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函数专题：二次函数在闭区间上的最值问题
一、二次函数的三种形式
1、一般式：
2、顶点式：若二次函数的顶点为，则其解析式为
3、两根式：若相应一元二次方程的两个根为，，
则其解析式为
二、二次函数在闭区间上的最值
二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论，
一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况.
设，求在上的最大值与最小值。
将配方，得顶点为，对称轴为
（1）当时，
的最小值为，
的最大值为与中的较大值；
（2）时，
若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为；
若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为；
三、二次函数在闭区间上的最值类型
1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；
2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；
3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；
4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
题型一 定二次函数在定区间上的最值问题
【例1】函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A． B． C． D．最小值是，无最大值
【答案】C
【解析】，抛物线的开口向上，对称轴为，
在区间上，当时，有最小值；时，有最大值42，
函数在区间上的最大值、最小值分别是：42，．故选：C．
【变式1-1】已知函数，则函数的值域为__________.
【答案】
【解析】由题意得：，为开口向下，对称轴为x=2的抛物线，
因为，
所以当x=2时，y有最大值，且为3，
当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：
【变式1-2】设，则函数的最大值为______.
【答案】
【解析】二次函数是开口向下的，对称轴为 ，
∴当 时， ；
故答案为：.
【变式1-3】函数在上的最大值是______________．
【答案】6
【解析】二次函数对称轴为，
故原函数在上单调递减，在上单调递增，
由对称性知在时取最大值，
故答案为：6
题型二 定二次函数在动区间上的最值问题
【例2】已知函数.
（1）若，求的单调区间和值域；
（2）设函数在的最小值为，求的表达式.
【答案】（1）
【解析】（1）可知函数的对称轴为，开口向上，
∴当[-1,]时，单调递减；当[,3]时，单调递增，
∴，，
综上，的单调递减区间为[-1,]，单调递增区间为，值域为[,12]；
（2）对称轴为，开口向上，
当，即时，在单调递增，，
当，即时， ，
当，即时，在单调递减，
∴，
综上，.
【变式2-1】已知二次函数满足，且
（1）求的解析式.
（2）求在，的最小值，并写出的函数的表达式.
【答案】（1）
（2）当时，，当时，，当时，，
【解析】（1）设，
，
又，，
由知，
（2），对称轴为：，
故当时，在上单调递增，
故在处取得最小值，，
当，即时，在上单调递减，
故在处取得最小值，，
当时，在上单调递减，
在上单调递增，故在处取得最小值，，
所以
【变式2-2】函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．
（1）求g(t)的解析式；
（2）求g(t)的最大值．
【答案】（1）g(t)＝；（2）3.
【解析】（1）f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.
当，即时，f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
∴g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2；
当，即时，g(t)＝f（2）＝3；
当时，f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
∴g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1.
综上所述，g(t)＝
（2）当时，；
当时，；
当时，.
∴g(t)的最大值为3.
【变式2-3】二次函数，且的解集为.
（1）求a的值；
（2）求在区间上的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为的解集为
即，1是方程的两根，
所以，即；
（2）由于的图象开口向下，
且对称轴为，则在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，；
当，即时，；
当时，；
综上，.
题型三 动二次函数在定区间上的最值问题
【例3】已知函数．求在上的最大值与最小值．
【答案】见解析
【解析】函数 的对称轴为，
①当，即时，函数在上是增函数，
当时，函数y取得最小值为；
当时，函数取得最大值为．
②当，即时，
当时，函数取得最小值为；
当时，函数取得最大值为．
③当，即时，
当a时，函数取得最小值为；
当时，函数取得最大值为．
④当，即时，函数在上是减函数，
故当时，函数取得最大值为；
当时，函数取得最小值为．
综上，当时，函数的最大值为，最小值为，
当时，函数的最大值为，最小值为，
当时，函数的最大值为，最小值为，
当时，函数的最大值为，最小值为
【变式3-1】已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，故在上递增，在上递减，
当，则上递减，故最大值，
当，则最大值，
当，则上递增，故最大值，
综上，的最小值为.故选：C
【变式3-2】已知函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数的最小值为a，求实数a的值.
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）当时，，
∴函数的对称轴为直线，
∵，
∴.
∴当时，函数的值域为.
（2）易知函数的图像开口向上，对称轴为直线，
①当时，函数在区间上单调递增，
∴，
∴，即，满足题意；
②当时，函数在区间上单调递减，
∴，
∴，即，不满足题意；
③当时，，
∴，
∴，解得或（舍），
综上，或.
【变式3-3】已知函数，.
（1）求的最小值； （2）若的最小值是，求实数a的值.
【解析】（1），对称轴为，
当时，在上单调递增，则；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则；
当时，在上单调递减，则；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
（2）的最小值是，
由（1）得，，且或，解得.
题型四 动二次函数在动区间上的最值问题
【例4】函数在区间上的最小值为，求的表达式.
【答案】
【解析】由题意可知，二次函数的开口向下，对称轴方程为
∵，
∴，即
【变式4-1】已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】若对任意的，恒成立，即当时，
∵二次函数，
∴函数的图象的对称轴为直线，且开口向上，
分以下三种情况讨论：
①当，即时，函数在区间上单调递增，
所以，
所以，即，解得或，
因为，所以；
②当，即时，
函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即，
因为，所以不等式无解；
③当，即时，函数在区间上单调递减，
所以，
所以，即，解得或，
因为，所以；
综上可知，的取值范围为
【变式4-2】设函数在闭区间上的最大值为，最小值为，求与的表达式.
