资源简介

函数专题：函数值域的6种常用求法
一、函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，
使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，
即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．
2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，
使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，
即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)．
3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．
二、求函数值域的6种常用求法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．
（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．
（2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．
3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．
（2）换元的作用有两个：
①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．
②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，
形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法
以为例，解题步骤如下：
第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式，
第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。
6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。
另外，此种形式还可使用分离常数法解法。
题型一 单调性求值域
【例1】在[3，4]的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【变式1-1】的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.
【变式1-3】在上的最小值为______．
题型二 图象法求值域
【例2】函数的值域是_________.
【变式2-1】作出下列函数的图象，并写出函数的值域：
（1）； （2）．
【变式2-2】画出下列函数的图象，并说出函数的定义域 值域：
（1）； （2）； （3）； （4）.
【变式2-3】已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
题型三 配方法求值域
【例3】函数的值域为_______．
【变式3-1】函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是（ ）
A．[2，11) B．[3，11) C．[1，11） D．[2，11]
【变式3-2】的值域是__________.
题型四 换元法求值域
【例4】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
题型五 分离常数法求值域
【例5】函数在区间的最大值是______．
【变式5-1】函数，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】函数的最大值为___________.
【变式5-3】函数的值域是___________.
【变式5-4】求函数的值域.
题型六 判别式法求值域
【例6】若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【变式6-1】函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】函数的值域是___________.
【变式6-3】已知函数的值域为[1，3]，求的值函数专题：函数值域的6种常用求法
一、函数的最大（小）值
1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，
使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，
即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0)．
2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，
使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，
即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0)．
3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．
二、求函数值域的6种常用求法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．
（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．
（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．
2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．
（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．
（2）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．
3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围．
（2）换元的作用有两个：
①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．
②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理
5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，
形如或（，至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法
以为例，解题步骤如下：
第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成的形式，
第二步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求出的值域。
6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。
另外，此种形式还可使用分离常数法解法。
题型一 单调性求值域
【例1】在[3，4]的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【解析】在上是减函数，
所以当时，取得最大值为.故选：A
【变式1-1】的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，又在时单调递增，
所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，故选：A.
【变式1-2】已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.
【答案】；
【解析】因函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
即有当时，，而当时，，当时，，则，
所以函数的最大值为，最小值为.
【变式1-3】在上的最小值为______．
【答案】0
【解析】根据题意在上为增函数，
则在上的最小值为．
题型二 图象法求值域
【例2】函数的值域是_________.
【答案】
【解析】由题意：函数，开口向上，对称轴，
画出函数如下，
函数在区间上的值域为.
故答案为：
【变式2-1】作出下列函数的图象，并写出函数的值域：
（1）； （2）．
【答案】（1）图象见解析，值域为；（2）图象见解析，值域为.
【解析】（1）因为，
所以图象如下图所示：
由函数的图象可知：函数的值域为；
（2）因为，
所以函数的图象如下图：
由函数的图象可知：函数的值域为：.
【变式2-2】画出下列函数的图象，并说出函数的定义域 值域：
（1）； （2）； （3）； （4）.
【解析】（1）一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.
（2）反比例函数的图形如图所示，
定义域为，值域为.
（3）一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.
（4）二次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为.
【变式2-3】已知表示，，中的最大值，例如，若函数，则的最小值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象，
因为，
所以的图象如图实线所示：
由可得，
由可得，
由图知在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
当时，，
所以的最小值为，故选：B.
题型三 配方法求值域
【例3】函数的值域为_______．
【答案】
【解析】因为
所以，所以值域为
故答案为：
【变式3-1】函数y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)的值域是（ ）
A．[2，11) B．[3，11) C．[1，11） D．[2，11]
【答案】A
【解析】，
，且函数的对称轴是直线，
∴函数的值域是.故选：A.
【变式3-2】的值域是__________.
【答案】
【解析】因为，
所以当时，，当时，，
所以函数的值域为.
题型四 换元法求值域
【例4】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域是，令，则， ，所以，
因为，所以，所以原函数的值域为．故选：D.
【变式4-1】函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，
当时，，又，
所以，，即
所以，故选：D．
【变式4-2】函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，，则，则，
根据双勾函数性质：函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
故函数值域为.，故选：C.
【变式4-3】若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，，则．
当时，单调递减，
当时，单调递增，
又当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为，故选：B．
题型五 分离常数法求值域
【例5】函数在区间的最大值是______．
【答案】1
【解析】∵函数，
∴函数在区间上为单调增函数
∴当时，函数取得最大值，为.
故答案为：.
【变式5-1】函数，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
显然函数在上为减函数，
所以，当时，函数取得最大值，且最大值为，
当接近时，接近，
所以的值域为.故选：D.
【变式5-2】函数的最大值为___________.
【答案】2
【解析】由题意，当时，可知，显然的最大值非负，
因为，
所以当取得最大值时，
当时，，令，
由对号函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
从而在的最小值为，
故的最大值.
【变式5-3】函数的值域是___________.
【答案】
【解析】函数的定义域为，
，
由于，所以，且，
所以且，
所以函数的值域为.
【变式5-4】求函数的值域.
【答案】.
【解析】，
因，即，则，
当且仅当，即 时等号成立，于是得，
所以原函数的值域为.
题型六 判别式法求值域
【例6】若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．故选：B．
【变式6-1】函数的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．故选：B.
【变式6-2】函数的值域是___________.
【答案】
【解析】，
因为
所以函数的定义域为
令，整理得方程：
当时，方程无解；
当时，
不等式整理得：，解得：
所以函数的值域为.
【变式6-3】已知函数的值域为[1，3]，求的值
【答案】
【解析】由题意定义域为，
则在上有解，
当符合题意，
当，即的解集为[1，3]，
故1和3为关于y的二次方程的两个根，
所以，解得.

展开更多......

收起↑