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函数专题：函数图象变换及其应用
一、函数图象变换
二、作函数图象的一般方法
1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
4、如何制定图象变换的策略
（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：
①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换；
②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换．
例如：：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤．
：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换．
（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：
①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求；
②横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化．
三、函数图象的辨识的方法步骤
图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”
（1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；
（2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；
（3）找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；
（4）判断单调性：可取特殊值判断单调性.
题型一 函数图象变换的判断
【例1】若想得到函数的图象，应将函数的图象（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】由题意，要得到函数的图象，即的图象，
只需将函数的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
即可得到函数的图象.故选：C．
【变式1-1】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】C
【解析】因为，
所以为了得到函数的图象，
只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度，
再向上平移个单位长度.故选：C.
【变式1-2】要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向左平移2个单位，再向上平移l个单位
【答案】A
【解析】因为，
所以函数的图象向右平移1个单位，
再向上平移2个单位即可得到函数的图象.故选：A
【变式1-3】将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到的函数图像，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，
可得.故选：B.
【变式1-4】已知函数，将函数的图像向右平移1个单位长度，再将所得的函数图像上的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后将所得的图像上的点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数的图像向右平移1个单位长度得到函数的图像，
再将函数图像上的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数的图像，
然后将函数图像上的点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，
得到函数的图像.故选：C
题型二 利用变换画函数图象
【例2】作出函数在区间上的图象．
【答案】作图见解析
【解析】先作出二次函数的图象，
再把图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，保留轴上及其上方的部分，
并截取在区间的部分，即得函数的图象，如图所示．
【变式2-1】画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．
【答案】作图见解析；函数的单增区间为，单减区间为，值域是．
【解析】函数是由函数向右平移一个单位得到的，
显然，是偶函数，先画出的图像，
再作出其关于轴对称的图象，即可得到的图像，
再向右平移一个单位即得到的图像，如下图所示：
由图象可知，函数的单增区间为，单减区间为，值域是．
【变式2-2】函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的图象，
是将函数先向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到；
又由于函数图象关于原点中心对称，
所以图象关于中心对称，所以C正确.
故选：C.
【变式2-3】已知函数的图象如图所示，则的图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将函数的图象先作关于轴的对称变换得到函数的图象，
再将函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象．故选：A．
【变式2-4】已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．
当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示．
的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；
的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；
由于的值域为，故，
故的图象与的图象完全相同，故C正确；
很明显D中的图象不正确．故选：D．
题型三 根据复杂函数解析式选择图象
【例3】函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】定义域为，
又，故为奇函数，排除CD；
又，，显然，故A错误，B正确.
故选：B
【变式3-1】函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为
当时，，可知选项D错误；
当时，，可知选项C错误；
当时，，可知选项B错误，选项A正确.
故选：A
【变式3-2】函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为 ，且
故是偶函数，排除选项B，C；
当时，，对应点在第四象限，故排除A，故选：D.
【变式3-3】函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数定义域为，，
则有函数是奇函数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；
当时，，即，
因此，选项A不满足，D符合条件.故选：D
【变式3-4】函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为定义域为，
又，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B；
当时，，，
所以，所以，故排除D；
当时，
因为，所以，即，故排除C；故选：A
题型四 根据函数图象选择解析式
【例4】已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，
， ，故排除ABD.故选：C.
【变式4-1】已知函数图象如图所示，那么该函数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由图象可知，函数定义域为，
图象关于原点对称，函数是奇函数， 时，
据此，定义域不符合，排除A;
若 ，则时，，不符合图象，故排除B；
若，则当趋向于时，趋向于，
当趋向于时，趋向于1，不符合图象，故排除C;
故选：D
【变式4-2】已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）（是自然对数的底数）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图知，，可排除BC；
又由图可知，因为选项D中函数，
则，故D错误.故选：A
【变式4-3】函数的图像如图所示, 则其解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由给定图像知，函数的定义域为且，
对于B，且，B不是；
对于C，，C不是；
由图像知，当时，恒成立，
对于D，当时，，D不是，A满足条件.
故选：A
题型五 多个函数在同一坐标系问题
【例5】当时，在同一坐标系中，函数与的大致图像只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，函数在其定义域上是增函数，
故图象从左向右看是上升的；
在其定义域上单调递减，故图象从左向右看是下降的.故选：C．
【变式5-1】在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为幂函数，为指数函数
A.过定点，可知，
，的图象符合，故可能.
B. 过定点，可知，
，的图象不符合，故不可能.
C. 过定点，可知，
，的图象不符合，故不可能.
