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第三章：函数的概念与性质重点题型复习
题型一 函数的概念辨析
【例1】下列关于函数与区间的说法正确的是（ ）
A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集
B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了
C．数集都能用区间表示
D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应
【变式1-1】下列对应关系或关系式中是从A到B的函数的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【变式1-2】已知集合，，下列对应关系中，从A到B的函数为（ ）
A．f： B．f： C．f： D．f：
【变式1-3】如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）

A． B． C． D．
【变式1-4】下列关系中是函数关系的是（ ）
A．等边三角形的边长和周长关系 B．电脑的销售额和利润的关系
C．玉米的产量和施肥量的关系 D．日光灯的产量和单位生产成本关系
【变式1-5】若函数的定义域M＝{x|}，值域为N＝{y|}，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型二 判断是否为同一个函数
【例2】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2-2】下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式2-3】下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
题型三 求函数的定义域
【例3】函数的定义域为（ ）
A．且 B．或
C． D．且
【变式3-1】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【变式3-4】函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【变式3-5】若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．
题型四 求函数的解析式
【例4】已知函数是一次函数，且恒成立，则（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【变式4-1】已知二次函数满足，求的解析式；
【变式4-2】若函数，且，则等于（ ）
A． B． C．3 D．
【变式4-3】设函数，则的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】若对任意实数，均有，求.
【变式4-5】设函数是→的函数，满足对一切，都有，则的解析式为______．
题型五 定义法证明函数的单调性
【例5】已知函数，判断并证明在区间上的单调性．
【变式5-1】已知函数，试判断在区间上的单调性，并证明你的结论．
【变式5-2】证明：函数在区间上是增函数.
【变式5-3】已知函数对任意的，，都有，且当时，，判断并证明的单调性；
题型六 利用函数的单调性求参数
【例6】若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是______．
【变式6-1】若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
【变式6-2】（多选）函数在上为单调函数，则实数a的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知函数对于且，都有，则的取值范围为 ______．
题型七 求函数的最值或值域
【例7】求函数，的最大值与最小值.
【变式7-1】的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-3】若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】已知设，则函数的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
题型八 函数奇偶性的判断
【例8】判断下列函数的奇偶性．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【变式8-1】函数的图象关于_________对称．
【变式8-2】判断的奇偶性.
【变式8-3】设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
题型九 利用函数的奇偶性求值或求参
【例9】若函数在上为奇函数，则___________.
【变式9-1】若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式9-2】已知函数是偶函数，则a＝______．
【变式9-3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【变式9-4】设是定义域为的奇函数，当时，（m为常数），则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-5】设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
题型十 利用函数的奇偶性求解析式
【例10】设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】函数为偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】若定义在R上的偶函数和奇函数满足（e为无理数，），则（ ）
A． B． C． D．
题型十一 利用单调性奇偶性解不等式
【例11】定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是__________.
【变式11-2】函数是定义在上的奇函数且单调递减，若则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-3】奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
【变式11-4】已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型十二 利用单调性奇偶性比较大小
【例12】定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式12-1】已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-3】已知 对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型十三 利用函数的周期性求值
【例13】已知是R上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．3 B． C．255 D．
【变式13-1】已知是定义域为R的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2 B． C．0 D．2022
【变式13-2】已知函数的图象关于直线对称，且对都有当时，.则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【变式13-3】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则________.
题型十四 抽象函数综合问题
【例4】函数f（x）对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．
（1）证明函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）= －2，求函数f（x）在[－2，2]上的最大值；
（3）解关于x的不等式
【变式14-1】已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
（1）证明：当时，；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【变式14-2】已知函数对任意，都有，且当时，．
（1）求证：在上是增函数；
（2）若关于a的方程的一个实根是1，求的值；
（3）在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．
【变式14-3】设函数的定义域为R，并且满足，且当时，
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并给出证明；
（3）如果，求的取值范围；
题型十五 幂函数的图象性质
【例15】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式15-1】（多选）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A． B．恒过定点
C．若时，关于轴对称 D．若时，
【变式15-2】图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
【变式15-3】当时，幂函数为减函数，则_________．
【变式15-4】已知幂函数在上单调递增，则m＝______．
【变式15-5】已知幂函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围.
题型十六 简单函数模型的应用
【例16】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
【变式16-1】吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【变式16-2】第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品 新技术 新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
【变式16-3】随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.
