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第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习
题型一 不等式的性质应用
【例1】若，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】对A：因为，所以，故选项A正确；
对B：因为，，所以当时，；
当时，；当时，，故选项B错误；
对C：因为，所以由不等式的性质可得，故选项C正确；
对D：因为，所以，所以，故选项D正确.
故选：B.
【变式1-1】已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法一：因为，可知，所以，
所以，，所以，，，
所以A正确，B，C错误．
因为，所以，所以D错误，故选：A
方法二；因为，设，，
所以，，，所以，,,,
所以A正确，B，C，D错误,故选：A
【变式1-2】（多选）若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】选项A，因为，所以，
，故A正确；
选项B，由均值不等式，当，，由于，
故等号不成立，即，故B正确；
选项C，由于，故，故，故C正确；
选项D，取，而，故D错误
故选：ABC
【变式1-3】（多选）若，且，则在四个数中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由于，则，
又，所以，
又，即.
故选：ABD
题型二 利用不等式求代数式的取值范围
【例2】已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故，，得故选：C
【变式2-1】若实数x，y满足，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
则，解得，
故，
又因，所以，
所以.故选：A.
【变式2-2】已知，，求的取值范围.
【答案】
【解析】设，则有：
，解得：，所以.
因为，所以，
因为，所以，
所以，
即，
所以的取值范围为.
【变式2-3】已知，，求，的取值范围．
【答案】的取值范围是，的取值范围是．
【解析】因为，所以．
又，所以，
即．
因为，所以，
因为，所以，
所以，即．
所以的取值范围是，的取值范围是．
题型三 解一元二次不等式
【例3】已知集合，，则A∩B=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以.故选：D
【变式3-1】不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【解析】可化为，
即，即或．
所以不等式的解集为或.故选：A
【变式3-2】解下列不等式：
（1）； （2）； （3）.
【答案】（1）或；（2）；（3）或或
【解析】（1）原不等式等价于，即，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集或；
（2）由，可得，
所以，解得，
所以原不等式的解集为；
（3）原不等式等价于或，
分别解这两个不等式组，得或或或，
故原不等式的解集为或或.
【变式3-3】解下列关于的不等式：（为实数）
（1）；（2）.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：，，
当时，，原不等式无解；
当时，对应一元二次方程的两个解为：，
所以的解为：，
综上所述，时，原不等式无解，
当时，原不等式的解集为；
（2）原不等式等价于，
当时，解集为；
当时，原不等式可化为，
因为，所以解集为；
当时，，解集为；
当时，原不等式等价于，
所以，解集为；
当时，，解集为；
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为.
题型四 三个“二次”之间的关系
【例4】已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式的解集是，
所以方程的解是和，且，
则，解得，，
所以不等式化为，
即，解得，
所以，所求不等式的解集是．故选：A．
【变式4-1】不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为的解集为，
则，且对应方程的根为-2和4，
所以，，且，
不等式可化为，
则，即，解得或．
故答案为．
【变式4-2】已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________.
【答案】
【解析】由不等式的解集是，可知：
，是一元二次方程的实数根，且；
由根与系数的关系可得：， ，
所以不等式化为 ，
即：；化为；
又，；
不等式的解集为：|}，
故答案为：
【变式4-3】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【解析】由二次函数图象知：有.故选：A
【变式4-4】已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________.
【答案】
【解析】根据二次函数的图象可知，
为方程的两根，
故，即，
则即，也即，
，解得或.
故不等式解集为.
故答案为：.
题型五 一元二次不等式恒成立与有解问题
【例5】“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由“关于的不等式对恒成立”，
可得，解得：.故选：B．
【变式5-1】已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对任意，不等式恒成立，
即对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立，
所以对任意，，
所以，解得，
故实数x的取值范围是．故选：D．
【变式5-2】若关于x的不等式有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1] B．[0，1) C． D．
【答案】D
【解析】当时，不等式为，有实数解，满足题意；
当时，不等式对应的二次函数开口向下，
所以不等式有实数解，满足题意；
当时，要使不等式有实数解，则需满足，解得，
综上，a的取值范围是.故选：D.
