资源简介

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
一、正弦函数、余弦函数的性质
图象
定义域
值域 [-1,1] [-1,1]
最值
周期性
奇偶性 奇 偶
单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减
对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心，
二、周期函数的定义
函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.
1、定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.
2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
3、周期函数的周期公式
（1）一般地，函数的最小正周期
（2）若函数的周期是，则函数的周期为,
三、三角函数的值域求法
一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．
三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)．
（2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．
（3）对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论．
题型一 正余弦函数的周期性
【例1】求下列函数的周期：
（1）； （2）； （3）；
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）正弦函数的周期是，所以所求函数的周期是；
（2）余函数的周期是，所以所求函数的周期是；
（3）余函数的周期是，所以所求函数的周期是．
【变式1-1】的最小正周期是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】因为，
因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，
所以的最小正周期为.故选：A.
【变式1-2】下列函数中，以为周期且在区间 单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A选项，由于的周期为 ，故A选项不正确；
对于Ｂ选项，由于的周期为，故B选项不正确；
对于C选项，由于的最小正周期为，在区间上，
单调递增，故C选项正确；；
对于D选项，由于的最小正周期为，
在区间上，单调递减，故D选项不正确．故选：C．
【变式1-3】函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】A
【解析】∵函数，
∴函数为最小正周期为的奇函数.故选：A.
【变式1-4】若函数两零点间的最小距离为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为函数两零点间的最小距离为，
所以，所以，所以，解得：.故选：A
【变式1-5】已知，则____________.
【答案】
【解析】函数的最小正周期为，
当时，，，
，，
，，
所以，，
，因此，.
故答案为：.
题型二 正余弦函数的奇偶性
【例2】判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）函数为奇函数；（2）函数为非奇非偶函数；
（3）函数既是奇函数又是偶函数
【解析】（1）函数的定义域为R,
故，
故函数为奇函数
（2）函数定义域为,不关于原点中心对称，
故函数为非奇非偶函数
（3）由，得函数定义域为，关于原点中心对称，
此时，
则有，且
故函数既是奇函数又是偶函数
【变式2-1】下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对A，由，不是奇函数；
对B，由，不是奇函数；
对C，由，不是奇函数；
对D，由，
又的定义域为关于原点对称，所以D正确．故选：D
【变式2-2】已知函数为偶函数，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】因函数为偶函数，则，
显然时，，即A满足，B，C，D都不满足.故选：A
【变式2-3】若函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若函数是奇函数，
则，得故选：C
【变式2-4】函数的图象关于原点对称，则的最大负值为______．
【答案】
【解析】函数的图象关于原点对称，
，，
令，可得的最大负值为，
故答案为：．
【变式2-5】已知函数（，，为实数），且，则（ ）
A． B．1 C． D．4045
【答案】C
【解析】设，，
则，是奇函数，
，
所以，
．故选：C．
题型三 正余弦函数的对称性
【例3】函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于函数，令，解得，
故函数的对称轴方程为，
令，可知函数的一条对称轴为.故选：C
【变式3-1】下列关于函数的图象，说法正确的是（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
【答案】C
【解析】A：，即关于对称，故错误；
B：，即关于对称，故错误；
C：，即关于对称，故正确；
D：，故错误.故选：C.
【变式3-2】已知函数，．若方程的两个解为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，，则，
令，即函数，关于直线对称，
则在上单调递增，在上单调递减，所以，
故，故选：B
【变式3-3】如果直线是函数图像的一条对称轴，则的最小正值为___________.
【答案】
【解析】由已知，解得
当，取最小正值，且为故答案为： .
【变式3-4】已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的图象关于点中心对称，
所以，则，即,
故的最小值为.故选：B
【变式3-5】已知对任意都有，则等于________．
【答案】
【解析】因对任意都有，
则直线是图象的一条对称轴，所以.
故答案为：
题型四 正余弦函数的单调性
【例4】函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为；故选：B
【变式4-1】函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，，解得，．
所以函数的单调递增区间是故选：C．
【变式4-2】的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，
令，
解得，
即，即，故选：C.
