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4.5.1 函数的零点与方程的解
一、函数的零点与方程的根
1、定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
2、注意事项：
（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
（2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
（3）函数的零点就是方程的实数根．
3、方程、函数、图象之间的关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
二、零点存在定理及其推论
1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，
那么，函数在区间内至少有一个零点，
即存在，使得，这个也就是方程的解。
【注意】（1）定义不能确定零点的个数；
（2）不满足定理条件时依然可能有零点；
（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；
（4）定理反之是不成立的.
2、重要推论：
（1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，
且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
（2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，
函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
三、零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
四、判断函数零点所在区间的步骤
第一步：将区间端点代入函数求函数的值；
第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；
第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；
若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
五、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
题型一 求函数的零点
【例1】函数的图象如图所示，则函数的零点为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】若是函数的一个零点，则的另一个零点为（ ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
【变式1-2】（多选）已知，则函数的零点为（ ）
A． B．﹣1 C． D．1
【变式1-3】函数的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【变式1-4】已知指数函数的解析式为，则函数的零点为_________．
题型二 函数零点个数的判断
【例2】已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式2-1】函数与函数的图像的交点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-3】函数的零点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式2-4】已知函数是周期为的周期函数，且当时时，，则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-5】25．已知，则函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
题型三 函数零点所在区间的判断
【例3】函数的零点所在区间为：（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】函数零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
题型四 根据函数零点所在区间求参数范围
【例4】若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围______．
【变式4-1】已知函数的零点，则整数的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五 已经零点个数求参数范围
【例5】函数有且仅有1个零点，则m的取值范围为_______.
【变式5-1】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【变式5-2】已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（ ）
A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）
【变式5-6】若定义在上的奇函数在区间上的解析式为，则关于x的方程的解的个数可能为（ ）
A．2或4或5或6 B．2或4或6 C．4 D．64.5.1 函数的零点与方程的解
一、函数的零点与方程的根
1、定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.
2、注意事项：
（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
（2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
（3）函数的零点就是方程的实数根．
3、方程、函数、图象之间的关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
二、零点存在定理及其推论
1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，
那么，函数在区间内至少有一个零点，
即存在，使得，这个也就是方程的解。
【注意】（1）定义不能确定零点的个数；
（2）不满足定理条件时依然可能有零点；
（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；
（4）定理反之是不成立的.
2、重要推论：
（1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，
且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.
（2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，
函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则
三、零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，
结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；
若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
四、判断函数零点所在区间的步骤
第一步：将区间端点代入函数求函数的值；
第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断；
第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点；
若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。
五、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
题型一 求函数的零点
【例1】函数的图象如图所示，则函数的零点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据函数的图象，可知与轴的交点为，
所以函数的零点为2，故选：B.
【变式1-1】若是函数的一个零点，则的另一个零点为（ ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
【答案】A
【解析】因为是函数的一个零点，
所以，解得．
设另一个零点为，则，解得，
所以的另一个零点为1．故选：A．
【变式1-2】（多选）已知，则函数的零点为（ ）
A． B．﹣1 C． D．1
【答案】BD
【解析】∵f（x），则函数的零点即为的根，
当时，，解得，满足，
当时，，解得，可得满足，
当时，，解得，不满足，
综上，函数的零点有和1，故选：BD．
【变式1-3】函数的零点为（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【答案】A
【解析】令，即，
所以，因此x＝10，
所以函数的零点为10，故选：A.
【变式1-4】已知指数函数的解析式为，则函数的零点为_________．
【答案】1
【解析】由得，．
故答案为：1．
题型二 函数零点个数的判断
【例2】已知函数则函数的零点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【详解】当时，，因为，所以舍去；
当时，或，满足.
所以或.
函数的零点个数为2个.故选：C
【变式2-1】函数与函数的图像的交点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函数与函数的图像，如图所示
由图像可知，函数与函数的图像的交点的个数有个，故选：B
【变式2-2】函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意，令，即，
则函数的零点个数，
等价于两个函数与的交点个数，
与两函数的图象如下图所示：
由图知，两个函数有个交点，
故函数的零点个数是.故选：B．
【变式2-3】函数的零点个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
且，
故函数为偶函数，
当时，，
考虑函数在内的零点个数，
令，可得，
作出函数、在上的图象如右图所示，
由图可知，函数、在上的交点个数为，
故函数在上的零点个数为，
因此，函数的零点个数为.故选：D.
