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函数专题：函数不等式恒成立与能成立
一、单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
二、双变量不等式与等式
一般地，已知函数，
1、不等关系
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
2、相等关系
记的值域为A, 的值域为B,
（1）若，，有成立，则有；
（2）若，，有成立，则有；
（3）若，，有成立，故；
题型一 单变量不等式恒成立问题
【例1】已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围．
【变式1-1】已知定义在上的函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式1-2】已知对任意恒成立，则实数的取值范围为_________.
【变式1-3】已知 ，其中为常数
（1）当 时，求的值；
（2）当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围；
【变式1-4】已知函数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
题型二 单变量不等式能成立问题
【例2】定义在上的奇函数，已知当时（）．
（1）求在上的解析式；
（2）若存在时，使不等式成立，求实数m的取值范围．
【变式2-1】已知函数的定义域为．
（1）求的定义域；
（2）对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围．
【变式2-2】已知函数，其中
（1）若的最小值为，求的值；
（2）若存在，使成立，求的取值范围．
【变式2-3】已知函数.
（1）当时，试判断并证明其单调性.
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【变式2-4】已知1≤x≤27，函数(a＞0)的最大值为4，最小值为0．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围．
题型三 任意-任意型不等式成立问题
【例3】已知，若对任意，，使得，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知定义在区间上的两个函数和，其中，.
（1）求函数的最小值；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.
【变式3-2】已知函数，.
（1）求的值；
（2）试求出函数的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明.）
（3）若函数，且对，，都有成立，求实数的取值范围.
【变式3-3】已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若对于任意的、都有，求的最小值.
题型四 任意-存在型不等式成立问题
【例4】已知函数和函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是__________．
【变式4-1】已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________．
【变式4-2】已知函数（a＞0且）是偶函数，函数（a＞0且）．
（1）求实数b的值；
（2）当a＝2时，若，，使得恒成立，求实数m的取值范围．
【变式4-3】已知函数为偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断的单调性，并用定义法证明你的判断：
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围.
题型五 存在-存在型不等式成立问题
【例5】已知函数，，若存在，，使得，则实数的取值范围是 .
【变式5-1】已知函数，，若，，使得成立，求正实数的取值范围．
【变式5-2】已知，，对于，，成立．
【变式5-3】已知函数是上的偶函数，．
（1）求的值；
（2）若存在，，，使得成立，求的取值范围．
题型六 任意-存在型等式成立问题
【例6】已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知函数为R上的奇函数．
（1）求的值，并用定义证明函数的单调性；
（2）求不等式的解集；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【变式6-2】已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ________.
【变式6-3】已知函数，且对任意的实数x，恒成立，函数，若对，，使，则正实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】定义在R上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．函数专题：函数不等式恒成立与能成立
一、单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
二、双变量不等式与等式
一般地，已知函数，
1、不等关系
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
2、相等关系
记的值域为A, 的值域为B,
（1）若，，有成立，则有；
（2）若，，有成立，则有；
（3）若，，有成立，故；
题型一 单变量不等式恒成立问题
【例1】已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵函数的定义域为，且为奇函数，
∴，解得，
经验证：为奇函数，符合题意，故；
（2）∵，
∴在上单调递增，且．
∵，则，
又函数在上单调递增，则在上恒成立，
∴在上恒成立，
设，令，则，
函数在上递减，在上递增，
当时， ，当时，，
故，则 ，∴实数的取值范围为．
【变式1-1】已知定义在上的函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）函数是定义域上的奇函数，
，即，解得．
此时，则，符合题意；
（2）因为，且在定义域上单调递增，
在定义域上单调递减，
所以在定义域上单调递增，
则不等式恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
所以，解得，即.
【变式1-2】已知对任意恒成立，则实数的取值范围为_________.
【答案】
【解析】依题意，对任意恒成立，可等价为
对任意恒成立，即，
令，，
，
，解得，
实数的取值范围为.