（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）第三章：函数的概念与性质重点题型复习
题型一 函数的概念辨析
【例1】下列关于函数与区间的说法正确的是（ ）
A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集
B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了
C．数集都能用区间表示
D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应
【答案】D
【解析】对于A，函数的定义域和值域均为非空数集，A错误；
对于B，若函数的定义域和值域均为，
对应法则可以是，也可以是，B错误；
对于C，自然数集无法用区间表示，C错误；
对于D，由函数定义可知，一个函数值可以有多个自变量值与之对应，D正确.
【变式1-1】下列对应关系或关系式中是从A到B的函数的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】B
【解析】对于A，可化为，
显然对任意（除外），y值不唯一，故不符合函数的定义；
对于B，符合函数的定义；
对于C，当时，对应关系无意义，故不符合函数的定义；
对于D，当为非正整数时，对应关系无意义，故不符合函数的定义.
故选：B
【变式1-2】已知集合，，下列对应关系中，从A到B的函数为（ ）
A．f： B．f： C．f： D．f：
【答案】D
【解析】对A：当时，对应的为0,1,2，所以选项A不能构成函数；
对B：当时，对应的为0,1,4，所以选项B不能构成函数；
对C：当时，对应的为0,2,4，所以选项C不能构成函数；
对D：当时，对应的为,1,3，所以选项D能构成函数；故选：D.
【变式1-3】如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，
即A中每一个元素在对应法则下，在中都有唯一的元素与之对应，
对于④⑤，A的每一个元素在中有个元素与之对应，∴不是A到的函数，
对于⑥，A中的元素、在中没有元素与之对应，∴不是A到的函数，
综上可知， 是函数的个数为.故选：A.
【变式1-4】下列关系中是函数关系的是（ ）
A．等边三角形的边长和周长关系 B．电脑的销售额和利润的关系
C．玉米的产量和施肥量的关系 D．日光灯的产量和单位生产成本关系
【答案】A
【解析】根据函数关系的定义可得，
选项A中，当等边三角形的边长取一定的值时，周长有唯一且确定的值与其对应，
所以等边三角形的边长和周长符合函数关系；
其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系故选：A
【变式1-5】若函数的定义域M＝{x|}，值域为N＝{y|}，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A中定义域是{x|－2≤x≤0}，不是M＝{x|－2≤x≤2}，故错误；
C中图象不表示函数关系，因为存在一个对应两个，不满足函数定义；
D中值域不是N＝{y|0≤y≤2}.
只有中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：B.
题型二 判断是否为同一个函数
【例2】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A. 函数的定义域为，的定义域为R，故不是同一函数；
B. 的定义域为R，的定义域为，故不是同一函数；
C. 的定义域都是R，且解析式相同，故是同一函数；
D. 的定义域为，的定义域为或，
故不是同一函数，故选：C
【变式2-1】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】A中，， 定义域都为 ，
对应关系以及值域相同，故为同一函数；
B中，，定义域为，定义域为R，故不是同一函数；
C中，，定义域为，定义域为或 ，
故不是同一函数；
D中，，定义域为R，定义域为，故不是同一函数；
故选：A
【变式2-2】下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解析】对于A，，，对应关系不同，即不是同一函数，故A不正确；
对于B，定义域为，定义域为，
定义域相同，对应关系不同，函数不是同一函数，故B不正确；
对于C，，定义域为，，定义域为，
定义域、对应关系相同，故为同一函数，故C正确；
对于D，定义域为，定义域为，
定义域不同，函数不是同一函数，故D不正确；故选：C
【变式2-3】下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】A
【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，
则两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一函数；
对于B，的定义域为，的定义域为，
则两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于C，的定义域为，的定义域为，
则两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于D，和的对应关系不同，故不是同一函数.故选：A.
题型三 求函数的定义域
【例3】函数的定义域为（ ）
A．且 B．或
C． D．且
【答案】D
【解析】由题得且.
所以函数的定义域为且故选：D
【变式3-1】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要使函数有意义，
则有，解得且，
所以其定义域为．故选：C.
【变式3-2】已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，
所以，则，
所以，解得，
所以的定义域为，故选：B
【变式3-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，故选：B．
【变式3-4】函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【答案】B
【解析】f（x）的定义域是R，则恒成立，
即恒成立，则，解得，
所以实数m的取值范围为.故选：B.
【变式3-5】若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】的定义域是R，则恒成立，
时，恒成立，
时，则，解得，
综上，．
故答案为：．
题型四 求函数的解析式
【例4】已知函数是一次函数，且恒成立，则（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】D
【解析】因为函数是一次函数，且恒成立，
令，则，
所以，解得，
所以，，故选：D
【变式4-1】已知二次函数满足，求的解析式；
【答案】
【解析】设二次函数，
则，
故，解得，
故.