【变式4-3】函数在上的增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，又，所以，
令，解得，
所以函数在上的增区间是．故选：C．
【变式4-4】(多选)函数f(x)＝在[－π，π]上的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】在[－π，π]上，依据函数图象的对称性可知：
t＝|cos x|的单调递增区间是及，
而f(x)依|cos x|取值的递增而递减，故及为f(x)的单调递减区间．
故选:AB.
【变式4-5】函数的单调增区间为__________．
【答案】，
【解析】由题设有即，
所以，故，
故函数的定义域为.
设，
令，故，
故函数的减区间为，
所以的增区间为.
故答案为：
题型五 根据正余弦函数单调性求参数
【例5】设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，，可得，
根据正弦函数的单调性，可得：，又，
所以，即.故选：D.
【变式5-1】已知函数在上单调递增，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，
则，解得，
当时，，结合选项可知，只有B选项符合.故选：B.
【变式5-2】已知函数在区间内单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，即，
又，所以，解得，
又，所以，所以，
要使函数在内单调递减，
所以，解得，即；故选：B
【变式5-3】设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
由，，可得，
根据正弦函数的单调性，可得：，又，
所以，即.故选：D.
【变式5-4】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】由题意可知的单调递减区间为，
由，得，，
即函数的单调递减区间为，
因为在区间上单调递减，
所以，解得，，
只能取；
当时，，即，
所以的取值范围是．
故答案为:.
【变式5-5】已知函数在上不单调，则的最小值为___________.
【答案】3
【解析】函数在上不单调，
当函数为单调递增时，即，整理得：，，
由于函数在上单调递增时，，
即：，整理得：当时，；①
当函数单调递减时；，
整理得：，，
由于函数在上单调递减时，，
即，整理得：当时，，②
由于函数在上不单调，且，
所以的取值为①②所表示的不等式的补集，，
所以的最小值为3．故答案为：3．
题型六 比较三角函数值的大小
【例6】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1），； （2），；
（3），； （4），．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）在区间上递增，所以.
（2）在区间上递增，所以.
（3），，
在区间上递增，所以.
（4）在区间上递减，所以.
【变式6-1】按从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
因为，在上为增函数，
所以，
所以，故选：B
【变式6-2】若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，解得，
故在上递增，
由函数的周期性与对称性易得函数在上递减，关于对称，
，，，
在减区间，3在增区间，并且比离对称轴更近些，
所以，所以．故选：A
【变式6-3】已知定义在R上的函数满足，且当时，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设，即的周期为，
又，，
，
所以，，
，
又，而在上递减，
所以.故选：D
【变式6-4】（多选）在中，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【解析】对于选项：由,若,则，
由正弦函数在上单调递增，可得；
若,由于,∴,
∴,即.
综上可知A正确；
对于选项B：，满足,
但，故B错误；
对于选项：∵角A，角都在之间，而余弦函数在之间是单调递减函数，
∴若，则，故C正确；
对于选项：由,若,则，
由余弦函数在上单调递减，可得；
若,由于,∴,
∴,∴，
∴，
综上可知D正确；故选：ACD.
题型七 正余弦函数的最值问题
【例7】函数，的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1 B．， C．1， D．1，
【答案】D
【解析】由题设，，故，
所以最大值和最小值分别为1，.故选：D
【变式7-1】函数在区间上的最大值为（ ）
A．-1 B． C． D．0
【答案】C
【解析】的图像如图所示，
因为，所以
所以当时，取得最大值，即
故答案为：
【变式7-2】函数取最大值时的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】因为，
由得，
所以当时，，此时，故选：B
【变式7-3】已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方程在内有解，
即在内有解，
令，，则，
所以，解得.故选：C.
【变式7-4】若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得.
若在开区间内存在最小值，
则，解得，故选:B.
【变式7-5】若函数在处取得最小值3，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，不合题意，
若，由已知得，解得，与矛盾，舍去；
若，由已知得，解得，，
解得，又，所以，故选：C.
题型八 正余弦函数综合应用
【例8】已知函数，，
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；
（3）若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.
