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5.2.2 同角三角函数的基本关系
一、同角三角函数的基本关系
1、平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1
2、商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切
注意以下三点：
（1） “同角”有两层含义：
一是“角相同”，
二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，
如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
（2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，
sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
二、三角函数求值问题处理方法
1、同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．
2、已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口．
三、三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
四、三角函数恒等式证明
证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
题型一 sina、cosa、tana知一求二
【例1】已知，在第二象限，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由及是第二象限角，得，
所以.故选：C
【变式1-1】已知，且为第四象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为第四象限角，所以．故选：D.
【变式1-2】已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵为第二象限角，，
∴．故选：B．
【变式1-3】已知角终边在第一象限，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，在第一象限，则，
所以.故选：C.
【变式1-4】已知A为锐角，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵A为锐角，∴，，
∵，
∴，
∴
题型二 正、余弦齐次式的应用
【例2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故选：C．
【变式2-1】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因，则，
所以.故选：C
【变式2-2】设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因，则，解得，
所以.故选：B
【变式2-3】已知，求下列各式的值.
（1）； （2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以原式
（2）因为，
所以
.
【变式2-4】已知，则＝（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【解析】因为
所以
，故选：A
【变式2-5】若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以
.故选：A
【变式2-6】（多选）若，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】因为，
所以，
则，
即，解得或.故选：AD.
题型三 sinacosa、sina±cosa知一求二
【例3】的三个内角为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以为，，
故可得，故，
则.故选：D.
【变式3-1】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
，，，
，所以.故选：C
【变式3-2】为三角形ABC的一个内角，若，则这个三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【解析】因为，
所以.
因为，
所以A是钝角.
所以三角形是钝角三角形.故选：D.
【变式3-3】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，即，
所以，
因此.故选:B
【变式3-4】已知，是关于x的一元二次方程的两根．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，是关于x的一元二次方程的两根，
所以，，且，
所以，
所以，得，满足，
所以，即
（2）因为，
又因为，所以，所以
所以
题型四 三角函数化简求值问题
【例4】（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为，所以，所以.故选：B
【变式4-1】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
当是第一象限角时，，
当是第二象限角时，，
当是第三象限角时，，
当是第四象限角时，，
综上，函数值域为．故选：C．
【变式4-2】化简：（是第二、三象限角）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】．
当是第二、第三象限角时，
原式． 故选：C．
【变式4-3】化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】．故选：D
【变式4-4】化简：若，则____________.
【答案】
【解析】
因为，所以，，且
所以原式
故答案为：.
题型五 三角恒等式的证明问题
【例5】求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）
.
所以原式成立.
（2）
.
所以原式成立.
【变式5-1】求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）
.
所以原式成立.
（2）
.
所以原式成立.
【变式5-2】求证：＝.
【答案】证明见解析
【解析】证明：∵右边＝＝
＝＝＝＝左边，
∴＝.5.2.2 同角三角函数的基本关系
一、同角三角函数的基本关系
1、平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1
2、商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切
注意以下三点：
（1） “同角”有两层含义：
一是“角相同”，
二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，
如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
（2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，
sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
二、三角函数求值问题处理方法
1、同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．
2、已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口．
三、三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
四、三角函数恒等式证明
证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：
①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．
②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．
③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．
④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
题型一 sina、cosa、tana知一求二
【例1】已知，在第二象限，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知，且为第四象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知角终边在第一象限，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】已知A为锐角，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
题型二 正、余弦齐次式的应用
【例2】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】设，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】已知，求下列各式的值.
（1）； （2）.
【变式2-4】已知，则＝（ ）
A． B．2 C． D．6
【变式2-5】若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-6】（多选）若，则可以是（ ）
A． B． C． D．
题型三 sinacosa、sina±cosa知一求二
【例3】的三个内角为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】为三角形ABC的一个内角，若，则这个三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【变式3-3】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】已知，是关于x的一元二次方程的两根．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
题型四 三角函数化简求值问题
【例4】（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】化简：（是第二、三象限角）（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】化简：若，则____________.
题型五 三角恒等式的证明问题
【例5】求证：
（1）；
（2）.
【变式5-1】求证：
（1）；
（2）.
【变式5-2】求证：＝.

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