【变式1-3】已知 ，其中为常数
（1）当 时，求的值；
（2）当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）得
；
（2），
令，
，
设 ，则，
在上为增函数 时，有最小值为2，
.
【变式1-4】已知函数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当时，令，
即，即，解得，所以的定义域为.
（2）由对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
因为是单调递减函数，是单调递减函数，
所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，所以，
所以，即的取值范围为.
题型二 单变量不等式能成立问题
【例2】定义在上的奇函数，已知当时（）．
（1）求在上的解析式；
（2）若存在时，使不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）根据题意，是定义在上的奇函数，
则，得．经检验满足题意：故；
当时，，
当时，，．
又是奇函数，则．
综上，当时，．
（2）根据题意，若存在，使得成立，
即在有解，即在有解．
又由，则在有解．
设，分析可得在上单调递减，
又由时，，故．
即实数m的取值范围是．
【变式2-1】已知函数的定义域为．
（1）求的定义域；
（2）对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵的定义域为，∴．
∴，则．
（2）令，
，使得成立，即大于在上的最小值．
∵，
∴在上的最小值为，
∴实数的取值范围是．
【变式2-2】已知函数，其中
（1）若的最小值为，求的值；
（2）若存在，使成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，，
当时，即当时，函数取得最小值，
即，解得.
（2）令，则，由可得，
令，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
所以，，.
【变式2-3】已知函数.
（1）当时，试判断并证明其单调性.
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增，证明见解析；；（2）.
【解析】（1）在上单调递增，证明如下：
，且，则
，
由得：，，
所以，即在上的单调递增
（2）由题设，使
，
又，即是偶函数，
结合（1）知：在单调递减，在上单调递增，
又，
所以，即，
令，则使，可得，
令在单调递增，故；
所以，即.
【变式2-4】已知1≤x≤27，函数(a＞0)的最大值为4，最小值为0．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），
由1≤x≤27得，，
又a＞0，因此的最大值为，
最小值为，
解得．
（2），
又，，
而在上单调递减，在上单调递增．
由不等式在上有解，
得：．
因此，的取值范围是．
题型三 任意-任意型不等式成立问题
【例3】已知，若对任意，，使得，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】易知在上单调递增，，
在上单调递减，，
对任意，，使得，则
所以，即.故选：C.
【变式3-1】已知定义在区间上的两个函数和，其中，.
（1）求函数的最小值；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，则二次函数的对称轴为，
则当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，在上单调递减， ，
所以；
（2），当时，，
又在区间上单调递增，所以.
若对任意，恒成立
则，故或
解得：.
【变式3-2】已知函数，.
（1）求的值；
（2）试求出函数的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明.）
（3）若函数，且对，，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）2021；（2）定义域为，函数在上为减函数；奇函数；（3）.
【解析】（1）；
（2）由有，∴函数的定义域为.
∵，∴函数在上为减函数；
，且定义域关于原点对称，∴函数为奇函数；
（3）∵对，，都有恒成立，
∴，
由（2）知在上为减函数，∴，
∵，
令，则，当时，，
∴当即时，，
∴，即，
∴的取值范围为.
【变式3-3】已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若对于任意的、都有，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）的最小值为.
【解析】（1）因为的解集为，所以的根为、，
由韦达定理可得，即，，所以.
（2）由（1）可得，
当时，，
故当时，，
因为对于任意的、都有，
即求，转化为，
而，，所以，.
所以的最小值为.
题型四 任意-存在型不等式成立问题
【例4】已知函数和函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】对任意的，总存在，使得，即，
因对勾函数在上递减，在上递增，
故当时，，
函数在上递减，所以，
由得，即．
【变式4-1】已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】若对于，，使得，则等价为
是定义在上的奇函数，
，当时，，
则当时，，
，，
，则满足，解得.
