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第一章：集合与常用逻辑用语重点题型复习
题型一 元素与集合的关系
【例1】已知集合，，则（ ）
A． B．或 C． D．
【变式1-1】已知集合，且，则实数的所有取值构成的集合是________．
【变式1-2】已知集合，，若，则下列选项中符合题意的x为（ ）
A．5 B．8 C．20 D．25
【变式1-3】已知集合，若，，则与集合间的关系正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式1-4】集合，，，若，，则一定有（ ）．
A． B．
C． D．不属于P，Q，M中任意一个
题型二 判断元素的个数
【例2】2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-1】已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【变式2-2】已知集合，，则集合B中元素的个数为_____.
【变式2-3】以实数为元素所组成的集合最多含有（ ）个元素．
A．0 B．1 C．2 D．3
题型三 根据元素的个数求参数
【例3】已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．
【变式3-1】集合至多有一个元素，则的取值范围是___________.
【变式3-2】由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-3】已知集合.
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；
题型四 子集与真子集的个数
【例4】把“2024”中的四个数字拆开，可构成集合，则该集合的子集的个数为（ ）
A．8 B．7 C．16 D．15
【变式4-1】已知集合，，，则集合P的真子集的个数是（ ）
A．4 B．64 C．15 D．63
【变式4-2】已知集合A满足，这样的集合A有（ ）个
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式4-3】已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型五 利用子集关系求参数
【例5】已知集合，，且，则（ ）
A．2 B．-2 C．2，-2 D．2，-2，1，-1
【变式5-1】已知集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知集合，，若，则实数m的取值范围为______．
题型六 集合的交并补运算
【例6】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】设全集，集合，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】设全集为，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知集合，则（ ）
A． B．E C．F D．Z
【变式6-4】（多选）设集合，，若集合，则P可以是（ ）
A． B． C． D．
题型七 根据集合的交并补求参数
【例7】已知集合，若，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C．． D．
【变式7-1】已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若有三个元素，则实数m的取值范围是（ ）
A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3]
【变式7-2】已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是_____.
【变式7-3】已知集合,或，若，求实数a的取值范围．
题型八 韦恩图的应用
【例8】设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】已知M，N均为R的子集，且，则（ ）
A． B．M C．N D．R
【变式8-4】某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．7 D．8
题型九 集合与新定义
【例9】已知A，B都是非空集合，且．若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式9-1】集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（ ）
A．31 B．63 C．32 D．64
【变式9-2】设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【变式9-3】设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（ ）.
A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集
B．集合是“和谐集”
C．若都是“和谐集”，则
D．对任意两个不同的“和谐集”，总有
题型十 充分必要条件的判断
【例10】“0A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【变式10-1】下列选项中，“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】下列是“四边形是矩形”的充分条件是（ ）
A．四边形的对角线相等
B．四边形的两组对边分别相等
C．四边形有两个内角都为直角
D．四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补
【变式10-3】荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式10-4】（多选）设计如图所示的四个电路图，：“开关闭合”，：“灯泡亮”，则是的充要条件的电路图是（ ）
A． B． C． D．
题型十一 利用充分必要条件求参数
【例11】若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值为（ ）
A．1 B． C．或1 D．或
【变式11-1】已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】已知，，．若r是p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为______．
【变式11-3】设：，：，若是的必要非充分条件，则实数a的取值范围是______．
题型十二 全称量词命题与特称量词命题
【例12】已知命题，使得，则为（ ）
A．，都有 B．，使得
C．，都有 D．，使得
【变式12-1】命题“”的否定是（ ）
A． B．不存在
C． D．
【变式12-2】已知集合，，若命题，是真命题，则m的取值范围为______．
【变式12-3】若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）
A． B． C． D．第一章：集合与常用逻辑用语重点题型复习
题型一 元素与集合的关系
【例1】已知集合，，则（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴或．
若，解得或．
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，集合，满足题意，故成立．
若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．
综上所述，．故选：D．
【变式1-1】已知集合，且，则实数的所有取值构成的集合是________．
【答案】
【解析】由，得，解得，
故答案为：.
【变式1-2】已知集合，，若，则下列选项中符合题意的x为（ ）
A．5 B．8 C．20 D．25
【答案】B
【解析】因为，故的个位数为3或8，排除ACD.
当时，，解得满足条件.
故选：B
【变式1-3】已知集合，若，，则与集合间的关系正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】中，，，
故．中，，，故．
故选：B．
【变式1-4】集合，，，若，，则一定有（ ）．
A． B．
C． D．不属于P，Q，M中任意一个
【答案】B
【解析】若，，则，，，，
所以，，所以．故选：B.
题型二 判断元素的个数
【例2】2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由集合中元素的互异性知，两个“墩”相同，去掉一个，“容”“融”不同都保留，
所以有5个元素．故选：C
【变式2-1】已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【解析】当时，，得，
当时，，得
当时，，得
即集合A中元素有9个，故选：A．
【变式2-2】已知集合，，则集合B中元素的个数为_____.
