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5.2.1 三角函数的概念
一、三角函数的定义
1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：
叫做的正弦函数，记作.即；
叫做的余弦函数，记作.即；
叫做的正切函数，记作.即。
2、三角函数定义域
正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
3、三角函数另一种定义
设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，
点P与原点的距离为：，则：，，.
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关
二、三角函数的符号
【口诀记忆】
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，
在第二象限只有正弦值为正，在第三象限
只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
三、诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：
其中
注意：
（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．
（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．
四、特殊角的三角函数值
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
0
0 1 0 －1
1 0 - - - －1 0
0 1 －1 0
五、三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；
3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值
方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论）
题型一 利用三角函数的定义求值
【例1】已知点为角的终边上的一点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】若角的终边与单位圆的交点为，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-2】已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-3】若点在角的终边上，则的值是
【变式1-4】在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴，终边为射线：，则______.
【变式1-5】已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-6】在平面直角坐标系xOy中，角与均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 三角函数的符号判断
【例2】已知且，则是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【变式2-1】若角满足，，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-2】坐标平面内点的坐标为，则点位于第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式2-3】若是第四象限角，则点在（ ）
A．第二或第四象限 B．第一或第三象限
C．第三或第四象限 D．第一或第二象限
【变式2-4】设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-5】若，则θ角是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型三 圆上的动点与旋转点
【例3】点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为__．
【变式3-1】已知某质点从直角坐标系xOy中的点出发，沿以O为圆心，2为半径的圆周作逆时针方向的匀速圆周运动到达B点，若B在y轴上的射影为C，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知P是半径为3的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy，若，则点P到x轴的距离d关于时间t（单位：）的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型四 诱导公式一应用
【例4】求值：
（1）tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
（2）.
【变式4-1】求下列各式的值
（1） （2）．
【变式4-2】计算下列各式的值：
（1）； （2）；
【变式4-3】求下列各式的值
（1） （2）．5.2.1 三角函数的概念
一、三角函数的定义
1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：
叫做的正弦函数，记作.即；
叫做的余弦函数，记作.即；
叫做的正切函数，记作.即。
2、三角函数定义域
正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
3、三角函数另一种定义
设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，
点P与原点的距离为：，则：，，.
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关
二、三角函数的符号
【口诀记忆】
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，
在第二象限只有正弦值为正，在第三象限
只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
三、诱导公式一
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：
其中
注意：
（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．
（2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)．
四、特殊角的三角函数值
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
0
0 1 0 －1
1 0 - - - －1 0
0 1 －1 0
五、三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法
1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；
3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值
方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论）
题型一 利用三角函数的定义求值
【例1】已知点为角的终边上的一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点为角的终边上的一点，
所以，故选：C
【变式1-1】若角的终边与单位圆的交点为，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】.故选：B．
【变式1-2】已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，若，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为角终边经过点，且，
所以，解得，故选：C
【变式1-3】若点在角的终边上，则的值是
【答案】1
【解析】据题意，得.
【变式1-4】在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴，终边为射线：，则______.
【答案】
【解析】在直角坐标系中，若角始边为轴的非负半轴，
终边为射线，在射线上任取一点，
则
【变式1-5】已知角的终边经过点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】角的终边经过点，由，
可得，所以，
所以，，
所以.故选：A．
【变式1-6】在平面直角坐标系xOy中，角与均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设角a与β的终边分别与单位圆交于点、，
因为它们的终边关于y轴对称，
所以且，
因为，所以，
所以．故选：A.
题型二 三角函数的符号判断
【例2】已知且，则是（ ）
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【答案】D
【解析】，则是第三、四象限的角
，则是第二、四象限的角
∴是第四象限的角，故选：D．
【变式2-1】若角满足，，则在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】，是第二或第四象限角；
当是第二象限角时，，，满足；
当是第四象限角时，，，则，不合题意；
综上所述：是第二象限角.故选：B.
【变式2-2】坐标平面内点的坐标为，则点位于第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【解析】，，
则点位于第二象限，故选：B
【变式2-3】若是第四象限角，则点在（ ）
A．第二或第四象限 B．第一或第三象限
C．第三或第四象限 D．第一或第二象限
【答案】C
【解析】因为是第四象限角，即，，
所以，．
当时，，，此时是第二象限角，
则，，点P在第三象限；
当时，，，此时是第四象限角，
则，，点P在第四象限．
所以点P在第三或第四象限．故选：C.
【变式2-4】设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为是第三象限角，所以，，
所以，，则是第二或第四象限角，
又，即，所以是第四象限角.故选：D．
【变式2-5】若，则θ角是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由对数函数的定义域可知：
，，，
又，所以有，
所以角是第二象限角.故选：B
题型三 圆上的动点与旋转点
【例3】点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为__．
【答案】（，）
【解析】如图所示，点P沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，
则∠xOQ，∴Q点坐标为（cos，sin），
即（，）．
故答案为：．
【变式3-1】已知某质点从直角坐标系xOy中的点出发，沿以O为圆心，2为半径的圆周作逆时针方向的匀速圆周运动到达B点，若B在y轴上的射影为C，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点得坐标为，
根据三角函数定义可知：，
则
∴故选：C．
【变式3-2】已知单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，若点的横坐标为，则点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由单位圆上第一象限一点沿圆周逆时针旋转到点，
点的横坐标为，所以，
即，
所以，
设点的横坐标为，
则.故选：B
【变式3-3】已知P是半径为3的圆形砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置开始，按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为.如图，以砂轮圆心为原点，建立平面直角坐标系xOy，若，则点P到x轴的距离d关于时间t（单位：）的函数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】经过t秒后，点P在角的终边上，
由三角函数定义可知，点P到x轴的距离.故选：D
【变式3-4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2022次旋转后，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，过点作轴与点，
在直角中，，
所以，
因为，所以，可得，
由题意，
所以点的坐标次一个循环，即周期为，
又因为，所以.故选：B.
题型四 诱导公式一应用
【例4】求值：
（1）tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
（2）原式＝sincos＋tan·cos
＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.
【变式4-1】求下列各式的值
（1） （2）．
【答案】（1） （2）8
【解析】（1）．
（2）．
【变式4-2】计算下列各式的值：
（1）； （2）；
【答案】（1）; （2）
【解析】（1）原式
．
（2）．
【变式4-3】求下列各式的值
（1） （2）．
【答案】（1）; （2）0
【解析】（1）
（2）．

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