【变式4-2】若函数，且，则等于（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】令，则
，即故选：D.
【变式4-3】设函数，则的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则可得
所以，所以，故选：B
【变式4-4】若对任意实数，均有，求.
【答案】.
【解析】利用方程组法求解即可；
∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为： .
【变式4-5】设函数是→的函数，满足对一切，都有，则的解析式为______．
【答案】
【解析】由，得，
将和看成两个未知数，可解得，
当时，，解得，
综上，
故答案为：.
题型五 定义法证明函数的单调性
【例5】已知函数，判断并证明在区间上的单调性．
【答案】单调递增，证明见解析
【解析】在区间上单调递增，理由如下：
任取，，且，
．
因为，
所以，，，
所以
所以，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增．
【变式5-1】已知函数，试判断在区间上的单调性，并证明你的结论．
【答案】增函数，证明见解析
【解析】在区间上是增函数．证明如下：
设，且，
则，
因为，所以，，
又，所以，且与不可能同时为0，
所以，故，
故在区间上是增函数．
【变式5-2】证明：函数在区间上是增函数.
【答案】证明见解析.
【解析】设，且，
而
因为，则，
所以，即，
所以函数在区间上是增函数.
【变式5-3】已知函数对任意的，，都有，且当时，，判断并证明的单调性；
【答案】函数在上为增函数；（2）．
【解析】设是上任意两个不等的实数，且，则，，
由已知条件当时，，
所以，即，
所以函数在上为增函数；
题型六 利用函数的单调性求参数
【例6】若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题意知，第一步函数单调递减，由复合函数同增异减可知，
第二步考虑函数定义域， 在恒成立，
得到
故答案为：.
【变式6-1】若在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数，
由复合函数的增减性可知，若在为增函数，
，，
【变式6-2】（多选）函数在上为单调函数，则实数a的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】二次函数图象对称轴为：，
因函数在上为单调函数，于是有：
当函数在上递减时，，解得，
当函数在上递增时，，解得，
所以实数a的取值范围是：或.故选：AD
【变式6-3】已知函数对于且，都有，则的取值范围为 ______．
【答案】
【解析】由题意可知，在上为单调增函数，
要使在上单调递增，则，即，
要使在上单调递增，则，
同时，解得：，
综上可知：.
题型七 求函数的最值或值域
【例7】求函数，的最大值与最小值.
【答案】最大值，最小值
【解析】函数，根据对勾函数的性质可得：
在上单调递减，上单调递增.
当时取到最小值.
又当时，，当时，
所以当时取到最大值，
所以函数的最大值，最小值
【变式7-1】的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，又在时单调递增，
所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，故选：A.
【变式7-2】函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，
其中的值域为，
故函数的值域为，故选D．
【变式7-3】若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，则．
当时，单调递减，
当时，单调递增，
又当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为，故选：B．
【变式7-4】已知设，则函数的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】当，即时，在上单调递增，
所以，
当，即时，
在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以；
综上：函数的最大值为1，故选：B
题型八 函数奇偶性的判断
【例8】判断下列函数的奇偶性．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）奇函数；（2）既不是奇函数也不是偶函数
（3）既是奇函数又是偶函数；（4）偶函数
【解析】（1）的定义域是，关于原点对称，
又，所以是奇函数．
（2）因为的定义域为，不关于原点对称，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
（3）因为的定义域为，所以，
则既是奇函数又是偶函数．
（4）方法一（定义法）因为函数的定义域为R，
所以函数的定义域关于原点对称．
①当x＞1时，，所以；
②当时，；
③当时，，所以．
综上，可知函数为偶函数．
方法二（图象法） 作出函数的图象，如图所示，易知函数为偶函数．
【变式8-1】函数的图象关于_________对称．
【答案】原点
【解析】要使函数有意义，则，得，
解得或，则定义域关于原点对称．
此时，则函数，
，
函数是奇函数，图象关于原点对称
故答案为：原点
【变式8-2】判断的奇偶性.
【答案】当时，既是奇函数，又是偶函数；当时，是奇函数
【解析】因为，所以定义域关于原点对称，
当时，则，所以既是奇函数，又是偶函数；
当时，因为，
所以是奇函数.
综上所述，当时，既是奇函数，又是偶函数；当时，是奇函数.
【变式8-3】设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 .
选项A：，定义域为，定义域不对称，故A错.