【答案】6
【解析】因为，，，所以时，；
时，或，时，或3或4.
，
所以集合B中元素的个数为6.故答案为：6.
【变式2-3】以实数为元素所组成的集合最多含有（ ）个元素．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当时，，此时集合中共有2个元素；
当时，，此时集合中共有1个元素；
当时，，，此时集合中共有2个元素；
综上所述，以实数为元素所组成的集合最多含有2个元素.
故选：C.
题型三 根据元素的个数求参数
【例3】已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．
【答案】{0}∪[，+∞）．
【解析】当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，解得x，故成立；
当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，解得；
综上所述，a的取值范围是{0}∪[，+∞）．
故答案为：{0}∪[，+∞）．
【变式3-1】集合至多有一个元素，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】集合至多有一个元素
即集合有一个元素或者零个元素
①当集合有一个元素时，等价于有一个根
即，解得
②当集合有零个元素，即时，等价于无实数根
即，解得
综上，的取值范围是
故答案为：.
【变式3-2】由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】当时，，
当时，三个数分别为2，4，1，符合元素的互异性；
当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；
当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；
当时，三个数分别为5，5，2，不符合元素的互异性.
所以实数a的值可能为1，只有一个.故选：A
【变式3-3】已知集合.
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；
【答案】（1）；（2）①当时，；②当时
【解析】（1）当时，方程化为，有一个根，不符合题意；
当时，若方程无根，
则即
综上，a的取值范围为
（2）当时，方程化为，有一个根，；
当时，若方程只有一个根，
则即
此时方程化为，有二重根，
题型四 子集与真子集的个数
【例4】把“2024”中的四个数字拆开，可构成集合，则该集合的子集的个数为（ ）
A．8 B．7 C．16 D．15
【答案】A
【解析】由题意，集合 中共有3个元素，其子集的个数为 ．故选：A．
【变式4-1】已知集合，，，则集合P的真子集的个数是（ ）
A．4 B．64 C．15 D．63
【答案】D
【解析】由已知得，所以集合P的真子集的个数为．故选：D
【变式4-2】已知集合A满足，这样的集合A有（ ）个
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】由题得集合.故选：C
【变式4-3】已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由知．又，则集合．
又，
则满足条件的集合C可以为，，，，共4个，
故选：C．
题型五 利用子集关系求参数
【例5】已知集合，，且，则（ ）
A．2 B．-2 C．2，-2 D．2，-2，1，-1
【答案】C
【解析】，又，则，，故选：C
【变式5-1】已知集合，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，故0，3均为中的元素，所以，故选：B
【变式5-2】已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵集合，且，∴.故选：C．
【变式5-3】已知集合，，若，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意，得，．
①当，即，即时，，满足题意；
②当，即时，
若，则或，解得．
综上，实数m的取值范围为．
故答案为：
题型六 集合的交并补运算
【例6】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，又，
所以.故选：B
【变式6-1】设全集，集合，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
因为全集，
所以，故选：C
【变式6-2】设全集为，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，故选：B.
【变式6-3】已知集合，则（ ）
A． B．E C．F D．Z
【答案】A
【解析】
易知 ，所以．故选：A．
【变式6-4】（多选）设集合，，若集合，则P可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为，，
所以或，或，
因为集合，所以集合可以是AB.
故选：AB
题型七 根据集合的交并补求参数
【例7】已知集合，若，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C．． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以.故选：B
【变式7-1】已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若有三个元素，则实数m的取值范围是（ ）
A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3]
【答案】C
【解析】根据题意则A={0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，，
若有三个元素，则有，
即实数m的取值范围是[2，3）；故选：C
【变式7-2】已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】当时，，解得：，此时，
，符合题意；
当时，，解得，
因为集合，，
所以或，
因为，
所以，解得：，
所以时，，
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式7-3】已知集合,或，若，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】由，得，从而．
①若，则，解得；
②若，在数轴上标出集合A，B，如图所示，
则，解得．
综上，实数a的取值范围是．
题型八 韦恩图的应用
【例8】设全集U是实数集R，，都是U的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】题图中阴影部分表示集合.故选：B
【变式8-1】已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，解得或，则，
又因为，所以集合与集合有公共元素0，且没有包含关系，
故选项A中的韦恩图是正确的.故选：A.
【变式8-2】如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，
A. 对应的是区域1；
B. 对应的是区域2；
C. 对应的是区域3；
D. 对应的是区域4.故选：B
【变式8-3】已知M，N均为R的子集，且，则（ ）
A． B．M C．N D．R
【答案】C
【解析】M，N均为R的子集，且，如图，于是得，
所以，故选：C
【变式8-4】某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数的最大值是（ ）
A．6 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【解析】作维恩图，如图所示，
则周一开车上班的职工人数为，周二开车上班的职工人数为，
周三开车上班的职工人数为，这三天都开车上班的职工人数为x.