【变式5-3】已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意不等式在上有解，
所以或，
解得或，所以．故选：A．
题型六 利用基本不等式求最值
【例6】已知，，则的最小值为___________.（人教B版）
【答案】18
【解析】，，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为18，故答案为：18.
【变式6-1】已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为正实数，=，
当，即时等号成立，此时有，
又因为，所以，
由基本不等式可知（时等号成立），
所以.故选：B.
【变式6-2】已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以 ，
所以，
令，则，且 ，
所以，
当且仅当，即，时，取等号，
所以的最小值是.故选：A.
【变式6-3】已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】C
【解析】解：由，且，可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号．故选：C
【变式6-4】下列命题中不正确的为（ ）
①.若正实数，满足，则的最小值为
②.已知，，，则的最大值为
③.存在实数，满足，使得的最小值是6
④.若，则的最小值为
A．④ B．②④ C．③④ D．①②
【答案】A
【解析】①正实数，满足，故，
所以，
当时，取得最小值为，故①正确；
②因为，，所以，
当且仅当时，等号成立，故，
所以的最大值为，②正确；
③因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故存在实数，满足，使得的最小值是6，③正确；
④当，时，满足，此时，
故的最小值不是；④错误
故选：A
题型七 基本不等式恒成立问题
【例7】已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
【答案】D
【解析】∵，且，
∴，
当且仅当时取等号，∴，
由恒成立可得，
解得：，故选：D.
【变式7-1】已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，当且仅当时“”成立，
又不等式恒成立，
，
的取值范围是．故选：B．
【变式7-2】若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意得，当时， 恒成立，
又因为，当且仅当时取等号，
所以，的最大值为，
所以，解得的取值范围为．故选：B
【变式7-3】对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，对任意及，
不等式恒成立等价于
对任意及，恒成立.
设，则.
因为，，
所以，则，即，
则，
当且仅当，即时取等号，
∴.故选：D.
【变式7-4】若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（ ）
A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]
【答案】C
【解析】由题意可得对任意恒成立，
由，可得，
当且仅当即时，取得等号，
则，解得.故选：C.
【变式7-5】已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
【答案】D
【解析】由，知，，，
由，得，
又，
，
当且仅当，
即时，取得最小值9，
，的最大值为9．故选：．第二章：一元二次函数、方程与不等式重点题型复习
题型一 不等式的性质应用
【例1】若，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式1-1】已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（多选）若，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（多选）若，且，则在四个数中正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 利用不等式求代数式的取值范围
【例2】已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】若实数x，y满足，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知，，求的取值范围.
【变式2-3】已知，，求，的取值范围．
题型三 解一元二次不等式
【例3】已知集合，，则A∩B=（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】不等式的解集为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【变式3-2】解下列不等式：
（1）； （2）； （3）.
【变式3-3】解下列关于的不等式：（为实数）
（1）；（2）.
题型四 三个“二次”之间的关系
【例4】已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【变式4-2】已知不等式的解集是，，则不等式的解集是____________.
【变式4-3】已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式4-4】已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________.
题型五 一元二次不等式恒成立与有解问题
【例5】“关于x的不等式对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】若关于x的不等式有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．(0，1] B．[0，1) C． D．
【变式5-3】已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六 利用基本不等式求最值
【例6】已知，，则的最小值为___________.（人教B版）
【变式6-1】已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【变式6-3】已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【变式6-4】下列命题中不正确的为（ ）
①.若正实数，满足，则的最小值为
②.已知，，，则的最大值为
③.存在实数，满足，使得的最小值是6
④.若，则的最小值为
A．④ B．②④ C．③④ D．①②
题型七 基本不等式恒成立问题
【例7】已知且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．} C． D．
【变式7-1】已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为（ ）
A．（－1，4] B．（0，4） C．（0，4] D．（1，4]
【变式7-5】已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9

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