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一元二次不等式恒成立和有解问题
一、一元二次不等式在实数集上的恒成立
1、不等式对任意实数恒成立 或
2、不等式对任意实数恒成立 或
【注意】对于二次不等式恒成立问题，
恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；
恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．
二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法
方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，
可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，
则恒成立 ，即；恒成立 ，即.
三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；
一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.
即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
1、对任意的，恒成立 ；
若存在，有解 ；
若对任意，无解 .
2、对任意的，恒成立 ；
若存在，有解 ；
若对任意，无解 .
题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题
【例1】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式1-3】已知关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【例2】若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【变式2-1】已知对恒成立，则实数的取值范围________.
【变式2-2】已知二次函数.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【变式2-3】若不等式对一切都成立，则a的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【变式2-4】不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题
【例3】当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【变式3-1】若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知，不等式恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
【变式3-3】已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四 一元二次不等式在实数集上的有解问题
【例4】已知不等式有解，则实数的取值范围为__________.
【变式4-1】若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．
【变式4-2】，使得不等式成立，则m的取值范围是___________.
【变式4-3】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．
题型五 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【例5】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】若关于的不等式在有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．一元二次不等式恒成立和有解问题
一、一元二次不等式在实数集上的恒成立
1、不等式对任意实数恒成立 或
2、不等式对任意实数恒成立 或
【注意】对于二次不等式恒成立问题，
恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；
恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方．
二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法
方法一：若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，
可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；
方法二：转化为函数值域问题，即已知函数的值域为，
则恒成立 ，即；恒成立 ，即.
三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；
一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.
即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法
不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：
1、对任意的，恒成立 ；
若存在，有解 ；
若对任意，无解 .
2、对任意的，恒成立 ；
若存在，有解 ；
若对任意，无解 .
题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题
【例1】若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，
等价于．
综上，实数的取值范围为．故选：B．
【变式1-1】“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件，故选：A.
【变式1-2】已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】当时，恒成立，符合题意；
当时，由题意有，解得，
综上，.故选：B.
【变式1-3】已知关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，不等式为，对恒成立，所以满足条件
当时，不等式为，解集为，不满足题意
当时，对应的二次函数开口向上，
的解集一定不是R，不满足题意
当，时，若不等式的解集为R，
则，解得：，综上，故选：B
【变式1-4】关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，不等式为恒成立，；
当时，不等式可化为：，
，（当且仅当，即时取等号），；
综上所述：实数的取值范围为.故选：B.
题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【例2】若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】对于任意的，不等式，
即，
因此，对于任意的，恒成立，
当时，，，
当且仅当，即时取“=”，
即当时，取得最小值4，则，
所以实数的取值范围是.
【变式2-1】已知对恒成立，则实数的取值范围________.
【答案】
【解析】因为对恒成立，
即在时恒成立，令，
则代换为，令，
由对勾函数可知，在上单增，所以，
所以.故答案为：
【变式2-2】已知二次函数.若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】不等式即为：，
当时，可变形为：，即.
又，
当且仅当，即时，等号成立，
，即.
故实数的取值范围是：.
【变式2-3】若不等式对一切都成立，则a的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】记，
要使不等式对一切都成立，则：
或或
解得或或，即.故选：D
【变式2-4】不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，对一切均大于0恒成立，
所以，或，或，
解得或，，或，
综上，实数的取值范围是，或，故选：A.
题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题
【例3】当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】
【解析】由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于的一次函数，要使题意成立只需，
即，解，即得，
解，即得，
所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．
【变式3-1】若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，
解得，所以实数x的取值范围为.故选：C
【变式3-2】已知，不等式恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，
整理得：，解得：或．
∴的取值范围为．故选：C．
【变式3-3】已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】恒成立，
即，对任意得恒成立，
令，，
当时，，不符题意，故，
当时，函数在上递增，
则，解得或（舍去），
当时，函数在上递减，
则，解得或（舍去），
综上所述，实数的取值范围是.故选：D.
【变式3-3】不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，
或，解得或，，或，
综上，实数的取值范围是，或.故选：A.
题型四 一元二次不等式在实数集上的有解问题
【例4】已知不等式有解，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】当时，，符合题意
当时，令，
由不等式有解，即，得
当时， 开口向下，满足有解，符合题意
综上，实数的取值范围为
【变式4-1】若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】当时，不等式为有实数解，所以符合题意；
当时，不等式对应的二次函数开口向下，
所以不等式有实数解，符合题意；
当时，要使不等式有实数解，
则需满足，可得，所以，
综上所述：的取值范围是.
【变式4-2】，使得不等式成立，则m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】令，则，
因为，使得不等式成立，
所以，
则m的取值范围是，
【变式4-3】若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】当时，不等式为有解，故，满足题意；
当时，若不等式有解，
则满足，解得或；
当时，此时对应的函数的图象开口向下，
此时不等式总是有解，所以，
综上可得，实数a的取值范围是.
题型五 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
【例5】已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，
设，则，，
对于 ，当且仅当时取等号，
则，故 ，故选：A
【变式5-1】已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，当时，不等式有解，
等价于“，恒成立”为真时对应a取值集合的补集
若，恒成立为真命题，
需满足且，解得．
因此p命题成立时a的范围时，故选：A．
【变式5-2】若关于的不等式在有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，其对称轴为，
关于的不等式在有解，
当时，有，
，即，可得或．故选：B．
【变式5-3】已知当时，存在使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，
由题意可得，且，
令对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增，
所以时，，
所以，解得：，
所以实数的取值范围为，故选：C.
【变式5-4】关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】在内有解，
，其中；
设，
则当时，，
，解得：，的取值范围为.

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