【答案】（1）.
（2）时，；时，.
（3）
【解析】（1），解不等式得： ，
所以函数的单调递减区间为.
（2），即时， ，
，即 时，；
（3）时，，，
时， ， ，
要使得，只需，.
【变式8-1】已知函数，.
（1）求的最小正周期；
（2） 有零点，求的范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由于，故其最小正周期为；
（2）因为 有零点，
故有解，
即有解，
因为，所以，
故.
【变式8-2】设函数，函数的最小值为，且为函数的一个零点．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），；
为的一个零点，，解得：，
又，，；
令，解得：，
的单调递增区间为.
（2）当时，，，；
对任意的，恒成立，
，解得：；
即实数的取值范围为.
【变式8-3】已知函数的最大值为，最小值为．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的最小值，并求出取最小值时的取值集合．
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）由题意，易知,
∵，∴，∴;
（2）由（1）知，，∴，
∵，∴,
∴的最小值为，此时，则，，
∴，，
故小值时的取值集合为．5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
一、正弦函数、余弦函数的性质
图象
定义域
值域 [-1,1] [-1,1]
最值
周期性
奇偶性 奇 偶
单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减
对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心，
二、周期函数的定义
函数，定义域为I，当时，都有，其中T是一个非零的常数，则是周期函数，T是它的一个周期.
1、定义是对I中的每一个值来说的，只有个别的值满足或只差个别的值不满足都不能说T是的一个周期.
2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
3、周期函数的周期公式
（1）一般地，函数的最小正周期
（2）若函数的周期是，则函数的周期为,
三、三角函数的值域求法
一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．
三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)．
（2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．
（3）对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论．
题型一 正余弦函数的周期性
【例1】求下列函数的周期：
（1）； （2）； （3）；
【变式1-1】的最小正周期是（ ）
A． B． C．2 D．3
【变式1-2】下列函数中，以为周期且在区间 单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
【变式1-4】若函数两零点间的最小距离为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-5】已知，则____________.
题型二 正余弦函数的奇偶性
【例2】判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）.
【变式2-1】下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知函数为偶函数，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．0
【变式2-3】若函数是奇函数，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】函数的图象关于原点对称，则的最大负值为______．
【变式2-5】已知函数（，，为实数），且，则（ ）
A． B．1 C． D．4045
题型三 正余弦函数的对称性
【例3】函数的图象的一个对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】下列关于函数的图象，说法正确的是（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于点对称
【变式3-2】已知函数，．若方程的两个解为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】如果直线是函数图像的一条对称轴，则的最小正值为___________.
【变式3-4】已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-5】已知对任意都有，则等于________．
题型四 正余弦函数的单调性
【例4】函数的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】函数在上的增区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】(多选)函数f(x)＝在[－π，π]上的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】函数的单调增区间为__________．
题型五 根据正余弦函数单调性求参数
【例5】设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知函数在上单调递增，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知函数在区间内单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】设，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为______.
【变式5-5】已知函数在上不单调，则的最小值为__________.
题型六 比较三角函数值的大小
【例6】利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1），； （2），；
（3），； （4），．
【变式6-1】按从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-3】已知定义在R上的函数满足，且当时，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-4】（多选）在中，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
题型七 正余弦函数的最值问题
【例7】函数，的最大值和最小值分别为（ ）
A．1，-1 B．， C．1， D．1，
【变式7-1】函数在区间上的最大值为（ ）
A．-1 B． C． D．0
【变式7-2】函数取最大值时的值为（ ）
A． B． C． D．0
【变式7-3】已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-5】若函数在处取得最小值3，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
题型八 正余弦函数综合应用
【例8】已知函数，，
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数的最大值、最小值及对应的x值的集合；
（3）若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围.
【变式8-1】已知函数，.
（1）求的最小正周期；
（2） 有零点，求的范围.
【变式8-2】设函数，函数的最小值为，且为函数的一个零点．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式8-3】已知函数的最大值为，最小值为．
（1）求a，b的值；
（2）求函数的最小值，并求出取最小值时的取值集合．

展开更多......

收起↑