选项B：，定义域为，定义域不对称，故B错.
选项C：，定义域为，定义域不对称，故C错.
选项D：，定义域为，
定义域对称，为奇函数.故D正确.故选：D.
【变式8-4】设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【解析】A选项：设，，
则为偶函数，A错误；
B选项：设，则，与关系不定，
即不确定的奇偶性，B错误；
C选项：设，则，
则为奇函数，C正确；
D选项：设，则，
则为偶函数，D错误．故选：C.
题型九 利用函数的奇偶性求值或求参
【例9】若函数在上为奇函数，则___________.
【答案】
【解析】因为函数在上为奇函数，
所以，得，
又，即，即恒成立，
所以，所以.
故答案为：.
【变式9-1】若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】根据题意得，
因为函数为奇函数，
所以，即，整理得：，
所以，解得.故选：B
【变式9-2】已知函数是偶函数，则a＝______．
【答案】1
【解析】函数是偶函数，
则，即，解之得
经检验符合题意.
故答案为：1
【变式9-3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】A
【解析】因为时，，可得，
又因为函数是定义在上的奇函数，可得.故选：A.
【变式9-4】设是定义域为的奇函数，当时，（m为常数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，
所以，因为当时，，
所以，解得，
所以当时，，
所以.故选：C.
【变式9-5】设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
【答案】1
【解析】由题意知，（），
设，则，
因为，所以为奇函数，
在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，所以.
题型十 利用函数的奇偶性求解析式
【例10】设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以，
又为奇函数，所以，
所以当时，.故选：B.
【变式10-1】函数为偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，则，
因为函数为偶函数，
则当时，.故选：D.
【变式10-2】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
即，解得，
当时，，当时，，
则，
因为是奇函数，
所以．故选：．
【变式10-3】若定义在R上的偶函数和奇函数满足（e为无理数，），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
根据与的奇偶性可得，
故.
整理得，即.故选：D.
题型十一 利用单调性奇偶性解不等式
【例11】定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵是偶函数，
，
故可变形为，
∵在区间上单调递减，
故.故选：C.
【变式11-1】若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是__________.
【答案】
【解析】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，
又，所以，所以当时，
则不等式等价于，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
【变式11-2】函数是定义在上的奇函数且单调递减，若则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数是定义在上的奇函数且单调递减，
可化为
则，解之得故选：C
【变式11-3】奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意知，函数的定义域为，
所以函数的定义域为，
所以，解得．
又奇函数是上的减函数，
所以是上的奇函数，且在上单调递减．
由，得，
所以，
所以，解得．综上，．
故答案为：．
【变式11-4】已知函数是定义在R上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，因为函数是定义在R上的偶函数，
所以，即是定义在R上奇函数．
又，，且，都有成立，
所以在上单调递减，
又是定义在R上奇函数，所以在R上单调递减，
所以，即，
所以，解得．故A，B，D错误.故选：C．
题型十二 利用单调性奇偶性比较大小
【例12】定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以，，
又，且在上是减函数，
所以.故选：A
【变式12-1】已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，．记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，，，，
即，所以函数在上单调递增．
又，，所以函数是R上的偶函数，
所以,则有，所以，故选：B．
【变式12-2】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵当时，恒成立，
∴当时，，即，
∴函数在上为单调增函数，
∵函数是偶函数，即，
∴函数的图象关于直线对称，∴，
又函数在上为单调增函数，∴，
即，∴，故选：B．
【变式12-3】已知 对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于任意都有，周期为，
偶函数在区间上是单调递增，
，，
，即故选：D
题型十三 利用函数的周期性求值
【例13】已知是R上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．3 B． C．255 D．
【答案】B
【解析】由可得，，
故是以4为周期的周期函数，故，故选：B
【变式13-1】已知是定义域为R的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2 B． C．0 D．2022
【答案】A
【解析】,又，
，函数的周期.
又函数是定义域为R的奇函数，，
，，
，又
.故选：A.
【变式13-2】已知函数的图象关于直线对称，且对都有当时，.则（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
，
取可得，
∴
又对有，
取可得，
所以.，，
，
，即，
的周期.
故选：D.
【变式13-3】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则________.
【答案】
【解析】由为奇函数，可得，
函数关于点对称，又定义域为R，则有；
又为偶函数，可得，函数关于直线对称，
，
又，则，
则，函数周期为4，
则；
由上可得，
则，解得，
则，则.
故答案为：.