【变式4-2】已知函数（a＞0且）是偶函数，函数（a＞0且）．
（1）求实数b的值；
（2）当a＝2时，若，，使得恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题设，，即，
所以，则，可得.
（2）由（1）及a＝2知：，，
所以在，上恒成立，
令且，且，只需恒成立，
而，由在上递增，
在上递减，上递增，在定义域上递增，
所以在上递减，上递增，故，
综上，在上恒成立，令，
则在上恒成立，而，故，可得.
【变式4-3】已知函数为偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断的单调性，并用定义法证明你的判断：
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减，证明见解析；（3）
【解析】（1）为偶函数，定义域为，
故对定义域内恒成立，
，即对定义域内恒成立，
故；
（2），
在上单调递增，在上单调递减，
证明：设，
，
故在上单调递增，
同理可证在上单调递减；
（3）由题意得，
而，
①时，，，解得，
②时，，，故时恒满足题意，
综上，的取值范围是．
题型五 存在-存在型不等式成立问题
【例5】已知函数，，若存在，，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】a＞－4
【解析】问题可转化为f(x)max>g(x)min，易得f(x)max=4，g(x)min=－a，
由f(x) max > g(x) min得：4＞－a，故a＞－4即为所求.
【变式5-1】已知函数，，若，，使得成立，求正实数的取值范围．
【答案】
【解析】存在，，，使得成立，
等价为在，上，．
由在，递增，可得的最小值为，
又，所以在，递减，可得的最大值为，
由，解得，所以；
综上可得，的范围是．
【变式5-2】已知，，对于，，成立．
【答案】
【解析】因为对于，，成立
故当，时，，
因为在递减，递增，且，，
故，
而在递减，
故
所以，解得，即a的取值范围是．
【变式5-3】已知函数是上的偶函数，．
（1）求的值；
（2）若存在，，，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1）因为是上的偶函数，
所以，即，
即，解得，
故；
（2）由（1）可得，
因为，所以在，上是增函数，在，上是减函数，
所以（2），
设，，，可得，，
则在，递增，可得时，（2）取得最小值，
存在，，，使得成立，
可得，即为．
题型六 任意-存在型等式成立问题
【例6】已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】定义，，值域为A；
令，，
则可化为在上单增，
所以，，即集合.
定义，，值域为B；
因为对称轴，所以在上单调递减，
所以，即集合
因为对于任意，总存在，使得成立，
所以.
只需解得：，
即。故选：D
【变式6-1】已知函数为R上的奇函数．
（1）求的值，并用定义证明函数的单调性；
（2）求不等式的解集；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）
【解析】（1）因为为奇函数，
所以，得
所以
下面用定义法证明单调性：，且
则
因为，所以
所以，即
所以函数在R上单调递增.
（2）由（1）知在R上单调递增，且为奇函数，
故不等式
即，整理得，即，
解得，故不等式解集为
（3）因为在R上单调递增，所以在区间上，，
，故
当时，，不存在符合题意的；
当时，在区间上为增函数，
要使对任意的，总存在，使得成立
则需，即，解得，即
【变式6-2】已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ________.
【答案】
【解析】因为，
所以函数的对称轴为，
对任意的，记.记.
由题意知，当时不成立，
当时，在上是增函数，
所以，记
由题意知，
所以，解得.
当时，在上是减函数，
所以，记，
由题意知，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【变式6-3】已知函数，且对任意的实数x，恒成立，函数，若对，，使，则正实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于，所以关于直线对称，
所以，即，解得，
所以
.
当时，，，
令，则在区间上递减，
，所以，
所以当时，.
依题意，，当时，，
函数在上递减，在上递增，
，
所以在区间上，，
所以在区间上，.
由于对，，使，
所以，故选：B
【变式6-4】定义在R上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．
当时，，
由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，
可得
当时，．则在的值域为．
当时，，则有，解得，
当时，，不符合题意；
当时，，则有，解得．
综上所述，可得a的取值范围为．故选：D．

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