则，得，
得，当时，x取得最大值6，故选：A
题型九 集合与新定义
【例9】已知A，B都是非空集合，且．若，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】由题意，得，，
故或．故选：D
【变式9-1】集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则的真子集个数为（ ）
A．31 B．63 C．32 D．64
【答案】B
【解析】根据题意得，，则中有6个元素，
∴的真子集个数为26﹣1＝63个．故选：B．
【变式9-2】设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】C
【解析】对子集A分类讨论：
当A是二元集{3，4}时，
此时B可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果；
当A是三元集{1，3，4}时，此时B可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果；
当A是三元集{2，3，4}时，此时B可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果；
当A是四元集{1，2，3，4}时，此时B取{3，4}，有1种结果，
根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果．故选：C．
【变式9-3】设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（ ）.
A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集
B．集合是“和谐集”
C．若都是“和谐集”，则
D．对任意两个不同的“和谐集”，总有
【答案】D
【解析】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题；
B项中，设，
则，，
所以集合是“和谐集”，故B项为真命题；
C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，
所以，故C项为真命题；
D项中，取，，都是“和谐集”，
但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项为假命题.故选：D.
题型十 充分必要条件的判断
【例10】“0A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】“0所以“0“”成立时，“0所以“0所以“0【变式10-1】下列选项中，“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于A，“”能推出“”，但“”不能推出“”，所以A正确；
对于B，当，时，满足，但，即“”不能推出“”，
故选项B不是“”的必要条件，所以B错误；
对于C，当，时，满足，但，即“”不能推出“”，
故选项C不是“”的必要条件，所以C错误；
对于D，可知，即“”能推出“”，且“”能推出“”，
是充要条件，所以D错误.故选：A.
【变式10-2】下列是“四边形是矩形”的充分条件是（ ）
A．四边形的对角线相等
B．四边形的两组对边分别相等
C．四边形有两个内角都为直角
D．四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补
【答案】D
【解析】对A，四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A错误；
对B，四边形的两组对边分别相等为平行四边形，故B错误；
对C，四边形有三个内角为直角才是矩形，故C错误；
对D，四边形两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，
又有一组对角互补，
故相邻两角相等，又相邻两角之和为，故相邻两角均为直角，
故该平行四边形是矩形，故D正确.
故选：D.
【变式10-3】荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，
即要达成目标必须一点一点积累，
所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.故选：B
【变式10-4】（多选）设计如图所示的四个电路图，：“开关闭合”，：“灯泡亮”，则是的充要条件的电路图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由题知，A中电路图，开关闭合，灯泡亮，而灯泡亮，开关不一定闭合，
故A中是的充分而不必要条件；
B中电路图，开关闭合，灯泡亮，且灯泡亮，则开关闭合，
故B中是的充要条件；
C中电路图，开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮，则开关一定闭合，
故C中是的必要而不充分条件；
D中电路图，开关闭合，则灯泡亮，灯泡亮，则开关闭合，
故D中是的充要条件．故选：BD.
题型十一 利用充分必要条件求参数
【例11】若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值为（ ）
A．1 B． C．或1 D．或
【答案】B
【解析】把代入，得：，解得：或.
当时，可化为：，解得：，
此时“”是“”的充要条件，应舍去；
当时，可化为：，解得：或，
此时“”是“”的充分不必要条件.
故.故选：B
【变式11-1】已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为是的充分不必要条件，
所以，即.故选：D.
【变式11-2】已知，，．若r是p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】易得．记p，q，r中x的取值构成的集合分别为A，B，C，
由于r是p的必要不充分条件，r是q的充分不必要条件，
则，，则，解得，
即实数a的取值范围是．
故答案为：
【变式11-3】设：，：，若是的必要非充分条件，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为是的必要非充分条件，
所以.
故答案为：
题型十二 全称量词命题与特称量词命题
【例12】已知命题，使得，则为（ ）
A．，都有 B．，使得
C．，都有 D．，使得
【答案】C
【解析】因为，使得，所以为：，都有.故选：C.
【变式12-1】命题“”的否定是（ ）
A． B．不存在
C． D．
【答案】D
【解析】命题的否定，只否定结论，并把全称量词变为存在量词，
所以原命题的否定为“”，故选：D
【变式12-2】已知集合，，若命题，是真命题，则m的取值范围为______．
【答案】
【解析】由于命题，是真命题，所以,
当时，，解得；
当时，，解得，
综上，m的取值范围是．
故答案为：．
【变式12-3】若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】为假命题,为真命题，可得，
又为真命题，可得，
所以，故选：B.
【变式12-4】已知命题“，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】若原命题为真命题，则，使得成立，则；
若原命题为假命题，则实数的取值范围为.
故答案为：.

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