D.图象中无幂函数图象，故不可能.故选：A
【变式5-2】函数与在同一直角坐标系中的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为减函数；为减函数；
可知图像中只有满足两函数均为减函数.故选：.
【变式5-3】函数,,,其中,,存在某个实数,使得以上三个函数图像在同一平面直角坐标系中,则其图像只可能是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A：假设指数函数的图象是正确的，所以有，
这时对数函数是单调递增的，但是选项中的图象是单调递减的，
所以假设不成立，故本选项不正确；
B：假设指数函数的图象是正确的，所以有，
这时对数函数是单调递减的，但是选项中的图象是单调递增的，
所以假设不成立，故本选项不正确；
C：假设指数函数的图象是正确的，所以有，
这时对数函数是单调递减的，选项中的图象是单调递减的，假设不成立，
这时幂函数图象有可能正确，也有可能错误，
故存在某个实数，使得这三个图象是正确的，故本选项正确；
D：假设指数函数的图象是正确的，所以有，
这时对数函数是单调递增的，选项中的图象是单调递增的，
所以假设成立，这时幂函数的图象是不正确的，
因为这时的幂函数的定义域是全体实数集，故本选项不正确.故选：C
题型六 图象在实际问题中的应用
【例6】小明去上学，先步行，后跑步，如果y表示小明离学校的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合小明走法的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：时所走的路程为0，离单位的距离为最大值，排除A、C，
随着时间的增加，先步行，开始时随的变化慢，后跑步，则随的变化快，
所以适合的图象为B.故选：B
【变式6-1】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于乌龟，其运动过程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，
一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；
对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；
中间由于睡觉，速度为零，其路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，
所以路程增加的快；但是最终是乌龟到达终点用的时间短.故选：B．
【变式6-2】水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】容器由下到上口径越来越大，水以恒速注入，
则容器中水的高度增加的速度逐渐变慢，A符合；
B选项容器中水的高度增加的速度逐渐变快；
C选项容器中水的高度是匀速增加；
D选项容器中水的高度增加的速度先增加较慢，后增加较快.
故选：A
【变式6-3】如图所示是一鱼缸的轴截面图，已知该鱼缸装满水时储水量为V，缸高为H，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得是增函数，曲线的变化率是先慢慢变大，后慢慢变小. 故选：B.
【变式6-4】图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S＝S(a)(a≥0)是图中阴影部分介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图观察，当时，随着的增大，面积越来越大，但变化越来越缓慢，
即函数图像越来越平缓，显然选项A,B不满足题意，
当与时，随着的增大，面积越来越大，
但当时比时，面积增加的要快些，
即当时比时，函数图像要更陡峭些，
显然选项D不满足题意，只有选项C符合题意，故选：C.函数专题：函数图象变换及其应用
一、函数图象变换
二、作函数图象的一般方法
1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
4、如何制定图象变换的策略
（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：
①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换；
②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换．
例如：：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤．
：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换．
（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：
①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求；
②横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化．
三、函数图象的辨识的方法步骤
图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”
（1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；
（2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；
（3）找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；
（4）判断单调性：可取特殊值判断单调性.
题型一 函数图象变换的判断
【例1】若想得到函数的图象，应将函数的图象（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
【变式1-1】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【变式1-2】要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向左平移2个单位，再向上平移l个单位
【变式1-3】将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到的函数图像，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】已知函数，将函数的图像向右平移1个单位长度，再将所得的函数图像上的点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后将所得的图像上的点的纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
题型二 利用变换画函数图象
【例2】作出函数在区间上的图象．
【变式2-1】画出函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．
【变式2-2】函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】已知函数的图象如图所示，则的图象为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A． B． C． D．
题型三 根据复杂函数解析式选择图象
【例3】函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
题型四 根据函数图象选择解析式
【例4】已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知函数图象如图所示，那么该函数可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）（是自然对数的底数）
A． B．
C． D．
【变式4-3】函数的图像如图所示, 则其解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型五 多个函数在同一坐标系问题
【例5】当时，在同一坐标系中，函数与的大致图像只可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【变式5-2】函数与在同一直角坐标系中的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】函数,,,其中,,存在某个实数,使得以上三个函数图像在同一平面直角坐标系中,则其图像只可能是( )
A． B． C． D．
题型六 图象在实际问题中的应用
【例6】小明去上学，先步行，后跑步，如果y表示小明离学校的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合小明走法的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程(为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度与时间的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】如图所示是一鱼缸的轴截面图，已知该鱼缸装满水时储水量为V，缸高为H，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】图中的阴影部分由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成．设函数S＝S(a)(a≥0)是图中阴影部分介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分的面积，则函数S(a)的图象大致为（ ）
A． B． C． D．

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