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4.5.2 用二分法求方程的近似解
一、二分法
1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法。
2、注意点：
（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；
（2）函数图象在零点附近连续不断；
（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，
比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解。
二、用二分法求函数零点
1、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点；
（3）计算，进一步确定零点所在的区间：
①若（此时），则就是函数的零点；
②若（此时），则令；
③若（此时），则令.
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；
否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；
2、关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；
“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，
如计算，精确到0.01，即0.33
（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；
此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。
题型一 二分法的概念理解
【例1】下列关于二分法的叙述，正确的是（ ）
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只有求函数零点时才用二分法
【变式1-1】用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二 用二分法求方程的近似解
【例2】方程在区间上的根必定在（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
【变式2-1】若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25
【变式2-2】若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．
A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
【变式2-3】求方程的一个近似解（精确度0.1）
题型三 用二分法求函数的零点
【例3】用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式3-1】已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
1 2 1.5 1.75 1.7656 1.7578 1.7617
－6 3 －2.625 －0.14063 0.035181 －0.05304 －0.0088
要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次1.75 B．6次1.76 C．7次1.75 D．7次1.76
【变式3-3】用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，，，则函数的一个精确到的正实数零点的近似值为（ ）
A． B． C． D．4.5.2 用二分法求方程的近似解
一、二分法
1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法。
2、注意点：
（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；
（2）函数图象在零点附近连续不断；
（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，
比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解。
二、用二分法求函数零点
1、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
（1）确定零点的初始区间，验证；
（2）求区间的中点；
（3）计算，进一步确定零点所在的区间：
①若（此时），则就是函数的零点；
②若（此时），则令；
③若（此时），则令.
（4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；
否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；
2、关于精确度
（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，
这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；
“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，
如计算，精确到0.01，即0.33
（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；
此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值。
题型一 二分法的概念理解
【例1】下列关于二分法的叙述，正确的是（ ）
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只有求函数零点时才用二分法
【答案】B
【解析】根据二分法的概念可知，
只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，
才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；
用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位，故B正确；
二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；
求方程的近似解也可以用二分法，故D错.故选：B.
【变式1-1】用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是单调增函数，故是单调增函数，其零点至多有一个；
又，
故用二分法求其零点，可以取得初始区间是.故选：B.
【变式1-2】观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图象可知，BD选项中函数无零点，AC选项中函数有零点，
C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，
故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点.
故选：A
【变式1-3】下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】观察图象与轴的交点，若交点附近的函数图象连续，
且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点．
故选：B.
【变式1-4】下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】选项恒成立，不存在区间使，
所以不能用二分法求零点.故选：C
题型二 用二分法求方程的近似解
【例2】方程在区间上的根必定在（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
【答案】D
【解析】设，
则，，
因为且，所以函数在上必有零点.
又因为且，所以函数在上必有零点.
又因为且，所以函数在上必有零点.
即方程的根必在上.故选：D
【变式2-1】若函数在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
f（x） -1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25
【答案】B
【解析】由，，且为连续函数，
由零点存在性定理知：区间内存在零点，
故方程的一个近似根可以为1.32，B选项正确，
其他选项均不可.故选：B
【变式2-2】若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）．
A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以不满足精确度；
因为，所以，所以函数在内有零点，
因为，所以满足精确度；
所以方程的一个近似根（精确度）
是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .
【变式2-3】求方程的一个近似解（精确度0.1）
【答案】2.4375
【解析】设.因为
在区间内单调递增，
所以在区间内，方程有唯一的实数根为取2与3的平均数
因为，所以，再取2与2.5的平均数2.25，
因为，所以；如此继续下去，有
，所以；
，所以；
因为，
所以方程的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375
题型三 用二分法求函数的零点
【例3】用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】因为，
由零点存在性知：零点，
根据二分法，第二次应计算，即，故选：D.
【变式3-1】已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上显然是连续函数，
和在上都是增函数，
当时，，
所以在上恒成立；
当时，，
所以在上也恒成立；
当时，，
所以在上恒成立，
又，，
根据函数零点存在性定理，可得的其中一个零点的初始区间可为故选：C.
【变式3-2】已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示：
1 2 1.5 1.75 1.7656 1.7578 1.7617
－6 3 －2.625 －0.14063 0.035181 －0.05304 －0.0088
要使零点的近似值精确度为0.01，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次1.75 B．6次1.76 C．7次1.75 D．7次1.76
【答案】D
【解析】由表格数据，零点区间变化如下：
，
此时区间长度小于，
在此区间内取近似值，等分了7次，近似解取．故选：D．
【变式3-3】用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】开区间的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，
经过此操作后,区间长度变为，
用二分法求函数在区间上近似解,
要求精确度为，
，解得，故选：C.
【变式3-4】用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，，，则函数的一个精确到的正实数零点的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意根据函数零点的判定定理可得，函数零点所在的区间为，
则函数的一个精确度为的正实数零点的近似值可以为，故选：C．

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