【变式2-4】已知函数是周期为的周期函数，且当时时，，则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】零点个数就是图象交点个数，
作出图象，如图：
由图可得有个交点，
故有个零点．故选：B ．
【变式2-5】25．已知，则函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，当时且递减，当时且递减，
令，则，可得或，如下图示：
由图知：时有一个零点，时有两个零点，
故共有3个零点.故选：C
题型三 函数零点所在区间的判断
【例3】函数的零点所在区间为：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以函数单调递减，
，
∴函数的零点所在区间为.故选：C.
【变式3-1】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数为增函数，也为增函数，
所以函数为连续增函数，
又，，
可得，
由零点判断定理可得函数的零点所在区间为，故选：B.
【变式3-2】函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.故选：C
【变式3-3】函数零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数在R上单调递增，
且，，
所以函数的零点所在的区间是，故选：A.
【变式3-4】函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，函数，
可知函数为定义域上的单调递减函数，
又由，即，
根据零点的存在性定理，可得函数的零点所在的区间是.故选：B.
题型四 根据函数零点所在区间求参数范围
【例4】若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围______．
【答案】
【解析】函数在区间上为增函数，
若函数在区间上有零点，则，，
即，解之得
故答案为：
【变式4-1】已知函数的零点，则整数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，
因为，，
又函数在R上为单调递增函数，
所以存在唯一的零点，
又零点，所以．故选：D．
【变式4-2】若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：函数在区间上为单调增函数，
故，
解得，故选：A
【变式4-3】若函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数f(x)定义域是，
因函数，在上都是单调递增的，
而，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
当时，无零点，
于是得当时，函数在上连续且单调，
因函数在区间上有零点，
则由零点存在定理有：，
即，解得，
所以实数a的取值范围是.故选：C
题型五 已经零点个数求参数范围
【例5】函数有且仅有1个零点，则m的取值范围为_______.
【答案】或
【解析】∵函数有且仅有1个零点，
∴函数的图象与直线有一个交点，
由图可得或，
∴或.
故答案为：或.
【变式5-1】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，作出f(x)图像，
函数有两个零点，等价于y＝f(x)与y＝b图像有两个交点，
则．故选：D．
【变式5-2】已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵函数有两个不同的零点，
∴函数的图象与直线有两个交点，
作出函数与直线的图象，如图
则，即，
∴.故选：D.
【变式5-3】已知函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数在区间上单调递减，且方程的两根为.
若时，由解得或，满足题意.
若时，，，当时，，
即函数在区间上只有一个零点，
因为函数恰有2个零点，所以且.
当时，，，此时函数有两个零点，满足题意.
综上，，故选：D
【变式5-4】已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数，
当时，函数为单调递增函数，其中，
当时，函数为单调递增函数，且，
又由函数恰有两个不同的零点，
即为有两个不等的实数根，
即与的图象有两个不同的交点，
如图所示，当恰好过点时，
两函数的图象有两个不同的交点，
结合图象，要使得函数恰有两个不同的零点，
则满足，即实数的取值范围是.故选：D.
【变式5-5】已知定义在R上的函数满足，当时，，函数，若函数在区间上恰有8个零点，则a的取值范围为（ ）
A．（2，4） B．（2，5） C．（1，5） D．（1，4）
【答案】A
【解析】函数在区间上恰有8个零点，
则函数与函数在区间上有8个交点
由知，是R上周期为2的函数，
作函数与函数在区间上的图像如下，
由图像知，当时，图像有5个交点，
故在上有3个交点即可，则；
故，解得；故选：A．
【变式5-6】若定义在上的奇函数在区间上的解析式为，则关于x的方程的解的个数可能为（ ）
A．2或4或5或6 B．2或4或6 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由题目给出的的解析式和奇偶性可得的图象如下：
令，则原方程可化为，其判别式，
故该方程有两个不相等的非零实根、，且，不妨设.
①若时，有1解，此时，有3解，所以原方程有4解；
②若时，有2解，此时，有2解，所以原方程有4解；③
时，有3解，此时，有1解，所以原方程有4解；
综上所述，故选：C.

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