范围．
【变式1-3】使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二 对数式与指数式的互化
【例2】（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式2-1】将下列指数式与对数式互化：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
【变式2-2】将下列对数式写成指数式：
（1）； （2）； （3）； （4）.
【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
题型三 解对数方程
【例3】方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】方程的解是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【变式3-2】已知，则的值为____．
【变式3-3】求下列各式中的值：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【变式3-4】求下列各式中的的值：
（1）；
（2）.
题型四 利用对数运算性质化简
【例4】下列各等式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．（，，）
【变式4-1】化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
【变式4-2】化简____________
【变式4-3】求值
（1）
（2）
（3）
（4）
题型五 用已知对数表示其他对数
【例5】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】设，，把用含，的式子表示，形式为___________.
【变式5-2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】已知，用的代数式表示_______．
【变式5-5】（1）已知，，试用表示；
（2）已知，，试用表示．
题型六 利用换底公式证明等式
【例6】下列计算恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】已知，求证：.
【变式6-2】已知a，b，c均为正数，且，求证：；
【变式6-3】设，且，求证：

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