题型十四 抽象函数综合问题
【例4】函数f（x）对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0恒成立．
（1）证明函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）= －2，求函数f（x）在[－2，2]上的最大值；
（3）解关于x的不等式
【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）或
【解析】（1）令x=y=0得f(0)=0,
再令y=—x即得f(－x)=－f(x）,
∴是奇函数.
（2）设任意，且，则，由已知得①，
又②，
由①②可知，
由函数的单调性定义知f(x)在(-∞，+∞)上是减函数，
∴x∈[－2，2]时，，
∴f(x)当x∈[－2，2]时的最大值为4．
（3）由已知得：，
由（1）知f(x）是奇函数，
∴上式又可化为：，
由（2）知f(x）是R上的减函数，
∴上式即：，
化简得，
∴ 原不等式的解集为或.
【变式14-1】已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
（1）证明：当时，；
（2）判断的单调性并加以证明；
（3）如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）函数单调递减，证明见解析；（3）
【解析】（1）；
；
当时，；；
当时，.
（2）单调递减.
证明：
，，，即
单调递减
（3）函数的定义域是；
恒成立；
由（2），单调递减，恒成立，恒成立，
因为，当且仅当时等号成立，所以；
又有意义，所以
综上：.
【变式14-2】已知函数对任意，都有，且当时，．
（1）求证：在上是增函数；
（2）若关于a的方程的一个实根是1，求的值；
（3）在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）详见解析
【解析】（1）依题意，且时，，
令，则，
，
任取，
，
由于，所以，
所以，所以在上递增.
（2）由（1）知，在上递增，
，
.
（3）依题意，在上递增，.
，，
，
当时，不等式的解集为空集.
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为.
【变式14-3】设函数的定义域为R，并且满足，且当时，
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并给出证明；
（3）如果，求的取值范围；
【答案】（1）0；（2）函数是定义在上的减函数，详见解析；（3）.
【解析】（1）令，则，
∴；
（2）函数是定义在上的减函数，
设，且，则，
∴，
∵当时，
∴，即
∴，
∴函数是定义在上的减函数；
（3）∵
∴,又，
∴，
∴函数是奇函数，
∵，
∴，
∴，
又函数是定义在上的减函数，
∴，即，
∴的取值范围为.
题型十五 幂函数的图象性质
【例15】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B
【变式15-1】（多选）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A． B．恒过定点
C．若时，关于轴对称 D．若时，
【答案】ABC
【解析】因为为幂函数，
所以，解得，故A正确；
则，故恒过定点，故B正确；
当时，，，
所以为偶函数，则关于轴对称，故C正确；
当时，，则在上为增函数，
所以，故D错误.故选：ABC
【变式15-2】图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
【答案】D
【解析】由题图知：，，，
所以，，依次可以是，，3．故选：D
【变式15-3】当时，幂函数为减函数，则_________．
【答案】2
【解析】函数为幂函数，则，解得或，
又因为函数在上单调递减，
可得，可得，
故答案为：2
【变式15-4】已知幂函数在上单调递增，则m＝______．
【答案】4
【解析】由题意可得，解得
故答案为：4.
【变式15-5】已知幂函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意，幂函数，
可得，即，解得或，
当时，函数为奇函数，
当时，为非奇非偶函数，
因为为奇函数，所以.
（2）由（1）知，可得在上为增函数，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
题型十六 简单函数模型的应用
【例16】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）表示为养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数.当时，v的值为2；当时，v是关于x的一次函数.当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.
（1）当时，求函数的表达式；
（2）当x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.
【答案】（1）；（2）x＝10，最大值为12.5千克/立方米
【解析】（1）依题意，当时，；
当时，是关于x的一次函数，假设，
则，解得，
所以.
（2）当时，；
当时，，
当时，取得最大值.
因为，
所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5.
【变式16-1】吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【答案】（1）；（2）70万盒
【解析】（1）当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为
（2）当时，；
当时，，
当时，取到最大值，为1200．
因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
【变式16-2】第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品 新技术 新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.
（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；
（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.
【答案】（1）
（2）当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元
【解析】（1）由题意知，当时，，所以a=300.
当时，；
当时，.
所以，
（2）当时，，
所以当时，W有最大值，最大值为8740；
当时，，
当且仅当，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.
因为，所以当2022年产量为100千台时，
该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.
【变式16-3】随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.
（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）
【答案】（1）车流密度的取值范围是
（2）隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.
【解析】（1）由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），
代入，解得，
所以.
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以.
所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.
（2）由题意得，
当时，为增函数，所以，当时等号成立；
当时
.
当且仅当，即时等号成立.
所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.

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