【答案】，
【解析】函数的顶点坐标为，开口向上，对称轴为
分以下四种情况求最值：
①当，即时，在上单调递增，
所以，；
②当，且，即时，在单调递增，
所以，；
③当，且，即时，在单调递减，
所以，
④当，即时，在上单调递减，
所以，；
综上知，在的最大值与最小值分别为：
，
题型五 逆向型二次函数最值问题
【例5】若函数在上最小值为，求的值.
【答案】
【解析】函数图象的对称轴为，图象开口向上，
（1）当时，函数在上单调递增．则，
由，得，不符合；
（2）当时．则，
由，得或，，符合；
（3）当时，函数在上单调递减，
，由，得，
，不符合，综上可得．
【变式5-1】若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．
【答案】或##或
【解析】，
抛物线开口向下，抛物线的对称轴为，
①当，即时，当时，函数最大值为3，
，解得：（舍去）；
②当，即时，当时，函数最大值为3，
，解得：．
③当，即时，当时，函数最大值为3，
，解得（舍去）或，
综上所述，或.
故答案为：或
【变式5-2】若函数在上的最小值为．则____．
【答案】1
【解】函数图象的对称轴为，图象开口向上，
（1）当时，函数在上单调递增，则，
由，得，不符合；
（2）当时．则，
由，得或，，∴符合；
（3）当时，函数在上单调递减，则，
由，得，，不符合，
综上可得．
故答案为：1
【变式5-3】已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.
【答案】
【解析】，
（1）若时，在上是减函数
，
令 ，，即，
当时，，，
若解得，与矛盾；
当即时，
令解得或，所以；
（2）若 即
解得，与矛盾；
（3）若，则，与矛盾；
综上所述：.
【变式5-4】一次函数是R上的增函数，且，
（1）求；
（2）若在单调递增，求实数m的取值范围；
（3）当时，有最大值13，求实数m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【解析】（1）∵一次函数是R上的增函数，设．
则，
，解得或不合题意，舍去．
．
（2）由（1）得，
，
因为对称轴方程为，根据题意可得，解得．
的取值范围为．
（3）＝2x2+（1+2m）x+m，对称轴为x，
当x∈[﹣1，3]时，g（x）有最大值13，
由于的图象开口向上，则的最大值只能为端点处的函数值，
若是最大值13，即有2﹣1﹣2m+m＝13，解得m＝﹣12，
此时＝2x2﹣23x﹣12在[﹣1，3]上递减，符合题意；
若是最大值13，即有18+3+6m+m＝13，解得m，
此时＝2x2x在[﹣1，）递减，在（，3]递增，
且13，符合题意．
综上可得，m＝﹣12或m．函数专题：二次函数在闭区间上的最值问题
一、二次函数的三种形式
1、一般式：
2、顶点式：若二次函数的顶点为，则其解析式为
3、两根式：若相应一元二次方程的两个根为，，
则其解析式为
二、二次函数在闭区间上的最值
二次函数在区间上的最值，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置讨论，
一般为：对称轴在区间的左边、中间、右边三种情况.
设，求在上的最大值与最小值。
将配方，得顶点为，对称轴为
（1）当时，
的最小值为，
的最大值为与中的较大值；
（2）时，
若，由在上是增函数，则的最小值为，最大值为；
若，由在上是减函数，则的最小值为，最大值为；
三、二次函数在闭区间上的最值类型
1、定轴定区间型：即定二次函数在定区间上的最值，其区间和对称轴都是确定的，要将函数配方，再根据对称轴和区间的关系，结合函数在区间上的单调性，求其最值（可结合图象）；
2、动轴定区间型：即动二次函数在定区间上的最值，其区间是确定的，而对称轴是变化的，应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分类讨论，再利用二次函数的示意图，结合其单调性求解；
3、定轴动区间型：即定二次函数在动区间上的最值，其对称轴确定而区间在变化，只需对动区间能否包含抛物线的定点横坐标进行分类讨论；
4、动轴动区间型：即动二次函数在动区间上的最值，其区间和对称轴均在变化，根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况讨论，并结合图形和单调性处理。
题型一 定二次函数在定区间上的最值问题
【例1】函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A． B． C． D．最小值是，无最大值
【变式1-1】已知函数，则函数的值域为__________.
【变式1-2】设，则函数的最大值为______.
【变式1-3】函数在上的最大值是______________．
题型二 定二次函数在动区间上的最值问题
【例2】已知函数.
（1）若，求的单调区间和值域；
（2）设函数在的最小值为，求的表达式.
【变式2-1】已知二次函数满足，且
（1）求的解析式.
（2）求在，的最小值，并写出的函数的表达式.
【变式2-2】函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．
（1）求g(t)的解析式；
（2）求g(t)的最大值．
【变式2-3】二次函数，且的解集为.
（1）求a的值；
（2）求在区间上的最大值.
题型三 动二次函数在定区间上的最值问题
【例3】已知函数．求在上的最大值与最小值．
【变式3-1】已知函数R)．当时，设的最大值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知函数.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数的最小值为a，求实数a的值.
【变式3-3】已知函数，.
（1）求的最小值； （2）若的最小值是，求实数a的值.
题型四 动二次函数在动区间上的最值问题
【例4】函数在区间上的最小值为，求的表达式.
【变式4-1】已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围.
【变式4-2】设函数在闭区间上的最大值为，最小值为，求与的表达式.
题型五 逆向型二次函数最值问题
【例5】若函数在上最小值为，求的值.
【变式5-1】若二次函数在时的最大值为3，那么m的值是________．
【变式5-2】若函数在上的最小值为．则____．
【变式5-3】已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.
【变式5-4】一次函数是R上的增函数，且，
（1）求；
（2）若在单调递增，求实数m的取值范围；
（3）当时，有最大值13，求实数m的值．

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