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一元二次方程根的分布问题
一、二次函数相关知识
对于形如的二次函数，有以下性质：
1、判别式：；求根公式：；
2、韦达定理：，；
3、二次函数对称轴，定点坐标（，）．
二、一元二次方程根的0分布
方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.
0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。
三、一元二次方程根的k分布
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即
大致图象（a>0）
得出的结论
大致图象（a<0）
得出的结论
综合结论 （不讨论a）
四、一元二次方程根在区间的分布
分布情况 两根都在内 两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内，
大致图象（）
得出的结论 或
大致图象（）
得出的结论 或
综合结论（不讨论） ——————
题型一 R上根的分布情况
【例1】设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是___.
【变式1-1】关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【变式1-3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型二 根的“0”分布
【例2】若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________.
【变式2-2】已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．
【变式2-3】一元二次方程有两个不等的非正根，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】若方程只有正根，则m的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
题型三 根的“k”分布
【例3】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
【变式3-2】若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．
【变式3-3】若关于的方程的一个根大于1、另一个根小于1，则实数的取值范围为_____.
题型四 根在区间上的分布
【例4】关于x方程在内恰有一解，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（多选）已知一元二次方程有两个实数根，且，则的值为（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【变式4-2】若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________．
【变式4-3】已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．
【变式4-4】关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-5】关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________.一元二次方程根的分布问题
一、二次函数相关知识
对于形如的二次函数，有以下性质：
1、判别式：；求根公式：；
2、韦达定理：，；
3、二次函数对称轴，定点坐标（，）．
二、一元二次方程根的0分布
方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.
0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。
三、一元二次方程根的k分布
分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即
大致图象（a>0）
得出的结论
大致图象（a<0）
得出的结论
综合结论 （不讨论a）
四、一元二次方程根在区间的分布
分布情况 两根都在内 两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内，
大致图象（）
得出的结论 或
大致图象（）
得出的结论 或
综合结论（不讨论） ——————
题型一 R上根的分布情况
【例1】设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是___.
【答案】.
【解析】∵关于x的一元二次方程没有实数根
∴
∴
解得：.
【变式1-1】关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为关于的方程有两个不等的实根
且，即：且，
解得且.故选：D.
【变式1-2】关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【解析】由题可知：，所以，
又因为，所以且.故选：B.
【变式1-3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由关于的一元二次方程有两个不相等的实根，
所以，即
解得：或故选：C.
题型二 根的“0”分布
【例2】若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为关于的方程有两个不同的正根，
所以，解得，
故实数的取值范围是.故选：C
【变式2-1】若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________.
【答案】
【解析】首先，
设方程的两根为，则，
所以，又，解得．
故答案为：．
【变式2-2】已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，
得，解得.
【变式2-3】一元二次方程有两个不等的非正根，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为一元二次方程有两个不等的非正根，
，解得，故选：C
【变式2-4】若方程只有正根，则m的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【解析】方程只有正根，则
当，即时，
当时，方程为时，，符合题意；
当时，方程为时，不符合题意.
故成立；
当，解得或，
则，解得.
综上得.故选B.
题型三 根的“k”分布
【例3】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令
由题可知：
则，即，故选：C
【变式3-1】方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】的两个根都大于
，解得
可求得实数的取值范围为，故答案为：
【变式3-2】若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，
设，
根据二次函数的性质，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
【变式3-3】若关于的方程的一个根大于1、另一个根小于1，则实数的取值范围为_____.
【答案】
【解析】关于的方程的一个根大于1、另一个根小于1，
令，
则，解得，
题型四 根在区间上的分布
【例4】关于x方程在内恰有一解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，不合题意；
∴，令，有，，
要使在内恰有一个零点，
∴即可，则，故选：B
【变式4-1】（多选）已知一元二次方程有两个实数根，且，则的值为（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【答案】BC
【解析】设，
由，
可得，
解得：，
又因为，得或，故选：BC.
【变式4-2】若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________．
【答案】（，＋∞）
【解析】设，
由题意，解得，
故答案为：．
【变式4-3】已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】设f (x)＝x2＋ax＋1，
由题意知，解得－【变式4-4】关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，
，解得，
当时，方程的根为，不合题意；
若，方程的根为，符合题意
综上：实数m的取值范围为，故选：D
【变式4-5】关于的一元二次方程在区间内、外各有一个实数根，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】在区间内、外各有一个实数根，
令，
当不是方程的根时，所以，
解得：；
当是方程的根时，得，
此时方程变为：，解得：或，
在区间内，在区间外，符合题意；
当是方程的根时，得，
此时方程变为：，解得：或，
此时方程的两根均在区间外，不符合题意；
所以实数的取值范围是.

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