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基本不等式求最值的6种常用方法
一、基本不等式常用的结论
1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
推论：（）
2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
推论：（，）；
3、
二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三、利用基本不等式求最值的方法
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为与，分子为，
设
∴，解得：
4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
题型一 直接法求最值
【例1】已知．则的最小值为
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】，则，当且仅当即时取得最小值6．选：．
【变式1-1】已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为正数满足 ，
所以有，当且仅当时取等号，故选：B
【变式1-2】已知，，若，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】，
当且仅当，即，时，等号成立．故选：A．
【变式1-3】已知，则的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．
【答案】C
【解析】∵，
∴当且仅当时等号成立.故选：C
【变式1-4】已知，，且满足，则的最大值为__________.
【答案】3
【解析】因为，，且满足，
则
当且仅当时取等号，
所以的最大值为3.
【变式1-5】已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，
当且仅当时取等号，
此时的最大值为.故选：D.
【变式1-6】若，，，则的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．4 D．6
【答案】C
【解析】，当且仅当时取等号，
，
当且仅当时取等号.故选：C.
【变式1-7】若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．故选：A．
题型二 配凑法求最值
【例2-1】若函数在处取最小值，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】
等号当且仅当时，即时取到等号.
【例2-2】设，求函数的最大值。
【答案】
【解析】∵∴
∴
当且仅当即时等号成立
【变式2-1】已知，则的最大值为________．
【答案】1
【解析】因为，所以，
则,
当且仅当，即时，取等号．
故的最大值为1.
【变式2-2】已知实数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，则，
则，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值是.故选：A.
【变式2-3】设，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】,
当且仅当和，即时取等号，故选：D.
【变式2-4】设，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】，，
，
当且仅当，
即时取等号故选：A
题型三 消元法求最值
【例3】已知正实数，满足，则的最大值为______.
【答案】
【解析】依题意正实数，满足，，
，
当且仅当，时等号成立.
【变式3-1】已知正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
【答案】B
【解析】∵，∴，
∴，
当且仅当，即时取等号，故选：B.
【变式3-2】设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为正实数、、满足，则，
则，
当且仅当时取等号.
故的最大值为1.故选：C.
【变式3-3】设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当且仅当时成立，
因此
所以时等号成立．故选：C．
【变式3-4】已知，则的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
【答案】A
【解析】因为，则，
于是得，
当且仅当，即时取“=”，
所以当时，取最小值14.故选：A
题型四 乘“1”法求最值
【例4】已知，，，求的最小值.
【答案】2
【解析】，，
当且仅当时，等号成立
当时，的最小值为2.
【变式4-1】已知，，且，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，，
当且仅当，即，时，等号成立，故选：B
【变式4-2】若正数，满足，则的最小值为
A． B． C．5 D．6
【答案】
【解析】由得，
，
当且仅当时取等号．
故的最小值是
【变式4-3】已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得，
又由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即的最大值为.故选：D.
【变式4-4】已知正数a，b满足，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．8 D．9
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等式成立，故选：D．
题型五 简化分母换元法求最值
【例5】已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】A
【解析】，，又，且，
，
当且仅当，解得，时等号成立，
故的最小值为9，故选：A．
【变式5-1】设为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可得，
当且仅当时成立，故选：A
【变式5-2】已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，因为，
所以，
因为，所以，
因此，
因为是正实数，所以，
当且仅当时取等号，
即时取等号，即时取等号，故选：A
【变式5-3】设均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．9 D．6
【答案】A
【解析】因为均为正实数，
所以 ，
当且仅当，即时取等号.
因此的最小值为.故选：A.
【变式5-4】实数a，b满足，，，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】令，，则，，且，，，
所以，
当且仅当时取等号.故选：D.
【变式5-5】已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，
所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立，
此时，.故选：A.
题型六 构造不等式法求最值
【例6】若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
又，，
令，则，
，即，当且仅当时，取等号，
的取值范围是，．故选：A．
【变式6-1】已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】由，得，
又因为，所以，
即，
解得或，
又，所以，
当且仅当，即时取等号．故选：B．
【变式6-2】若，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．81
【答案】D
【解析】由题意得，
得，解得，即，
当且仅当时，等号成立．故选：D
【变式6-3】若实数，满足，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】由于，(当且仅当时取等号)，
∴，又，
所以，
故，即的取值范围为.基本不等式求最值的6种常用方法
一、基本不等式常用的结论
1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
推论：（）
2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
推论：（，）；
3、
二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
三、利用基本不等式求最值的方法
1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系
2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为与，分子为，
设
∴，解得：
4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
题型一 直接法求最值
【例1】已知．则的最小值为
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式1-1】已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知，，若，则的最大值为（ ）．
A． B． C． D．1
【变式1-3】已知，则的最小值是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．
【变式1-4】已知，，且满足，则的最大值为__________.
【变式1-5】已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-6】若，，，则的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．4 D．6
【变式1-7】若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型二 配凑法求最值
【例2-1】若函数在处取最小值，则（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】设，求函数的最大值。
【变式2-1】已知，则的最大值为________．
【变式2-2】已知实数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】设，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-4】设，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
题型三 消元法求最值
【例3】已知正实数，满足，则的最大值为______.
【变式3-1】已知正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
【变式3-2】设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】已知，则的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
题型四 乘“1”法求最值
【例4】已知，，，求的最小值.
【变式4-1】已知，，且，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】若正数，满足，则的最小值为
A． B． C．5 D．6
【变式4-3】已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】已知正数a，b满足，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．8 D．9
题型五 简化分母换元法求最值
【例5】已知，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【变式5-1】设为正数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】设均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．16 C．9 D．6
【变式5-4】实数a，b满足，，，则的最小值是（ ）
A．4 B．6 C． D．
【变式5-5】已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型六 构造不等式法求最值
【例6】若实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【变式6-2】若，，且，则的最小值为（ ）
A．9 B．16 C．49 D．81
【变式6-3】若实数，满足，则的取值范围为______．

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